2022年初中数学竞赛专题选讲换元法 .pdf

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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换 . 3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如

2、：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0. 两边都除以x2,得 a(x2+21x)+b(x+x1)+c=0. 设 x+x1=y, 那么 x2+21x= y2 2, 原方程可化为ay2+by+c2=0. 对于一元五次倒数方程ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0 ， 必有一个根是1. 原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0. ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如ax4bx3+cx2bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x2, 可化为 a(x

3、2+21x)b(xx1)+c=0. 设 xx1=y, 则 x2+21x=y2+2, 原方程可化为ay2by+c+2=0. 二、例题例 1.解方程1112xxx=x. 解：设11xx=y, 那么 y2=2x+212x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载原方程化为：y21y2=0 . 解得y=0；或 y=2. 当 y=0 时，11xx=0 (无解 ) 当 y=2 时，11xx=2，解得， x=45.检验（略） . 例 2.解方程： x4+(x4)4=626. 解： （用平均值24xx代换，可化为双二次方

4、程.）设 y= x 2 ，则 x=y+2.原方程化为(y+2)4+(y 2)4=626. (y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0 整理，得y4+24y2297=0. (这是关于y 的双二次方程). (y2+33)(y29)=0. 当 y2+33=0 时，无实根；当 y29=0 时，y=3. 即 x2= 3，x=5；或 x=1. 例 3.解方程： 2x4+3x316x2+3x+2=0 . 解：这是个倒数方程，且知x0，两边除以x2,并整理得 2(x2+21x)+3(x+x1) 16=0. 设 x+x1=y,则 x2+21x=y22. 原方程化为2y2+3y 20=0. 解得

5、y=4；或 y=25. 由 y=4 得x= 2+3；或 x=23. 由 y=2.5 得x=2；或 x=21. 例 4解方程组01012124012522222yxyxyxyxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载解： （这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设 x+y=u, xy=v. 原方程组化为：01021201222vuuvuu. 解得374vu；或91132vu. 即374xyyx；或91132xyyx. 解得：33213321yx；或33213321yx；或4124

6、12yx；或412412yx. 三、练习解下列方程和方程组： （ 1 到 15 题） ：1. )7(27xxxx352x. 2.(16x29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(25x225)2. 3.(2x+7)4+(2x+3)4=32 .4.(2x2x6)4+(2x2x 8)4=16.5.(2115x)4+(2315x)4=16. 6.xxxx112=223. 7.2x43x3x23x+2=0.8.19182222xyyxyxyx9.160311122yxyx. 10.563964467222xxxxxx. 11.(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6. 12.1351

7、1yxyx. 13.1025yxxyyx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载14. 01823312yxyyyxyx.15xxxx111. 16. 分解因式：(x+y 2xy)(x+y 2)+(1 xy)2；a4+b4+(a+b)4 . 17. 已知： a+2=b2=c2=d2, 且 a+b+c+d=1989.则 a=_,b= _,c=_,d=_18. a表示不大于a 的最大整数，如2=1， 2 =2，那么 方程 3x+1=2x21的所有根的和是_.参考答案1. 2212292. 43343. 25

8、4. 2,23,46515.3231-32211，6. 1 7.21,2 8.727272722332yxyxyxyx9.555555555555412124yxyxyxyx10. 7,1 11.32,35精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载12.10358yxyx13.8228yxyx14.1031041031041513yxyxyxyx15. x=25116.设 x+y=a,xy=b 设 a2+b2=x,ab=y 17.设原式 =k, k=442 18. 2 可设 2x21=t, x=21t+41代入 3x+1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页