2022年线性代数试卷及答案 .pdf

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1、第1 页共6 页 线性代数 A 试题（ A 卷）试卷类别： 闭卷考试时间： 120分钟考 试 科 目 ： 线 性 代 数考 试 时 间 ：学 号 ：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一单项选择题（每小题3 分，共 30 分）1设A经过初等行变换变为B，则（B ）.(下面的(), ()r Ar B分别表示矩阵,A B的秩 )。()A()()r Ar B；()B()()r Ar B；()C()()r Ar B；()D无法判定()r A与( )r B之间的关系。2设A为 (2)nn阶方阵且| 0A，则（C ） 。()AA中有一行元素全为零；()BA有两行（列）元素对应成比例；()CA中必有一行为

2、其余行的线性组合；()DA的任一行为其余行的线性组合。3. 设,A B是n阶矩阵 (2n), ABO,则下列结论一定正确的是: (D )( ) ;AAOBO或( )AXBB的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解 .();CBAO()( )( ).DR AR Bn4下列 不是n维向量组12,.,s线性无关的充分必要条件是（A ）()A存在一组不全为零的数12,.,sk kk使得1122.sskkkO；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页第2 页共6 页()B不存在一组不全为零的数12,.,sk kk使得1122.ssk

3、kkO12(),.,sC的秩等于s；12(),.,sD中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5设n阶矩阵(3)n1.1.1aaaaaaAaaa，若矩阵A的秩为1n，则a必为（） 。()A1；()B11n；()C1；()D11n. 6四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于（） 。()A12341234a a a abb b b；()B12341234a a a abb b b；()C12123434()()a ab ba ab b；()D23231414()()a ab ba abb. 7设A为四阶矩阵且Ab，则A的伴随矩阵*A的行列式为（C ） 。()Ab；()B2

4、b；()C3b；()D4b8设A为n阶矩阵满足23nAAIO，nI为n阶单位矩阵 ,则1A（C）() nAI ；()3nBAI；()3nCAI；()D3nAI9设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（C ） 。()AA与B的秩相同；( )BA与B的特征值相同；()CA与B的特征矩阵相同；()DA与B的行列式相同；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页第3 页共6 页10设A为n阶矩阵 ,则A以0为特征值是0A的（D） 。()A充分非必要条件；()B必要非充分条件；()C既非充分又非必要条件；()D充分必要条件；二

5、填空题（每小题3 分，共 18 分）1计算行列式0004004304324321。2. 100123100010456001001789010_ 。3二次型123122331(,)f x xxx xx xx x对应的对称矩阵为。4已知1(0,0,1)，22222(,0)，22322(,0)是欧氏空间3?的一组标准正交基，则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为。5已知矩阵74147144Ax的特征值为123(),12,二重则x_。6设123,均为 3 维列向量，记矩阵123,A，123123(,24B123,39)。如果| 1A，则|B。三 (8 分) 23121120 ,10 ,10331AB

6、AXB, 求X。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页第4 页共6 页四 （10 分）设向量组1(1,1,2,3)T，2(1, 1,1,1)T，3(1,3,3,5)T，4(4,2,5,6)T，5( 3, 1, 5, 7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五 （12 分）讨论线性方程组123123123211xxpxxpxxpxxx解的情况， 并在有无穷多解时求其解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页第5 页共6

7、 页六 （14 分）设124222421A， （1） 、求出A的所有特征值和特征向量；（2） 、求 正交 矩阵T，使得1TAT为对角矩阵。七 （8 分）对任意的矩阵A,证明：(1) TAA为对称矩阵 , TAA为反对称矩阵；(2) A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数 A参考答案（ A 卷）一、单项选择题（每小题3 分，共 30 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A B D C C C D 二、填空题（每小题3 分，共 18分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第6 页共6 页

8、1、 256；2、132465798；3、112211221122000；4、1,2,0；5、 4；6、 2 。三 解： 因为矩阵 A 的行列式不为零,则 A 可逆 ,因此1XA B.为了求1A B,可利用下列初等行变换的方法：23121120101201 01201023121011411 03311033102321102721002781002780114101 0144010144001103001103001103（6 分）所以1278144103XA B.（ 8 分）四解：对向量组12345,作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,)21355

9、0113131567022621114310212011310113100000000000000000000（ 5 分）从 而12345,的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 为12,， 故 秩12345,2（8 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页第7 页共6 页且3122，4123，5122（ 10 分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42ppppppppppppppppppppp(分)(1)

10、当10,(2)(1)0,ppp且时即1,2,pp且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.（ 5 分）(2) 当1,p时系 数 矩 阵 的 秩 为1,增 广 矩 阵 的 秩 为2,此 时 方 程 组 无解.（ 6 分）(3) 当2,p时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000（ 分）故原方程组与下列方程组同解: 132311xxxx令30,x可得上述非齐次线性方程组的一个特解0( 1, 1,0)T; 它对应的齐次线性方程组132300 xxxx的基础解系含有一个元

11、素,令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页第8 页共6 页31,x可得1(1,1,1)T为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系 . 此时原方程组的通解为001101,.kkkk这里为任意常数（ 12分）六解：（1）由于A的特征多项式2124|222(3) (6)421IA故A的特征值为13（二重特征值） ，36。（ 3 分）当13时，由1()IA XO，即：123424021204240 xxx得基础解系为12 1,2,0 , 1,0,1TT，故属于特征值13的所有特征向量为1122kk,12,k

12、 k不全为零的任意常数。（ 6 分）当36时，由3()IA XO，即：123524028204250 xxx得基础解系为32,1,2T，故属于特征值26的所有特征向量为33k,3k为非零的任意常数。-(8分)(2)将12,正交化可得：211122111,42 1,2,0 ,1,55TT。再将其单位化得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第9 页共6 页1212125 2 54 52 55,0,5515153TT将3单位化得：32 1 2,3 3 3T。（ 12 分）则123,是A的一组单位正交的特征向量，令545251532525112351535233,0T则T是一个正交矩阵，且1336TAT。（14 分）七证明：(1) 因为()()TTTTTTAAAAAA, 因此TAA为对称矩阵。（ 2 分）同 理 , 因 为()()()TTTTTTTAAAAAAAA, 因 此TAA为反对称矩阵。（4 分）(2) 因为11()(),22TTAAAAA（ 6 分）而由 (1) 知1()2TAA为对称矩阵 , 1()2TAA为反对称矩阵,因此任何矩阵A都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。（8分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页