2022年重庆理工大学概率论试卷及答案5 .pdf

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1、1 概率与数理统计复习资料一、单项选择1.设随机事件 A与 B 互不相容，且( )0 ,()0 ,P AP B则A.()1()P AP BB.()()( )P ABP AP BC.()1P ABD.()1P AB2.设A，B为随机事件，()0P A,(|)1P A B，则必有A.()()P ABP AB.ABC.( )()P AP BD.()()P ABP A3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为A.2224B.1224CCC.242!AD.24!4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是A.33()4B.231

2、( )44C. 213( )44D.22413()44C5.已知随机变量X的概率密度为( )Xfx ，令2YX，则Y 的概率密度( )Yfy 为A. 2( 2 )xfyB. 2()2xyfC. 1()22xyfD.1()22xyf6.如果函数,;( )0,x axbf xxaxb或是某连续随机变量X 的概率密度，则区间 , a b可以是A.(0,1)B.(0, 2)C.(0,2)D.(1,2)7.以下各函数中是随机变量分布函数的为A.Fxxx1211( ),B.200( )01xFxxxxC.3( ),xFxexD.Fxarctgxx43412( ),精选学习资料 - - - - - - -

3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 8.设二维随机向量 X,Y的联合分布列为Y X 0 1 2 0 1122122121 1121120 2 212112212则(0)P XA. 112B. 212C. 412D. 5129.已知随机变量X和Y 相互独立，且它们分别在区间 1,3和2, 4上服从均匀分布，则()E XYA. 3B. 6C. 10D. 1210.设( )x为标准正态分布函数，1,0,iAXA事件 发生；事件 不发生，1,2,100i，且( )0.8P A,12100,XXX相互独立。令1001iiYX，则由中心极限定理知Y的分布函数( )F

4、y近似于A.( )yB.80()4yC.(1680)yD.(480)y11.设随机事件 A 与 B 互不相容，且有 P(A)0，P(B)0，则以下关系成立的是( ) A. A，B 相互独立B. A，B 不相互独立C. A，B 互为对立事件D. A，B 不互为对立事件12. 已知 P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(AB)=0.6，则 P(AB)=( ). B. 0.2 C D. 1 13. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则 f(x)一定满足A.0f(x)1 B.( )XP Xxf t dtC.( )1f x dxD.f(+)=1 14. 从 0，1， 9 十个数字中随机地有放回地

5、接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为 ( ) A.0. 1 B.0.3439 C. 0.4 D. 15. 设一批产品共有 1000个， 其中有 50个次品。 从中随机地有放回地抽取500个产品， X 表示抽到次品的个数，则PX3( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 A. 5001000497950350CCCB. 5001000497950350AAAC. 49733500)95.0()05. 0(CD. 500316. 设随机变量X 的概率密度为f(x)=1cos ,20,.x axb其它则区间

6、(a,b)是( ). A. (0，2) B. (2,0) C. (， ) D. (2，2) 17. 已知随机变量 X 的分布列为X -1 2 5 p 则 P-22 =A. 0 B. C 18. 设二维随机向量 X,Y的概率密度为f(x,y)，则 PX1= A. dy)y,x(fdx1B. dy)y,x(fdx1C. 1dx)y,x(fD. dx)y,x(f119设随机变量 XB30，61 ，则 EX( ) A. 61B. 65C. 625D. 5 20. 设随机变量 XB(100，0.1)，则方差 D(X)=( ). A. 10 B. C. 9 D. 3 二、填空1.一口袋中装有3只红球，2只

7、黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是. 2.设1( )2P A，2(|)5P B A，则()P AB. 3.已知随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P 2a a 则常数 a. 4.设随机变量(0,1)XN，( )x为其分布函数，则( )()xx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 5.已知连续型随机变量X 的分布函数为1,0;31( )(1),02;31,2.xexF xxxx设 X 的概率密度为( )f x，则当0,( )xf x. 6.设 随 机 变 量 X与 Y相 互 独

8、立 ， 且1(1)2P X，1(1)3P Y， 则(1,1)P XY= 7.设 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为 f(x)=221( ),2xf xex， 则(1)E X. 8. 设 随 机 变 量X与 Y 相 互 独 立 ， 且()1D X，( )2D Y， 则()D XY. 9.设样本的频数分布为X 0 1 2 3 4 频数1 3 2 1 2 则样本方差2s. 10.设总体X服从正态分布2( ,)N，中未知，12,nXXX为其样本。假设假设检验问题为201:1:1HH，则采用的检验统计量为. 11. 已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(AB)=0.8，那么P(AB)=_,P

9、(AB)=_. 12. 进行 5 重贝努利试验，事件A 在每次试验中发生的概率P(A)=0.1，则在5 次试验中 A 恰发生 2 次的概率为 _ ，A 至少发生 1 次的概率为_ 13. 假设 1，2，3，4，5 号运发动随机排成一排，则1 号运发动站在正中间的概率为 _. 14. 设 X 为连续随机变量， c 为一个常数，则 PXc_. 15. 设 XN(5，4)，假设 d 满足 P(Xd)=(1)，则 d=_. 16. 已知 X 服从两点分布，其分布列为X 0 1 ，那么当 0 x1 时， X 的分布函数的取值为F(x)=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

10、 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 kP17. 已知随机变量X 的分布函数为FX(x),则随机变量Y=3X+2 的分布函数FY(y)=_. 18. 设随机变量 X 有密度f(x)=(1),01,0,.Kxx其它则 K=_ 三、证明题1.设 A、B为两个随机事件，0()1P B，且(|)(|)P A BP A B ，证明事件 A与 B 相互独立。2. 设 A，B 为随机事件， PB0，证明： P(A|B)=1-P(B|A). 四、计算题共8 分1.设随机变量 X 的概率密度为,01;( )0,.cxxf x其它且()0.75E X， 求常数c和. 2. 设随机向量 (X，Y)概

11、率密度为 f(x,y)=其他0,xy1,0 x8xy,0(1)求边缘概率密度 fX(x),fY(y)(2)求概率 PY 2X 五、综合题1.设二维随机向量(,)X Y的联合概率密度为f(x,y)=,0;( , )0,.yexyf x y其它一、 求(,)X Y分别关于X和Y 的边缘概率密度( ),( )XYfxfy ；二、 判断X与Y 是否相互独立，并说明理由；2设随机变量1X 与2X 相互独立，且21( ,)XN，21( ,)XN，令12XXX2，12YXX .求： 1(),( )D XD Y;(2)X与Y 的相关系数XY. 3. 加工某种零件，如生产情况正常，则次品率为3%，如生产情况不正

12、常，则次品率为 20%，按以往经验，生产情况正常的概率为80%，任取一只零件，求它是次品的概率. 已知所制成的一个零件是次品，求此时生产情况正常的概率. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 4. 设由取自正态总体2(,0.9 )XN，容量为9的样本，得样本的5X，求未知参数的95%置信区间0.0251.96u六应用题1已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为0.03， 在某段时间抽测了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有

13、无显著差异？(显著性水平05.0(7.2)9(,023.19)9(2975. 02025.0 .) 2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地取36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5分，标准差为 15分，问在显著性水平0.05 下， 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分？设01:70:70HH答案一、单项选择11.D 12.B 13.C 14.B 15.C 16.D 17.D 18.B 19.D 20.C 二、填空2. 154. 1 5. 13ex6. 167. 1 8. 3 9. 2 10. (n-1)s2或()xxiin1211. 1,0.212. 缺答案13.

14、缺答案14. 缺答案15.116.0.417.218. 3 三、证明题共 8 分1.证法一： 由题设及条件概率定义得P ABP BP ABP B()()()(),又P ABP ABP AP AB()()()()，由以上二式可得P(AB)=P(A)P(B) ，故 A 与 B 相互独立。证法二： 由全概率公式得P(A)=P B P A BP B P A B() (|)() (|)=P BP B()()P(A|B) (由题设 ) =P(A|B)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 则 P(AB)=P(B)P(A|B)=P

15、(A)P(B), 故 A 与 B 相互独立。2，证：右边 =()1(|)1( )P ABP A BP B()()()1(|)()()P BP ABP ABP A BP BP B=左四、计算题共 8 分1.解：由cx dxcxdx107501101,.,可得cc112075,.,解得23,.c2 解： 30( )884xXfxxydyxydyx3401( )0Xxxfx其它同理可得401( )0Yyyfx其它12200()882xxXP Ydxxydyxdxydy1220014|8xxydx五、综合题本大题共两小题，每题12 分，共 24 分1解： 1边缘概率密度为fx(x)=f x y dye

16、dyexxxyx( , ),;,000fx(y)=f x y dxedxyeyyxyyy( , ),;,0002由于 f(x,y)fxfyXY( )( )，故 X 与 Y 不独立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 3PX+Y 1=f x y dxdyxy( , ) 1=dxedyyxx1012=12112ee. 2.解：D(X)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=22, D(Y)=D(X1- X2)= D(X1)+ D(X2)=22, Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y) =E XE XE

17、XE XE XE X()()() ()()12221212=D(X1)- D(X2)=0, 则XYCov X YD XD Y(,)()(). 03解： 1边缘概率密度为fx(x)=f x y dyedyexxxyx( , ),;,000fx(y)=f x y dxedxyeyyxyyy( , ),;,0002由于 f(x,y)fxfyXY( )( )，故 X 与 Y 不独立。3PX+Y 1=f x y dxdyxy( , ) 1=dxedyyxx1012=12112ee. 4.解：D(X)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=22, D(Y)=D(X1- X2)= D(X1)+ D(X2

18、)=22, Cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y) =E XE XE XE XE XE X()()() ()()12221212=D(X1)- D(X2)=0, 则XYCov X YD XD Y(,)()(). 0六、应用题1.解：缺答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 2.解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，n1=5,n2=6,x=175.9,y=172,s12113 .,s22=9.1,005. snsnsnnw()()11222212112选取 t(9)=2.2622, 则12置信度为的置信区间为：xytnnsnnxytnnsnnww2121221212211211(),() =- . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页