2022年完整word版,线性代数知识点总结 .pdf

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1、1. 二阶行列式 -对角线法则: |? ? ?| =? - ?2. 三阶行列式对角线法则按行（列）展开法则3. 全排列： n 个不同的元素排成一列。所有排列的种数用?表示，?= n！逆序数： 对于排列 ? ? ?，如果排在元素?前面， 且比 ?大的元素个数有?个，则?这个元素的逆序数为?。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即?!?对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.4. 其中： ?是 1,2,3 的一个排列，t(?)是排列?的逆序数5. 下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列

2、式：副对角行列式：6. 行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = ?互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行： ?行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数k 乘此行列式。第i 行乘 k：?x k推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如第 j 列的 k 倍加到第i 列上：

3、?+ ?333 231232 221131 211aaaaaaaaa322 1312 31 2332 211aaaaaaaaa1331221 333211 23 22311aaaaaaaaa3213212 3312 32 2211 31 2113 j2 j1 j)jjt ( j33aaaaaaaaaaaa1)(nn2 211nnn2n122211 1.aaaa.aa0aaan. 21n21n21n2121)n(n1)(nnnjn jn 2n12n2 j2 j2 2211n1j1 j1211a)c(baaa)c(baaa)c(baan nn jn2n12 n2j22211n1j121 1n nn

4、jn2n12 n2j22211n1 j121 1acaaacaaacaaabaaabaaabaan nn jn jn in12 n2 j2 j2 i211 n1 j1 j1 i11aakaaaaakaaaaakaaannn jn in 12n2 j2i211n1j1 i1 1aaaaaaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页7. 重要性质 ：利用行列式的性质?+ ?或 ?+ ?，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。 （P11 页例 7）8. 行列式按行（列）展开法则（* 重要 * ）

5、重要概念：余子式： 在 n 阶行列式中， 把元素aij所在的第i 行和第j 列划去 , 剩下的 ( n -1 )2个元素按原来的排法构成的n - 1 阶行列式叫做 aij 的余子式，记为Mij代数余子式：记Aij = ( -1 ) i+j Mij 为元素aij的代数余子式。重要性质，定理1）第 i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。2）行列式按行 （列） 展开法则 ：行列式等于它的任意一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0 的行（

6、列），从该行选取一个非0 元素 aij，并将该行其他元素通过性质化为0，则 D = aij Aij 9. 利用 Cramer 法则 求解 n 个 n 元线性方程组：若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0，则无解其中?(j=1,2 n) 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n 阶行列式即：对于齐次线性方程组，如果系数行列式D 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵：由mn 个数?(i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)排成的m 行 n 列的数表 (是一组数 )。行（列）矩阵：只有一行（列）

7、的矩阵，又称为行（列）向量。同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B ： 矩阵 A 和矩阵 B为同型矩阵，且对应的元素相等。零矩阵：所有元素为0 的矩阵，记为O，不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵： 对角线元素为12,nL，其余元素为0 的方阵单位矩阵： 对角线元素为，其余元素为0 的方阵，1212diag,nnLO111EO2. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律inini2i2i1i1AaAaAaDnjnj2j2j1j1jAaAaAaDji0AaAaAaj ni nj 2i 2j 1i 1ji0AaAaAanj

8、n i2j2i1j1 i或0aaaaaaaaaDnnn2n12n22211n1211DDx,DDx,DDxnn2211n.,1,2,jaabaaaabaaaabaaDnn1jn,n1jn,n12n1j2,21j2,211n1j1,11j1,11j精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页2）数与矩阵相乘，()AAA，()ABAB3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；?乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；?即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行

9、元素对应相乘再相加。注意：一般情况下：AB BA。 但是满足结合律和分配律。EA = AE = A4）矩阵的幂：若A 是 n 阶方阵，则：?= ? ?= ? ?= ?-?显然：3. 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作AT .如：性质：设 A 为 n 阶方阵，如果满足?=?，即 ?= ?，则 A 为对称阵如果满足?=-?，即 ?= -?，则 A 为反对称阵4. 方阵的行列式：由n 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作| A| 或 det A.性质：T| |AA，|nAA，| |ABAB。5. 伴随矩阵：其中?是?的代数余子式，*A称为 A 的伴随矩阵。

10、（特别注意符号）6. 逆矩阵：对于n 阶方阵A，如果有n 阶方阵B，使得 AB = BA = E ，则称 A 可逆，B 为 A 的逆矩阵，记为?-?。且 A 的逆矩阵是唯一的。判断方阵A 是否可逆： |? | 0 ?A可逆，且逆矩阵?-?=?|? |?推论：若 |? | 0，则|?-?| =?|?|。此时称 A 为非奇异矩阵。若|? | = ? ，则称 A 为奇异矩阵。二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。单位矩阵E是可逆的?= ?-?。零矩阵是不可逆的。()()AA11221sijijisijsjkkkijca ba ba ba bL22222()()2()()kkkABA

11、BABAABBABABABA、B 可交换时才成立, ()klklklklAAAAA122,458A1425;28TA(1) ();TTAA(2) ();TTTA BAB(3) ();TTAA(4) ().TTTABB A112111222212nnnnnnAAAAAAAAAALLLLLLL注意：元素 ?的代数余子式 ?是位于?的第 j 行第 i 列（类似于转置）性质：?= ?= |? |?111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaaLLLLLLLA = (? ? ?)- ?-?=?-?(? -?-? ?)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

12、- - - -第 3 页，共 7 页对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。推论：如果n 阶方阵 A、B 可逆，那么 ?-?、 ?、 A ( 0)、AB也可逆且：用逆矩阵求解线性方程组：已知?= ? ，若 AB可逆，则?=?-?-?（ A 在 X 左边，则 ?-?必须在 C左边， B 也如此）7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块 ；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 .分块矩阵的运算： （其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵A 和 B是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)2

13、）分块矩阵A 的转置 ?：除了 A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。8. 分块对角矩阵：设 A 是 n 阶矩阵，若：A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵对角线上的子块都是方阵则称 A 为分块对角矩阵。性质： | A | = | A1| | A2| | As| 若 | As| 0，则| A | 0，并且分块副对角矩阵：(? ? ?)-?= ( ? ?-?-? ? )A = O 的充分必要条件：?= ?第三章1. 初等行变换： （运算符号： ）- 注意与行列式的运算加以区分互换两行，记做?第 i 行乘以非0 常数 k，记做 ?第 j 行的 k 倍加到第i 行上，记做

14、?+ ?2. 若矩阵 A 经过有限次初等变换成矩阵B，则称 A 与 B等价，记做 ?的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及 n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ = B3. 矩阵之间等价关系的性质：反身性： ? 对称性：若? ，则 ? 传递性：若? ， ? ，则 ?4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4）非零行的 首非零元为1;5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5. 初等矩阵：由单位矩阵 ? 经过 一次初等变换得到的矩阵。 （是可逆的）1）单位矩阵对换i，j 行，记作?(?, ?)?(?, ?)-

15、?=?(?, ?)2）以常数k0 乘单位矩阵第i 行（列）， 记作 ?(?(?)?(?(?)-?= ?(?(?)3）以k 乘单位矩阵第j 行加到第i 行，记作 ?(?, ?(?)?(?, ?(?)-?= ?(?, ?(-?)性质 1：左行右列设 A 是一个m n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵 .11(),AA11()() ,TTAA111(),AA111().ABBA（ 5）|?-?| =|? |-?12sAAAAO111121sAAAAO精选学习资料 - - - - - -

16、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页性质 2：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使A = P1P2 , Pl推论： 方阵A 可逆的充要条件是如果 A ? ，则存在可逆矩阵P，使 PA = B 。? (?,?)(?,?) ：即当 A 变换成 B 是时， E 变为 P（求 P）求方阵 A 的逆矩阵方法总结：方法 1：判断A 可不可逆：若|? | ? ? A 可逆- 书中 P41 页?-?=?|? |?：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法 2：本身蕴含了判断A 可不可逆的条件，即? ? A 可逆- 书中 P64 页例

17、 2 (?,?)(?, ?-?) ：即对矩阵(A,E) 进行初等行变换，当A 变成 E时， E就变成了所求的?-?求?-? ：该方法用来求方程组? = ? ? ?= ?-? - 若 ? = ? ，可先化为?= ?方法： ( ?, ? ) (?,?-?) ：即对矩阵(A,B) 进行初等行变换，当A 变成 E时， B 就变成了所求的?-?二、 矩阵的秩1. k 阶子式：在mn 矩阵A 中， 任取k 行 k 列( k m，k n)，位于这些行列交叉处的k2个元素 ，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式 ，称为矩阵A 的 k 阶子式mn 矩阵 A 的 k 阶子式共有? ?个2. 矩阵的秩

18、：设矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A)。零矩阵的秩等于0。常用：1）对于 n 阶方阵 A，R(A) = n (称 A 满秩 ) ?|? | ? A 可逆2）若? ，则 R(A) = R(B)3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数4）?(?) = ?(?)5）若 P、Q 可逆，则R(PAQ) = R(A) ( ? = ? ) 即：可逆矩阵与任何矩阵A 相乘，都不会改变所乘矩阵A 的秩6）max R(A), R(B) R(A, B) R(A) + R(B)当 B

19、= b为非零列向量时，R(A) R(A, B) R(A) +7）R(A+B) R(A) + R(B)8）R(AB) minR(A), R(B)3. 线性方程组的解n 元非齐次线性方程组? = ?- P75 页例 13 P79 页 17 题1）无解? ? (? ) ?(?, ?)2）有解? ? (? ) = ?(?, ?)n元齐次线性方程组? = ? 有非零解? R(A ) n第四章一、向量组及线性组合1. n 维向量： n 个有次序的数a1 , a2 , , an所组成的数组。这n 个数称为该向量的n 个分量，第 i 个数ai称为第i 个分量2. 向量组 ：若干个 同维数 的列向量（行向量）所

20、组成的集合3. 给定向量组A：a1, a2, , am，对于任何一组实数k1, k2, , km，表达式k1a1 + k2a2 + + km am称为向量组A 的一个 线性组合 。k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数4. 给定向量组A：a1, a2, , am和向量b，如果存在一组实数l1, l2, , lm，使得b = l1a1 + l2a2 + + lm am则向量b 是向量组A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示rAErrrrr求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵有唯一解? (? ) = ? (?, ? ) = ?有无限解? (? ) = ? (?, ? ) ?

21、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页向量b 能由向量组A 的线性表示?R(A) = R(A, b)? 方程组 x1a1 + x2a2 + + xm am = b有解5. 设有向量组A：a1, a2, , am及 B：b1, b2, , bl， 若向量组B 中的每个向量都能由向量组A 线性表示，则称 向量组B 能由向量组A 线性表示 若向量组A 与向量组B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价两个向量组等价?R(A) = R(B) = R(A, B)6. 向量组B 能由向量组A 线性表示? 存在矩阵K，使 B = AK

22、? 矩阵方程AX=B 有解? R(A) = R(A,B) ? R(B) R(A) （这是必要条件）二、向量组的线性相关性1. 给定向量组A：a1, a2, , am，如果 存在不全为零 的实数k1, k2, , km，使得k1a1 + k2a2 + + km am =0（零向量）则称向量组A 是线性相关 的，否则称它是线性无关 的2. 只含一个向量a 的向量组A，当 a = 0 时， A 线性相关 ； a 0时， A 线性无关只含两个向量a1, a2的向量组A，线性相关? a1, a2 的分量对应成比例。向量组 A：a1, a2, , am(m 2) 线性相关? 向量组 A 中至少存在一个向量

23、能由其余m-1 个向量线性表示。3. 向量组 A 线性 相关 ?m 元齐次线性方程组Ax = 0 有非零解? R(A) m向量组 A 线性 无关?m 元齐次线性方程组Ax = 0 只有零解? R(A) = m4. n 维单位坐标向量组E：e1, e2, , en，是 线性无关 的，且是最大的线性无关组之一。维单位坐标向量组E：e1, e2, , en能由向量组A： a1, a2, , am线性表示? . R(A) = n5. 定理1）若向量组A ：a1, a2, , am 线性相关，则向量组B ：a1, a2, , am, am+1也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组B 线性无关，则向量组A

24、 也线性无关2）m 个 n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时，一定线性相关特别地，n + 1 个 n 维向量一定线性相关3）设向量组A ：a1, a2, , am 线性无关，而向量组B ：a1, a2, , am, b 线性相关，则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的三、向量组的秩1.设有向量组A ，如果在A 中能选出r 个向量 a1, a2, ,ar，满足向量组A0 ：a1, a2, , ar 线性无关；向量组A 中任意r + 1 个向量（如果A 中有 r + 1 个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0 是向量组A 的一个 最大线性无关向量组，简称最大无关组最

25、大无关组所含向量个数r 称为向量组A 的秩，记作RA。RA 向量组 A 中向量的个数只含零向量的向量组没有最大无关组，秩= 0。2. 向量组A 和它自己的最大无关组A0 是等价的推论：向量组A0线性无关；向量组A 中任意一个向量都能由向量组A0线性表示；那么称向量组A0 是向量组A 的一个最大无关组3. 全体n 维向量构成的向量组记作Rn，向量组E 是 Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n4. 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。如：向量组A ：a1, a2, a3, a4, a5，假设 A0：a1，a2，a4是一个最大无关组，把a3, a5用

26、a1，a2，a4线性表示：四、线性方程组的解的结构1. 设有齐次线性方程组Ax = 0 ，如果 x1 = ， x2= ，.， xn= n为该方程组的解，则称为方程组的 解向量可以看出：b3 = - b1 - b2 b5 = 4b1 + 3b2 - 3b4所以a3 = - a1 - a2 a5 = 4a1 + 3a2 - 3a411211nM2111 21 01 041121 40 11 034622 40 00 133697 90 00 00rAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页2. 性质：若x = 1， x =

27、2 是齐次线性方程组Ax = 0 的解，则x = 1 + 2 还是Ax = 0 的解若 x = 是齐次线性方程组Ax = 0 的解， k 为实数，则x = k还是Ax = 0 的解3. 把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作S，若求得S 的一个最大无关组S0：x = 1, x = 2, ., x = t，那么 Ax = 0 的通解 可表示为x = k1 1 + k2 2 + + kt t 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系 （不唯一）4. 设 mn 矩阵的秩R(A) = r，则n 元齐次线性方程组Ax = 0 的解集S 的秩RS = n - r即： Ax = 0

28、的解集 S的秩等于未知数的个数减去系数矩阵的秩5. 设 n 元齐次线性方程组Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则R(A) = R(B)设 AmnBnl = O （零矩阵），则 R(A) + R(B) n 6. 非齐次方程组的解的性质：若x = 1， x = 2 是非齐次线性方程组Ax = b 的解，则x = 1 - 2 是对应的齐次线性方程组Ax = 0 （导出组）的解若x = 是非齐次线性方程组Ax = b 的解， x = 是导出组Ax = 0 的解，则 x = + 还是Ax = b 的解7. 若 x = 是 Ax = b的一个特解，Ax = 0 的通解为 = c1+c2+cn-rn-r于是：Ax = b 的通解为 = c1+c2+cn-rn-r + 即：非齐通= 齐通+ 非齐特特解：没有线性相关要求，只要是解就可以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页