2022年自动控制原理课件第八章线性离散控制系统 .pdf

《2022年自动控制原理课件第八章线性离散控制系统 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年自动控制原理课件第八章线性离散控制系统 .pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第八章线性离散控制系统8.1 概述8.2 信号采样与保持 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散控制系统的稳定性 8.5 离散控制系统的动态性能分析8.6 离散控制系统的稳态误差分析8.7 离散控制系统的最少拍校正8.8 利用MATLAB 辅助离散控制系统的分析与校正8.9 小结8.1 概述本章知识体系离散控制系统的稳定性离散控制系统基本概念信号的采样与保持离散控制系统的数学模型离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的稳态误差分析最少拍校正利用 MATLAB 辅助离散控制系统的分析与校正描述系统分析系统仿真分析、校正系统 8.1 概述时间上不连续的信号在现实系统中大量存在。例如许多化工生产过

2、程无法在线连续测量产品的质量指标而是通过定期采样化验就能保证产品质量的稳定。系统内有一处或多处的信号仅存在于孤立的时间序列点上这类控制系统称为离散时间控制系统简称离散控制系统。与此相对各处信号均为连续时间函数的控制系统称为连续时间控制系统简称连续控制系统。8.1 概述时间上离散的信号其幅值可能是连续的亦可能是离散的。将时间上、幅值上都连续的模拟信号转换成时间上离散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信号的过程而这一过程就称为采样又称为波形的离散化过程相应的控制系统则称为采样控制系统。若由数字计算机实现控制受计算机字长限制还需要进一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序列信号进一步得到时间和幅值上

3、都是离散的数字序列信号相应的控制系统则称为数字控制系统。8.1 概述8.1.1 离散控制系统的基本概念 1. 采样控制系统大惯性、大滞后控制系统出现的问题采样系统较早出现与某些大惯性、大滞后对象的控制系统中如炉温控制系统。这类对象的相位滞后非常明显为保证系统的相位裕度开环传递系数一般取很小值难以有很高的稳定精度.提高稳态精度的一个方法在偏差信号和执行电机之间安装一个开关使其每隔较长时间才闭合一次且闭合时间很短。当开关闭合时系统根据偏差闭环控制电机当开环断开时电机停止等待炉温变化。由于闭合时间短开环放大系数可取较大值有利于保持动态性能的同时提高稳态精度。 8.1 概述在上述对连续对象实现离散控制

4、的场合采样是必不可少的环节。由连续信号获得相应的时间上离散的脉冲序列信号需要采用一种类似开关的装置对连续信号进行采样见图 8-1中的采样开关 S。开关因开合将连续偏差信号et采样为脉冲序列形式的信号etet0 、et1、et2、.故称系统为采样控制系统或脉冲控制系统。2、数字控制系统数字控制系统的典型结构是由工作于离散状态下的数字计算机数字控制器与工作于连续状态下的广义 ?豢囟韵蠛痛衅髯槌傻娜缤 ?-2所示。采样开关每隔一段时间对连续信号进行采样采样值经转换器量化编码后送给数字控制器数字控制器根据由差分方程表述的预定算法得到数字形式的控制量交由转换器转换成脉冲序列信号去断续控制被控对象或经保持

5、器去连续控制被控对象。在图8-2中et为时间和幅值上均连续的模拟信号 et表示时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号而代表时间和幅值上均离散的数字序列信号。te8.1 概述3. 离散控制系统采样控制系统脉冲序列信号为离散时间信号只需采样不需要编码和解码数字控制系统数字序列信号为离散时间信号对采样值进行编码和对控制量进行解码说明?编、解码均为非线性过程会引入量化误差其中的转换和计算过程也需要一定时间会引入额外的延迟。?无论是采样控制还是数字控制系统均为离散控制系统可采用同一的离散系统分析方法来进行研究。?在实际系统中可能存在固定周期和不定周期等多种采样方式。本章仅讨论固定周期这种简单的采样方式。8

6、.1 概述?本章讨论的离散控制系统如图8-3所示。?系统工作原理 1对偏差信号 et进行采样获得偏差脉冲序列 etet0、et1、et2、.2经控制器产生控制量脉冲序列utut0、ut1、ut2、.直接作用于被控对象或者经保持器得到连续控制量uht再作用于被控对象 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页所得对象的输出 yt被反馈到输入端与参考输入rt形成偏差信号 et。?其中et和yt为连续信号而 uht为连续或者分段连续信号et和ut为离散脉冲序列系统内各部分的信号波形特征如图中所示。 8.1 概述两点说明 1保持器

7、将 ut转换为连续信号 uht但其并非采样控制系统必须的组成?糠?若参考输入信号与反馈到输入端的测量信号通常已为脉冲序列rt和yt两者相减直接获得偏差脉冲序列 et。8.1 概述8.1.2 离散控制系统的分析与校正设计方法1研究线性定常离散控制系统的分析工具是线性定常差分方程、 z变换即脉冲序列的拉普拉斯变换和脉冲传递函数。2线性离散控制系统的校正设计方法分为仿真设计法和离散设计法两种。?仿真设计法是先用线性连续系统的分析和综合方法设计校正环节然后通过选择合适的采样周期将连续校正环节离散化来实现离散校正。?离散设计法是完全采用离散系统的分析和综合方法来直接设计离散控制器。8.2 信号采样与保持

8、 8.2.1 信号采样 1. 采样信号的数学表示 1 采样的形状多样 ?对同一连续信号采样方式和采样装置不同所得的脉冲序列的形状包括高度和宽度等也不一样。?采样结果可能为幅值恒定而宽度正比于采样值大小的脉冲调宽序列亦可能为幅值正比于采样值而宽度恒定的脉冲调幅序列或者其他形式的脉冲序列。 8.2 信号采样与保持 2 脉冲序列的数学表达当脉冲宽度相对于采样周期足够小可统一将其近似为宽度为零且冲量等于其面积的理想脉冲。数学上采样信号ft可用连续信号 ft与周期为 Ts的单位脉冲序列来描述。 1-8000ttkTtkTfkTttfttftfkssksTstsT? 计时起点 t00Ts: 采样周期 ?t

9、kTs: 出现在时刻 tkTs且强度为 1的理想单位脉冲函数 ?fkTs:第k个采样时刻的采样值反映采样信号脉冲的强度简记为fk与连续信号 ft对应fk称为离散信号。 8.2 信号采样与保持 2. 采样定理 2-8 TstjkkkTsseCt用傅立叶级数表示为单位脉冲序列的周期为3-81122sTTtjkTskTdtetTCssss 其中4-81ktjk sTsseTt 采样角频率 :/2ssT5-81ktjkssetfTtf6-81100kssktjkssstjksFTdtetfTdtetfsFs7-81ksskjFTjF拉普拉斯变换频率特性 8.2 信号采样与保持的分析对频率特性 1 ks

10、skjFTjF的高次谐波分量其余分量均为采样产生采样频率主分量01sTjFk周期的延拓。为以采样角频率是连续信号频谱的频谱采样信号st2jFjFfa连续信号幅频谱 b 采样信号幅频谱连续信号ft的幅频谱单一高频分量的幅值随着频率的升高而逐渐减小即存在一个频率上界值max使得当 gtmax时Fj0主分量 Fj/Ts与Fj的幅频谱形状一致幅值为 Fj的1/Ts倍Fj/Ts包含了全部信息。 8.2 信号采样与保持时 max2s? 各分量 Fjks k0 1 2.互不重叠 ?将ft中频率 gtmax的部分滤除即可得到频谱与Fj形状一致的信号从而可不失真地复原信号 ?若能构造一理想低通滤波器Gj使其在频

11、段 s/2s/2内频率特性为GjTs而其余频段内恒为 0则ft经Gj滤波后即为原信号 ft其中gt为滤波器的单位脉冲响应。 8.2 信号采样与保持时 max2s? 采样频谱的主分量与相邻的高频谐波分量以及各相邻的谐波分量之间将出现重叠这种现象称为混叠。显然此时仅通过低通滤波已无法复原信号。香农定理 C.E.Shannon: 若采样角频率 s满足以下条件则原连续信号ft可从采样信号 ft中唯一确定。 8-82maxs说明:对于实际控制系统而言为保证控制系统的动态性能及抗干扰能力采样周期的选择往往远大于 2max例如可取为闭环系统带宽的20倍以上。当然采样频率过大往往需要增大计算机和 A/D及D/

12、A转换器的字长提高其运算与转换速度增加系统实现精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页成本。 8.2 信号采样与保持 8.2.2 零阶保持器 1. 引入零阶保持器原因理想的低通滤波器物理上不可实现将离散信号ft转化为 ft在工程上最常用、也最简单的方法就是采用零阶保持器。2. 零阶保持器将时刻 kTs的采样值 fkTs一直保持到下一采样时刻k1Ts到来之前以此方法重构连续信号。 9-811T1tsshhTtttgtg矩形脉冲。的持续时间为的幅值为则其响应单位脉冲理想若给零阶保持器输入一低通滤波8.2 信号采样与保持 11s

13、hTtttg10-811sesessGsTsThss传递函数 11-8sin222sin12sssjsssjTsssTjheeTTTjejG频率特性 /2ssTsin22sin128 sssssshTTTTjG 幅频特性式 432320138ssssssssshjG相频特性式 8.2 信号采样与保持 3. 零阶保持器的特性 1低通滤波特性 ?由于其幅值随频率的增大而迅速衰减说明零阶保持器具有低通滤波特性。?但其高频段幅频特性不完全为零因此会让部分高频分量通过从而造成其输出信号的频谱在高频段存在纹波.8.2 信号采样与保持 2相角滞后特性 ?零阶保持器使采样信号 ft变成阶梯信号 fht。fht

14、与连续信号 ft相比形状一致但在时间上平均落后Ts/2即零阶保持器相当于滞后时间常数为Ts/2的延迟环节。 ?从相频特性可知所引入的滞后角度随的增大而增大在s处相角滞后为 180? 因此采样频率的选择不能过小当小于20倍闭环系统带宽时控制系统的分析和设计一般需要考虑零阶保持器的影响。8.3 离散系统的数学模型 8.3.1 z变换000ttkTtkTfkTttfttftfkssksTs14-80000kskTskskTsksskssssekTftLekTfkTtLkTfkTtkTfLtfLsFssTez令15-800kkkkszkfzkTfzFzFkfZzFtfZzFtfZ 简记这种变换为 z变

15、换对连续信号ft采样所得脉冲序列 ft作z变换对离散信号 fk所构成的脉冲序列 ft作z变换z变换本质上只能反映信号在采样时刻的值而不能描述采样点间信号的状态因此不同的连续信号往往可能具有相同的z变换结果。 8.3 离散系统的数学模型 1z变换的求解方法按定义直接计算其z变换表达式 00kkkkszkfzkTfzF例8-1 试求序列 .pz.210为复数其中变换的 kekfspkT解按定义有 010kkpTkkzezkfzFssspTpTkkkkezzzeqqSzF11111limlim11q1zezesspTpT 等比收敛半径的一一对应关系点与对应的离散系统的极稳定极点则证明了连续系统的采样

16、理解为对运动模态若1z0RepeekfptpkTs8.3 离散系统的数学模型更多的详见277页表8-1内容。 8.3 离散系统的数学模型 2z变换的性质根据 z变换定义可证明 z变换性质利用性质进行 z变换。 1 线性定理 2121zbFzaFtbftafZ2 延迟定理 00ttfzFzkTtfZks3 超前定理 10kiikszifzFzkTtfZ4 复数位移定理 saTatzeFtfeZ8.3 离散系统的数学模型 5 初值定理 6 终值定理 7 卷积定理存在 lim lim0zFzFfzz8.3 离散系统的数学模型例 8-2 已知ft的拉普拉斯变换为 11sssF 试求相应的 z变换Fz1

17、11sssF 解111sssTTTezzezezzzzzF查性质表可得 : 例8-3 设saTezztfZzFagt0 试利用终值定理确定 fk的终值。 011lim1lim1limlim111zezezzzzFzkfssaTzaTzzk解: 8.3 离散系统的数学模型例 8-4 试证明表 8-2中的延迟定理和复位移定理。证明分别证明如下1利用tlt0时有ft0的z变换条件可证得 000zFzzpTfzzpTfzzkTnTfzzkTnTfkTtfZkppskpkpskknnssknnsss2由z变换可直接证得 ssssaTaTnnsnaTnsnanTnsatzezzeFzFznTfzenTfz

18、enTftfeZ1110008.3 离散系统的数学模型 8.3.2 z反变换从 Fz求相应脉冲序列 fk的过程称为 z反变换记为 16-81zFZkf常用的 z反变换方法有部分分式法长除法和留数法反演积分法。1部分分式法步骤是先将 Fz展开成部分分式之和再对其中的每个分式逐项查z反变换表见表 8-1求解。例 8-5 设11ssTTezzezzFsTezzzzF111skTezFZkf11 查表210k8.3 离散系统的数学模型 2长除法若 Fz为一有理分式则可直接通过长除法得到一个无穷项幂级数的展开式。根据z-k的系数便可以得出 fk在各时刻的值。例 8-6 精选学习资料 - - - - -

19、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页设21zzzzF试用长除法求 fk. 23212zzzzzzzF3232121211143212141514217676932323157323zzzzzzzzzzzzzzzzzzz3210730zzzzzFf00f11f23.。长除法以序列的形式给出各时刻的值但不容易得出的解析表达形式。 8.3 离散系统的数学模型 3留数法设函数 Fzzk-1除有限个极点 z1z2.zn外在z平面上是解析的则有 17-8Res11nizzkizzFkf处的留数。在表示函数 ikzzkzzzFzzFi11Res 其计算方法如下 1若

20、zii12.n均为单极点则 2若zi为m阶重极点则 18-8limRes11kizzzzkzzFzzzzFii19-8 1-m1limRes1111kmimmzzzzkzzFzzdzdzzFii8.3 离散系统的数学模型例 8-7 考虑例 8-6中的Fz试用留数法求 fk 21zzzzF 2102122112121Res21211kzzzzzzzzzzzzkfkzkzkizzki8.3 离散系统的数学模型 8.3.3 差分方程 1连续系统的离散化对于线性定常连续系统可通过离散化方法得到系统的离散模型。 20-8tuTKTtyty21-8111ssssTktTkykyTTkykTytys22-8

21、111kuTTKkyTTkyss微分近似计算 8.3 离散系统的数学模型一般来说描述线性离散系统输入与输出关系的差分方程模型为23-801mllniilkubikyaky 第k时刻的输出不仅取决于当前时刻的输入还与历史时刻的输入输出有关第 k-i时刻的输出第 k-l时刻的输入 nmazazazaazbzbzbbzazbzUzYnnnnmmmmniiimlll10111101111000在零初始条件下对 8-23取z 变换得到离散系统的输入-输出数学模型。 8-248.3 离散系统的数学模型 2离散系统响应序列的求取与拉普拉斯反变换的作用类似可用z反变换来求取离散系统的响应序列。例8-8 设初始

22、值为 y00和y10输入为 0001kkku试用z反变换法求由差分方程 yk13yk1-2ykuk所描述的离散系统的响应。解查表8-1知1kuZzU对差分方程两端作 z变换并应用超前定理得 : 123031023222zUzYzzzyzyyzzYzz1223112zzzzzzzzY1211kky8.3 离散系统的数学模型 8.3.4 脉冲传递函数 1. 脉冲传递函数的定义离散系统的分析和设计借助的就是z 变换建立起来的传递函数模型此时所建立的模型称为脉冲传递函数模型。故离散系统的传递函数为 25-8zGzUzYsUsYtuLtyLsG脉冲传递函数记为 Gz即在零初始条件下系统输出的 z变换与输

23、入的 z变换之比。 8.3 离散系统的数学模型利用脉冲传递函数的定义26-81111111110nnnnmmmmzazazazbzbzbbzUzYzG此时两个系统输入均可视为1tZzU而两个系统的输出亦均可视为zGzUzGzY所以系统脉冲传递函数可由对连续系统单位脉冲响应gt的采样信号的 gtgk求z变换来获得 zGkgZtgZ变换。的为称简单记为 zs :GzGsGZzG8.3 离散系统的数学模型。通常对于其他输入utytyt应理解为按图 8-12a所示信号关系求出 Gs所对应的 Gz而不能理解为图 8-12b所示的Gz是对Gs直接进行 z变换的结果。由定义知脉冲传递函数性质1脉冲传递函数是

24、复变量 z的复函数。 2脉冲传递函数只与系统自身的结构和参数有关。3系统的脉冲传递函数与其差分方程一一对应均可描述系统的动力学特性。4脉冲传递函数是系统单位脉冲响应序列的z变换。图 8-12 理想虚拟采样开关 sGZzG8.3 离散系统的数学模型例 8-9 设图8-12a中11sssG 试求其脉冲传递函数及差分方程。解其脉冲传递函数为sssssTTTTTezezzeezzezssZzG1111112zUzYzG112zzUezYezezsssTTT11211kuekyekyekysssTTT8.3 离散系统的数学模型 2. 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数可归纳为并联、串联和包含零

25、阶保持器的三种基本情况下面讨论后两种相对复杂的情况。1环节的串联 21zGzGzG11zUzGzU12zUzGzY2121zGGzGzG一般27-821zGzGzG28-82121zGGsGsGZzG8.3 离散系统的数学模型 ssG/11例8-10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页设图8-13和图8-14中均有 1/12ssG试求两个开环系统的脉冲传递函数Gz 。111zzsZzG112sTezzsZzG1221sTezzzzGzGzG111121ssTTezzezssZzGGzG8.3 离散系统的数学模型 2含

26、零阶保持器的广义对象开环系统中串联零阶保持器后其开环传递系数和相频特性均发生变化尤其当采样频率小于闭环系统带宽的20倍时通常不能忽略零阶保持器相位滞后对闭环控制系统性能的影响。ssGpssGepsTs1tgpsppTtgtg拉式变换 29-8111ssGZzsGseZzGppsTs 延迟定理 1tgZzTtgZpsp8.3 离散系统的数学模型例 8-11 设图8-15中11sssGp 试求开环系统的脉冲传递函数Gz 。解因查表 8-1得11111122sssssssGp1111122sssssTTTssTTspezzeeTzTezezzzzzzTssGZ11111ssssTTTssTpezze

27、eTzTessGZzzG与例8-10比较可以看出零阶保持器一般不改变脉冲传递函数的阶数也不影响脉冲传递函数的极点只影响零点。111121ssTTezzezssZzGGzG 例8-10结果8.3 离散系统的数学模型 3. 闭环系统脉冲传递函数 ?采样开关在环路中的配置存在多种可能相应地闭环系统的结构形式也不唯一。 ?图8-16是一种常见的偏差采样闭环离散控制系统结构图其中虚线所示的理想采样开关是为了方便分析而设的。假设所有理想采样开关都同步工作。zEzGHzBzBzRtbtrZzEzEzGzY30-81zGHzGzRzYzT闭环系统的脉冲传递函数为8.3 离散系统的数学模型误差脉冲传递函数31-811zGHzRzEzTE闭环系统的特征方程为32-801zGHz一般而言 sTZzTsTZzTEE因此闭环离散系统的脉冲传递函数通常不能直接从对 Ts和TEz求z变换得到。 8.3 离散系统的数学模型例 8-12 设闭环离散系统结构图如图8-17所示试求其闭环脉冲传递函数。. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页