2022年复变函数期末试卷 .pdf

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1、精品资料欢迎下载复变函数论期末考试试题-A 卷答案一、 选择题（每小题4 分，共 20 分）21|z|且Im 表示的轨迹为（ B）A、有界闭区域 B 、有界开区域 C 、无界开区域 D 、无界闭区域 右半平面Rez0 在映射izi下的象为 ( D ) A、 Im0 B、 Re0 C、 Re1 D、 Im1 )43(iLn= (C ) A、)34(5lnarctgi B、)342(5lnarctgkiC、)342(5lnarctgki D、)342(5lnarctgki3(1)(2)zzz( ) =f z的支点为 ( D ) A、1,2,z B 、0,1,2z C、0,1,2,z D 、0,z0

2、z= 0 为函数21 cos( )zf zz的（ A ）A、可去奇点 B、本性奇点 C 、一阶极点 D 、二阶极点二、填空题（每小题4 分，共 36 分）设3z，则() i( ) 设32173)(zzzfd，则)1(if)136(2i3. 1)2ln(zzdz= 0 4. 2234sinzzzzdz= 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载5. 10423z =3(2) ()z dzz +z- 2= 2 i6. 将函数21( )(2)f zz展成1z的幂级数，则其收敛圆为（|1|3z）. 7.|ze在

3、闭圆|1| 1z上的最大值为（2e）8. 级数12)1sin(nnnni绝对收敛（发散，收敛，绝对收敛）9. 函数2( )f zz=在zi=处的伸缩率为 2三、 （8 分）求函数221( )(4)zf zz z的所有奇点，并确定它们的类型；如果是孤立奇点，计算其留数四、 （7 分）将函数( )12nnzf z =+ z在环域 r z(r 1) 内展成Laurent级数，并由此计算积分3d12nnzzz+ z。解: 在环域(1 )rz内, 由于1z, 从而11z, 因此20( )()(4)111nnnnknknzzf zzzzz23212111(1)111,1(5)11( 1)1,1nnnnnn

4、nkkzzzzznzzznzzz当 n=1 时，33(6)dd112n2nzzzzz =z = 2 i - - - - - - - -+ z+ z1n当时，根据留数定理及函数在无穷远点的留数，由上述展式可得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载3(7)d12nnzzz = 0 - - - - - - - -+ z五、 （8 分）计算积分0()()cos d1922x xx +x +。解: 由于22cos( )(1)(9)xf xxx为偶函数 , 因此22220cos1cos(1)(9)2(1)(9)xd

5、xxdxxxxx-(1) ()()cos d1922x xx +x +为()()e d19ix22xx +x +的实部， -(2)22( )(1)(9)izef zzz在上半平面有两个一级极点zi和3zi -(3) 且1Re ( ), 16es f z ii，-(5) 3Re ( ),3 48es f zii-(7) 利用留数定理在实积分中的应用定理有()()e d19ix22xx +x +=1322312Re ( ),2()(31)164824iieeis f z zieiie-(9) 从而0() ()cos d1922x xx +x +=23( 31)48ee -(10)六 、 （7 分）

6、验 证 函数22),(yxyxyxu为调 和函数 ， 并求),(yxv，使ivuzf)(为解析函数，且iif1)(。证明 :2, 22222yuxu02222yuxu即),(yxu为调和函数 .-（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载 解: yxuyxuyx2,2cyxyxcdyyxudxxuyxvyxxy222),()0 ,(),(2201 -(6) czizyxivyxuzf222),(),()(由iif1)(, 可得21c -(7) 212)(22zizzf -(8) 七、 （7 分）设)(z

7、f在区域 D 内解析，且)(zf在 D 内为常数，证明)(zf在D 内为常数。证明: 设),(),()(yxivyxuzfCvuzf22)(即222Cvu上式两边分别对 x,y 求导, 有022,022yyxxvvuuvvuu)(zf在 D内解析 , 又有xyyxvuvu,由 解得0,0yxyxvvuu故),(),(yxvyxu为常数, 分别记为21,cvcu所以,21)(iccivuzf为一复常数 .八、 （7 分） 试证：当|a| e时，方程0zne -az =在单位圆1| z |=|nzRezz|-az=|ae = ee|e -(4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载而函数ze和-naz均在单位闭圆1|z|上解析，故由儒歇定理(,| 1)(,| 1)znnN eazzNazzn即方程0zne - az =在单位圆1| z|内有 n 个根。 -(7) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页