2022年基本初等函数经典总结 .pdf

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1、精品资料欢迎下载第十二讲基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则： （1）rsrsa aa；（2）srrsaa；（3）rrraba b；（4）mnmnaa；（5）1mnnmaa（6）,|,nna naan奇偶2). 指数函数：形如(01)xyaaa且2.对数函数1）对数的运算：1、互化：NbNaablog2、恒等：NaNalog3

2、、换底：abbccalogloglog指数函数0a1 图象表达式xya定义域R值域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载推论 1 abbalog1log推论 2 logloglogababcc推论 3 loglogmnaanbbm)0(m4、NMMNaaaloglogloglogloglogaaaMMNN5、MnManaloglog2）对数函数：3.幂函数一般地，形如ayx（aR）的函数叫做幂函数，其中a 是常数1)性质：(1) 所有的幂函数在(0,+)都有定

3、义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函数0a1 图象表达式logayx定义域(0,)值域R过定点(1，0) 单调性单调递减单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载(2) 如果 ，则幂函数图象通过（0，0） ，并且在区间 0,+)上是增函数；(3) 如果 ，则幂函数在区间(0,+)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当 x 趋于 +时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。四：典型例题考点一：指数函数例 1已知2321(25)(25)xxaaaa，则 x

4、 的取值范围是 _分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在 ()， 上是增函数，31xx，解得14x x 的取值范围是14， 评注： 利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论例 2函数221(01)xxyaaaa且在区间 11， 上有最大值14， 则 a 的值是 _分析：令xta 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围解：令xta ，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t当1a时，11x， ，1x

5、aaa，即1taa 当 ta时，2max(1)214ya解得3a或5a（舍去）；当 01a时，11x， ，1xaaa，即1ata ，1ta时，2max11214ya，解得13a或15a（舍去）， a 的值是 3 或13评注： 利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法， 整体代入等例 3求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160 x，即261x，20 x，故2x函数( )f x 的定义域是2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载令26xt，则1yt ，又2x，20 x 206

6、1x，即 01t 011t，即 01y函数的值域是01， 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响例 4 求函数 y23231xx的单调区间 . 分析这是复合函数求单调区间的问题可设 yu31,u x2-3x+2 ，其中 yu31为减函数ux2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间( 即减减增 ) ux2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间( 即减、增减 ) 解：设 yu31,u x2-3x+2,y关于 u 递减，当 x(- ，23)时， u 为减函数，y 关于 x 为增函数；当x23，+) 时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数 . 考点二：对数函数例 5求下列函数

7、的定义域（1） y=log2（x2-4x-5）; （2） y=logx+1（16-4x）（3） y= 解： （1）令 x2-4x-5 0，得（ x-5）（ x+1） 0，故定义域为xx-1，或 x5（2）令得故所求定义域为x -1x0，或 0 x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载（3）令，得故所求定义域为x x-1- ，或 -1- x-3,或 x2 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零例 6比较大小：（1） log071

8、3 和 log0718（2）（ lgn）17和（ lgn）2（n1）（3） log23 和 log53（4） log35 和 log64解： （1）对数函数y=log07x 在（ 0， + ）内是减函数因为1318，所以log0713log071 8（2）把 lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数 lgn 讨论若 1 lgn0，即 1n10 时， y=（lgn）x在 R 上是减函数，所以（lgn）12（ lgn）2；若 lgn1，即 n 10 时， y=（lgn）2在 R 上是增函数，所以（lgn）17（ lgn）2（3） 函数 y=log2x 和 y=l

9、og5x 当 x1 时， y=log2x 的图像在 y=log5x 图像上方这里 x=3，所以 log23 log53（4） log35 和 log64 的底数和真数都不相同，须找出中间量“ 搭桥 ” ，再利用对数函数的单调性即可求解因为 log35log33=1=log66log64，所以 log35log64评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2 中的说明得到结论例 7已知 f（x）=2+log3x，x 1，9，求 y=f（ x）2+f（x2）的最大值，及y取最大值时， x 的值分析要求函数y=f（ x）2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二

10、是要求出它的定义域，然后求值域解： f（x）=2+log3x，y=f（x）2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载=（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log3x+3）2-3函数 f（x）的定义域为1，9，要使函数y=f（x）2+f（x2）有定义，就须91912xx，1x30log3x16y= （log3x+3）2-3 13当 x=3 时，函数y= f（x）2+f（ x2）取最大值13说明本例正确求解的关键是：函

11、数y=f（x）2+f（x2）定义域的正确确定如果我们误认为 1，9是它的定义域则将求得错误的最大值22其实我们还能求出函数y=f（x）2+f（x2）的值域为 6，13例 8求函数 y=log05（ -x2+2x+8）的单调区间分析由于对函数的底是一个小于1 的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2x4）的单调性相反解 -x2+2x+8 0，-2x4，原函数的定义域为（-2，4）又函数 u=-x2+2x+8=- （x-1）2+9 在（ -2，1上为增函数，在1， 4）上为减函数，函数 y=log05（ -x2+2x+8）在（ -2， 1上为减函数，在1，4）上为增函数评析判断函数的单调性

12、必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集考点三：幂函数例 9比较大小：（1）11221.5 ,1.7（2）33( 1.2) ,(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5 ,3,log0.5解： （1）12yx在0,)上是增函数，1.51.7，11221.51.7（2）3yx在R上是增函数，1.21.25，33( 1.2)( 1.25)（3）1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，115.255.26；5.26xy是增函数，12，125.265.26；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页

13、，共 8 页精品资料欢迎下载综上，1125.255.265.26（4）300.51，0.531，3log 0.50，30.53log 0.50.53例 10已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点， 且关于原点对称，求m的值解： 幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，2230mm，13m；mZ，2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，223mm是奇数，0m或2m例 11、求函数y52x 2x514（x 32）值域解析： 设tx51，x 32，t 2，则yt2 2t 4（t1）23当t 1 时，ymin3函数y52x2x514（x 32）的值域为3，） 点评

14、： 这是复合函数求值域的问题，应用换元法五：课后练习1 、 若a 1 在 同 一 坐 标 系 中 ， 函 数y=ax和y=logxa的 图 像 可 能 是 （）A B C D 2求值40625.0+416-（）0-3833= 3.下列函数在,0上为减函数的是（）13yx2yx3yx2yx答案：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载4.已知 x=21,y=31,求yxyx-yxyx的值5若a21a21，则a的取值范围是（）Aa1Ba0 C1a0D1a0 解析： 运用指数函数的性质，选C答案： C 6.下列式子中正确的是（）A loga)(yx=logax-logayB yaxaloglog=logxa-logyaC yaxaloglog=logyxaD logax-logay= logyxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页