2022年经济数学基础综合练习及参考答案 .pdf

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1、1 / 13 第一部分微分学一、 单项选择题1函数1lg xxy的定义域是（ D）A1xB0 xC0 xD1x且0 x2下列各函数对中，（D）中的两个函数相等A2)()(xxf，xxg)( B11)(2xxxf，xxg)(+ 1 C2ln xy，xxgln2)( Dxxxf22cossin)(，1)(xg3设xxf1)(，则)(xff（C）Ax1 B21x Cx D2x4下列函数中为奇函数的是（C）Axxy2BxxyeeC11lnxxyDxxysin5已知1tan)(xxxf，当（A）时，)(xf为无穷小量 . A. x0 B. 1xC. x D. x6当x时，下列变量为无穷小量的是（D）A1

2、2xx B)1ln(x C21ex Dxxsin7函数sin,0( ),0 xxf xxkx在 x = 0 处连续，则k = (C )A-2 B-1 C1 D2 8曲线11xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（A）A21 B21 C3) 1(21x D3) 1(21x9曲线xysin在点 (0, 0)处的切线方程为（A）A. y = x B. y = 2xC. y = 21x D. y = -x 10设yxlg2，则d y（B）A12dxx B1dxxln10 Cln10 xxd D1dxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共

3、 13 页2 / 13 11下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B）Asinx Be x C x 2 D3 x 12设需求量q 对价格 p的函数为ppq23)(，则需求弹性为Ep=（B）App32 Bpp32 C32pp D32pp二、填空题1函数20, 105,2)(2xxxxxf的定义域是 -5，22函数xxxf21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 )3若函数52)1(2xxxf，则)(xf62x4设21010)(xxxf，则函数的图形关于y 轴对称5已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50 时，该产品的平均成本为3.66已知某商品的需求函数

4、为q = 180 4p，其中 p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45 q 0.25q 27. xxxxsinlim1.8已知xxxfsin1)(，当0 x时，)(xf为无穷小量9. 已知1111)(2xaxxxxf，若fx( )在),(内连续，则a2.10曲线yx在点) 1, 1(处的切线斜率是(1)0.5y11函数yx312()的驻点是x1.12需求量q 对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为Ep2p三、计算题1已知yxxxcos2，求)(xy解：2cossincos( )(2)2 ln 2xxxxxxy xxx2sincos2 ln 2xxxxx2已知( )2

5、sinlnxf xxx，求)(xf解xxxxfxx1cos2sin2ln2)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 / 13 3已知2sin2cosxyx，求)(xy解)(cos)2(2sin)(22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx4已知xxy53eln，求)(xy解：)5(e)(lnln3)(52xxxxyxxxx525eln35已知xycos25，求)2(y；解：因为5ln5sin2)cos2(5ln5)5(cos2cos2cos2xxxxxy所以5ln25ln52sin2)2(2cos2y6设x

6、xyx2cose，求yd解：因为212cos23)2sin(e2xxyx所以xxxyxd23)2sin(e2d212cos7设xyx5sincose，求yd解：因为)(coscos5)(sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxd)sincos5cose(d4sin8设xxy2tan3，求yd解：因为)(2ln2)(cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd)2ln2cos3(d322四、应用题1 设生产某种产品x个单位时的成本函数为：xxxC625. 0100)(2（万元） , 解（ 1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x

7、xxC625.0100)(2625.0100)(xxxC，65.0)(xxC所以，1851061025.0100)10(2C5.1861025.010100)10(C，116105.0)10(C（2）令025.0100)(2xxC，得20 x（20 x舍去）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 / 13 因为20 x是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小. 求：（ 1）当10 x时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？2某厂生产一批产品，其固定成

8、本为2000 元，每生产一吨产品的成本为60 元，对这种产品的市场需求规律为qp100010（q为需求量，p为价格）试求：（ 1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？解（ 1）成本函数C q( )= 60q+2000因为qp100010，即pq100110，所以收入函数R q( )=pq=(100110q)q=1001102qq（2）因为利润函数Lq() =R q( )-C q( ) =1001102qq- (60q+2000) = 40q-1102q-2000 且 Lq() =(40q-1102q-2000)=40- 0.2q令Lq()= 0，即 40- 0.2q= 0，得q=

9、 200，它是L q()在其定义域内的唯一驻点所以，q= 200 是利润函数Lq() 的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元 /件） . 试求：（ 1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解（ 1）由已知201.014)01.014(qqqqqpR利润函数22202.0201001. 042001. 014qqqqqqCRL则qL04.010，令004.010qL，解出唯一驻点250q. 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250 件时可使利润达到

10、最大，（2）最大利润为1230125020250025002. 02025010)250(2L（元）4某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365 . 0)(2qqqC（元） .为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解因为( )9800( )0.536C qC qqqq(0)q298009800( )(0.536)0.5Cqqqq令( )0C q，即0 598002.q=0，得q1=140，q2= -140（舍去） . q1=140 是C q( )在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q1=140 是平均成本函数C q( )的最小值点，即为使平

11、均成本最低，每天产量应为140 件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C（元 /件）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 / 13 5已知某厂生产q件产品的成本为C qqq( )25020102（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？解因为C q( )=C qq( )=2502010qqCq( )=()2502010qq=2501102q令C q( )=0，即25011002q，得150q，q2=-50（舍去），q1=50 是C q( )在其定义域内的唯一驻点所以，q1=50

12、是C q( )的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品第二部分积分学一、 单项选择题1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A）Ay = x2 + 3By = x2 + 4Cy = 2 x + 2Dy = 4 x2下列等式不成立的是（A）A)d(edexxx B)d(cosdsinxxxCxxxdd21 D)1d(dlnxxx3若cxxfx2ed)(，则)(xf=（D）. A .2ex B.2e21xC.2e41xD.2e41x4下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C）Axxc1)dos(2Bxxxd12Cxxxd2sinDxxxd125. 若cxxfx

13、x11ede)(，则 f (x) =（ C ）Ax1B-x1C21xD-21x6. 若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( B )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba7下列定积分中积分值为0 的是（ A ）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd )cos(3Dxxxd)sin(28下列定积分计算正确的是（D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 / 13 A2d211xxB15d161xC0dsi

14、n22xxD0dsinxx9下列无穷积分中收敛的是（C）A1dlnxx B0dexx C12d1xx D13d1xx10无穷限积分13d1xx=（C）A0 B21 C21 D. 二、 填空题1xxded2xxde22函数xxf2sin)(的原函数是 -21cos2x + c ( c 是任意常数 ) 3若)(xf存在且连续，则 )(dxf)(xf4若cxxxf2)1(d)(，则)(xf)1(2 x.5若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e=cFx)e(.6e12dx)1ln(ddxx0. 7积分1122d)1(xxx08无穷积分02d)1(1xx是收敛的（判别其敛散性）9设边际收入函数为

15、R(q) = 2 + 3 q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为：2 + q23三、计算题1xxxd242解xxxd242=(2)dxx=2122xxc2计算xxxd1sin2解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin23计算xxxd2解cxxxxxx22ln2)(d22d24计算xxxdsin解cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin5计算xxxd1)ln(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 / 13 解xxxd1)ln(=xxxxxd1)(21ln1)(2122=cxxxxx4)

16、ln2(21226计算xxxde2121解xxxde2121=21211211eee)1(dexxx72e11d1lnxxx解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=)13( 28xxxd2cos20解：xxxd2cos20=202sin21xx-xxd2sin2120 =202cos41x=219xxd)1ln(1e0解xxxxxxxd1)1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 四、应用题1投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元 /百台 ). 试求产量

17、由4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又xcxxCxCx00d)()(=xxx36402 =xx3640令0361)(2xxC， 解得6x.x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小 .2已知某产品的边际成本C(x)=2（元 /件），固定成本为0，边际收益R(x)=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解因为边际

18、利润)()()(xCxRxL=12-0.02x 2 = 10- 0.02x令)(xL= 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550 件时，利润改变量为5505002550500)01. 010(d)02.010(xxxxL =500 - 525 = - 25 （元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 / 13 即利润将减少25元 . 3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为R(x)=1

19、00- 2x（万元 /百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？解L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10 x令L(x)=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20 万元 . 4已知某产品的边际成本为34)(qqC(万元 /百台 )，q为产量 (百

20、台 )，固定成本为18(万元 )，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为qqqCd)34()(=cqq322当q= 0 时， C(0)= 18，得 c =18 即C(q)=18322qq又平均成本函数为qqqqCqA1832)()(令0182)(2qqA， 解得q= 3(百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 q = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(A(万元 /百台 ) 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元 )，其中x 为产量，单位：百吨销售x 百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时

21、的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？解： (1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL = 14 2x令0)(xL，得 x= 7由该题实际意义可知，x= 7 为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7 百吨时利润最大 .(2) 当产量由7 百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1 万元 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 / 13 第三部分线性代数一、 单项

22、选择题1设 A 为23矩阵， B为32矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行 . AAB BABT CA+B DBAT2设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B）A . TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T)()(BAAB3以下结论或等式正确的是（ C ）A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵 D若OBOA,，则OAB4设A是可逆矩阵，且AABI，则A1（C ）.A .BB.1BC.IBD.()IAB15设)21(A，) 31(B，I是单位矩阵，则IBAT（ D ）A6231 B6321 C5322

23、D52326设314231003021A，则 r(A) =（C） A4 B3 C2 D1 7设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（A） A1 B2 C3 D48线性方程组012121xxxx解的情况是（ A）A . 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解9若线性方程组的增广矩阵为01221A，则当（ B ）时线性方程组无解A0 B12 C1 D2 10. 设线性方程组bXAnm有无穷多解的充分必要条件是（ D ） AmArAr)()( BnAr)( Cnm DnArAr)()(精选

24、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页10 / 13 11设线性方程组AX=b 中，若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（B） A有唯一解B无解 C有非零解D有无穷多解12设线性方程组bAX有唯一解，则相应的齐次方程组OAX（C） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定二、 填空题1若矩阵 A = 21，B = 132，则 ATB=2641322设矩阵3421A，I 为单位矩阵，则T)(AI22403设BA,均为n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是BA,是可交换矩阵4设

25、13230201aA，当a0 时，A是对称矩阵 .5设BA,均为n阶矩阵，且)(BI可逆，则矩阵XBXA的解 X=ABI1)(6设A为n阶可逆矩阵，则r(A)=n7若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b 无解8若线性方程组002121xxxx有非零解，则- 19设齐次线性方程组01nnmXA，且秩 (A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n r10. 已知齐次线性方程组OAX中A为53矩阵，且该方程组有非0 解，则)(Ar311齐次线性方程组0AX的系数矩阵为000020103211A则此方程组的一般解为4243122xxxxx(其中43, xx是

26、自由未知量 ). 12设线性方程组bAX，且010023106111tA，则1时，方程组有唯一解. 三、计算题1设矩阵 A =012411210，求逆矩阵1A解 因为 (A I ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 / 13 =12000101083021041110001000101241121010211001210000232110021101042100232121123124112100010001所以 A-1=211231241122设矩阵 A =121511311，求逆矩阵1)(AI解因为02

27、1501310AI且1105200013100105011000210105010013101121000013100105011121003350105610001所以1123355610)(1AI3设矩阵 A =022011，B =210321，计算 (BA)-1解 因为 BA=210321022011=2435(BA I )=1024111110240135542011112521023101所以 (BA)-1=2522314设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：因为105301211310012113102501即132553211精选学习资料 - - - - - - -

28、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 / 13 所以， X =153213221=13253221= 11015设线性方程组052231232132131xxxxxxxx，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. 解 因为211011101201051223111201A300011101201所以 r(A) = 2，r(A) = 3.又因为 r(A) r(A)，所以方程组无解6求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解解 因为系数矩阵111011101201351223111201A0000111012

29、01所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）7求线性方程组126142323252321321321xxxxxxxxx的一般解解 因为增广矩阵1881809490312112614231213252A00001941019101所以一般解为1941913231xxxx（其中3x是自由未知量）8设齐次线性方程组0830352023321321321xxxxxxxxx问 取何值时方程组有非零解，并求一般解.解 因为系数矩阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 / 13 A =61011023183352231500110101所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为3231xxxx（其中3x是自由未知量）9当取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解.解 因为增广矩阵26102610111115014121111A00026101501所以当=0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：26153231xxxx(x3是自由未知量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页