2022年定积分与不定积分及其性质应用例题解析 .pdf

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1、学习必备欢迎下载4 定积分的性质教学目的与要求：1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法. 2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点：1. 定积分的性质极其证明方法. 2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容：一 定积分的基本性质性质 1 若 f 在a,b 上可积， k 为常数，则 kf 在a,b 上也可积，且bbkfx dxkfx dxaa. （1）证当 k=0 时结纶显然成立 . 当 k0时, 由于11.,nniiiiiikfxkJkfxJ其 中J=,dfab因 此 当f在 a,b上 可 积 时 , 由 定 义 , 任 给0 ,0 ,T存在当时1,

2、niiifxJk从而1.niiikfxkJ即 kf 在a,b 上可积，且.bbkfx dxkJkfx dxaa性质若 f g 都在 a,b 可积，则 fg 在a,b上也可积，且.bbbfxg xdxfx dxg x dxaaa（2）证明与性质类同。注 1 性质与性质是定积分的线性性质，合起来即为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载,bbba fxgxd xafxd xgxd xaaa其中 a为常数。注 2 在 f ，g，h=f+g( 或 f-g) 三个函数中，只要有任意两个在a,b 上可积，则另外一个

3、在 a,b 上可积 . 在 f ，g，h=f+g( 或 f-g) 三个函数中，只要有一个在a,b 上可积，一个在a,b 上不可积，则另外一个在 a,b 上必不可积 . 性质若 f g 都在 a,b 上可积，则 f g 在a,b 上也可积。证由 f 、g 都在 a,b 上可积，从而都有界，设,supa bfx,supa bg x且，（否则f 、g 中至少有一个恒为零值函数，于是f 、g 亦为零值函数，结论显然成立）。任给0,由 f 、g 可积，必分别存在分割T 、T ，使得,2fiiTxB.2giiTxA令 TTT（表示把 T 、T 的所有分割点合并而成的一个新的分割T） 。对于a,b上 T 所

4、属的每一个i，有gfgfigfsup,.,supigfffgg.gifiAB利用 3 习题第 1 题，可知. f gfgiiiiiTTABAfgiiiiTTBA,22BABA这就证得 f g 在a,b 上可积 . 注在一般情形下dxgabdxfabdxgfab. 思考：有没有相除后可积的性质？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载若 f g 都在a,b 上可积， |f(x)|m0,xa,b,则gf在a,b 上可积 . 事实上，由条件可证1f在a,b 上可积 ( 本节习题第 7 题). 再由性质 3 知1

5、ggff在a,b 上可积 . 性质 4 f在a,b 上可积的充要条件是：任给 , ca b，在a,c 与c,b 上都可积。此时又有等式bcbfx dxfx dxfx dxaac（3）证 充分性 由于 f 在a,c 与c,b 上都可积，故任给0,分别存在对 a,c与c,b的分割TT 与，使得,2iiT.2iiT现令, TTT它是a,b 的一个分割 , 且有.iiiiiiTTT由此证得 f 在a,b 上可积 . 必要性 已知 f 在a,b 上可积 , 故任给0,存在对 a,b 的某分割 T,使得.iT在 T 上再增加一个分点C,得到一个新的分割.T由3 习题第一题 ,又有.iiiiTT分割T 在a

6、,c 和c,b 上的部分 , 分别构成对 a,c 和c,b 的分割 , 记为TT 和,则有,iiiiTTiiiiTT这就证得 f 在a,b 和b,c 上都可积 . 在证得上面结果的基础上最后来证明等式(3). 为此对a,b 作分割 T, 恒使点 C为其中的一个分点 , 这时 T在a,c与c,b 上的部分各自构成对 a,c 与c,b 的分割 ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载分别记为TT 与. 由于,iiiiiiTTTfff因此当0,0,0TTT同时有时, 对上式取极限 , 就得到 (3) 式成立

7、. 注性质 4 及公式 (3) 称为关于积分区间的可加性. 当0fx时,(3) 式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性 . 如图 9 10 所示, 曲边梯形 AabB的面积等于曲边梯形 AacC的面积与 CcbB的面积之和 . 按定积分的定义 , 记号bfx dxa只有当 ab 时才有意义 , 而当 a=b或 a b 时本来是没有意义的 . 但为了运用上的方便 , 对它作如下规定 : 规定 1 当 a=b时，令aadxxf;0)(规定 2 当 ab 时，令baabdxxfdxxf.)()(有了这个规定之后，等式（ 3）对于 a、b、c 的任何大小顺序都能成立。例如，当 a bc 时，只要 f 在

8、a ，c 上可积，则有cabccbbacbdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()( =badxxf.)(性质 5 设 f 为a ，b 上的可积函数。若,0)(baxxf则badxxf.0)(（4）证由于在 a ，b 上0f，因此 f 的任一积分和都为非负。由f 在a ，b上可积，则有baniiiTxfdxxf10. 0)()(lim推 论 （ 积 分 不 等 式 性 ） 若 f与 g 为 a ， b 上 的 两 个 可 积 函 数 ， 且),()(xgxfxa ，b ，则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，

9、共 15 页学习必备欢迎下载babadxxgdxxf.)()(（5）证 令 Fxxfxgx,0)()()(a ，b ，由性质 2 知道 F 在a ，b 上可积，且由性质 5 推得0( )( )( ),bbbaaaF x dxg x dxf x dx不等式（ 5）得证 . 性质 6 若 f 在a ，b 上可积，则f 在a ，b 上也可积， ，且babadxxfdxxf.)()(（6）证由于 f 在a ，b 上可积，故任给 0， 存在某分割 T， 使得.fiiTx由绝对值不等式,)()()()(xfxfxfxf可得知,fifi于是有.ffiiiiTTxx从而证得 f 在a,b 可积。再由不等式,f

10、xfxfx应用性质5（推论） ，即证得不等式（ 6）成立。注这个性质的逆命题一般不成立，例如为无理数为有理数xxxf, 1, 1(在0 ，1 上不可积（类似于狄利克雷函数） ；但, 1)(xf它在0 ，1 上可积。例 1 求11,)(dxxf其中21, 10,( ),01.xxxf xex解对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即110110)()()(dxxfdxxfdxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载).1(1201)(10)() 12(1120110eeexxdxedxxx

11、x注 1 上述解法中取0101,)12()(dxxdxxf其中被积函数在 x=0处的值已由原来的, 10) 12(10)0(xxxefx改为由3 习题第 3 题知道这一改动并不影响 f 在-1 ，0 上的可积性和定积分的值。注 2 如 果 要 求 直 接 在 -1 ， 1 上 使 用 牛 顿 一 菜 布 尼 茨 公 式 来 计 算11) , 1()1 ()(FFdxxf这时 F （x）应取怎样的函数？读者可对照2 习题第 3 题来回答。例 2 证明：若 f 在a,b 上连续，且babaxxfdxxfxf.,0)(,0)(,0)(则证用反证法。倘若有某x0a,b 使 f00,x则由连续函数的局部

12、保号性，存在0的某邻域时则为右邻域或左邻域或bxa0000,，使在其中00.2ffx由性质 4 和性质 5推知dxfbdxfdxfadxfab00000000000,2xfdxf这与假设0dxfab相矛盾。所以.,0baxxf。注从此例证明中看到，即使 f 为一非负可积函数， 只要它在某一点0 x处连续，且00,fx则必有0.bfx dxa（至于可积函数必有连续点， 这是一个较难证明的命题，读者可参阅 6 习题第 7 题. ）二积分中值定理定理9.7 （积分中第一中定理）若 f在a,b上连续，则至少存在一点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

13、-第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载,ba，使得.abfdxxfab（7）证由 于f在 a,b上 连 续 ， 因 此 存 在 最 大 值M 和 最 小 值m. 由,baxMxfm, 使用积分不等式性质得到,abMdxxfababm或.1Mdxxfababm再由连续函数的介值性，至少存在一点,ba使得,)(1)(dxxfabfba这就证得（ 7）式成立。积分第一中值定理的几何意义：如图9 11 所示，若 f 在a,b 上非负连续，则y=f() 在a,b上的曲边梯形面积等于以（ 7 ）所示的f为高，a,b 为底的矩形面积。而dxxfabab1则可理解为xf在区间 a,b 上所有函数值的平均值

14、。这是通常有限个数的算术平均值的推广。注把定理中 f 在a,b 上连续，减弱为 f 在a,b 上可积 . 定理结论为：若 f 在a,b 上可积， , inf( ),xa bmf x, sup( ),xa bMf x则存在(),mM使( )()baf x dxba. 事实上，由( )mf xM， , xa b，有,abMdxxfababm从而有,bfx dxamMba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载令bfx dxaba，则,mM且( )()baf x dxba. 性质 7 中的 f() 与这里的都可

15、看作函数xf在区间 a,b 上所有函数值的平均值。例3试求sinxfx在0 ， 上的平均值。解所求平均值为0.20cos1sin1)(xxdxf定理 9.8 （推广的积分第一中值定理） 若 f 与 g 都在a,b 上连续，且 g(x) 在a,b上不变号，则至少存在一点a,b ，使得babadxxgfdxxgxf.)()()()(（8）（当 g(x)=1 时，即为定理 9.7 ）证不妨设 g(x) 0，xa,b ，这时有,),()()()(baxxMgxgxfxmg其中 M 、m分别为 f 在a,b 上的最大、最小值。由定积分的不等式性质，得到bababadxxgMdxxgxfdxxgm.)()

16、()()(若badxxg,0)(则由上式知badxxgxf,0)()(从而对任何 a,b ， （8）式都成立。若( )0,bag x dx则得.)()()(Mdxxgdxxgxfmbaba由连续函数的介值性，必至少有一点a,b ，使得.)()()()(babadxxgdxxgxff这就证得（ 8）式成立。注 1 类似于定理 9.7 的注，本定理的结论亦可推广. 其结论见220P第 9 题. 注 2 事实上，定理 9.7 和定理 9.8 中的中值点 必能在开区间 (a,b) 内取得 (证明留作习题219P第 8 题), 但这并不排除中值点同时能在端点a 或 b 取得，因为中值点可以是不唯一的 .

17、 积分第二中值定理将在下一节里给出. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载课后作业题： 3. 2) 4) 4. 5. 6. 7.3 有理函数的不定积分 ( 一) 教学目的：会求有理函数的不定积分( 二) 教学内容：化有理假分式为有理真分式, 拆分为分项分式 , 有理函数的不定积分 ( 三) 教学建议：通过讲练结合 , 掌握拆分分项分式 , 从而掌握求有理函数不定积分的方法. 有理函数是指两个多项式的商表示的函数mmmnnnbxbxbaxaxaxQxP110110)()(其中naaaa,210及mbbb

18、b,210为常数，且00a，00b。如果分子多项式)(xP的次数n小于分母多项式)(xQ的次数m， 称分式为真分式；如果分子多项式)(xP的次数n大于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为假分式。利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如：1111223xxxxx因此，我们仅讨论真分式的积分。先介绍代数学中两个定理：定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式)(xQ总那个可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：vslkhrxxqpxxbxaxbxQ)()()()()(220定理 2 （部分分式展开定理）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

19、- - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载vvvsllkkhrxxHxRhrxxHxRhrxxHxRqpxxQxPqpxxQxPqpxxQxPbxBbxBbxBaxAaxAaxAxQxP)()()()()()()()()()()()(222222112112222211221221因此有理函数的积分问题就归结为求mcxdx)(和nqpxxNMx)(2。P298-304 例题例 1 将221ax分成分项分式例 2 将222) 1)(2(1322xxxx分成分项分式例 3 将323) 1()1(13xxx分成分项分式例 4 求dxax221例 5 求dxxxxx22) 1(

20、4116例 6 求dxx113例 7 求dxxxxx222)1)(2(1322补充例题例 8 将6532xxx化为部分分式，并计算dxxxx6532解：3223323236532xxBAxBAxBxAxxxxxx653231BABABA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载故Cxxxdxxdxdxxxx)3ln(6)2ln(536256532例 9 求dxxx)1)(21(12解：根据分解式 (4-3) ，计算得22151522154)1)(21 (1xxxxx因此得Cxxxdxxxdxxdxdxxd

21、xxxdxxdxxxxdxxxarctan51)1ln(51|21|ln521151)1 (1151)21(211521151125121252151522154)1)(21(122222222例 10 求2) 1(xxdx解：dxxxxdxxxxxxxdx222)1(1)1(1) 1(1) 1(Cxxxdxxxx111ln)1(11112例 11 求dxxx1142解：Cxxxxxxddxxxxdxxx21arctan2121111111222242小结： 本节学习了有理函数的不定积分，有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来，有理函数存在初等函数的原函数（不定积分），有理函数的不定积分总能

22、“积”出来。作业： P.305 1, 3, 5, 6, 8, 10 第一节不定积分的概念及其性质教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载基本积分公式 . 教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程：一、原函数与不定积分的概念定义 1 如果在区间 I可导函数 F( x) 的导函数为 f ( x)即对任一 x I都有F( x) f (x) 或 dF(x) f ( x) dx那么函数 F( x)就称为 f ( x)( 或 f ( x) dx) 在区间 I

23、例如 因为(sin x)cos x所以 sin x 是 cos x又如当 x(1)因为xx21)(所以x是x21提问: cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数 f ( x)在区间 I那么在区间 I 上存在可导函数 F( x)使对任一 xI 都有F ( x) f (x)如果函数 f ( x)在区间 I 上有原函数 F( x)那么 f ( x)就有无限多个原函F( x)C都是 f ( x)其中 Cf ( x)即如果(x)和 F( x) 都是f (x)则( x) F( x) C ( C为某个常数 )定义 2 在区间I函数 f (x) 的带有任意常数项的原函数称为f (x)( 或

24、f (x) dx ) 在区间 I记作dxxf)(其中记号f ( x)f (x) dxx 称为如果 F( x)是 f (x) 在区间 I那么 F( x) C就是 f (x)即CxFdxxf)()(因而不定积分dxxf)(可以表示 f ( x)例 1sin x 是 cos xCxxdxsincos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载因为x是x21Cxdxx21例 2. 求函数xxf1)(解：当 x0(ln x)x1Cxdxxln1(x0)当 x0ln(x)xx1)1(1Cxdxx)ln(1( x0)Cx

25、dxx|ln1( x 0)例 3 设曲线通过点 (1 2)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的解 设所求的曲线方程为y f (x)曲线上任一点 ( xy)处的切线斜率为 yf( x) 2x, , 即 f ( x)是 2x因为Cxxdx22故必有某个常数 C使 f ( x)x 2C即曲线方程为 y x 2C因所求曲线通过点 (1 2)故2 1 CC 1于是所求曲线方程为y x21函数 f (x) 的原函数的图形称为f ( x)()(xfdxxfdxd或dxxfdxxfd)()(又由于 F(x) 是 F(x)所以CxFdxxF)()(或记作CxFxdF)()(微分运算（以记号d精选学习资料 -

26、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载以记号当记号与 d或者抵消后差二、基本积分表(1)Ckxkdx( k 是常数 ) (2)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1 (4)Cedxexx(5)Caadxaxxln (6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin (8)Cxxdxdxxtanseccos122(9)Cxxdxdxxcotcscsin122 (10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112 (12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc例 4

27、 dxxdxx331CxCx21321131例 5 dxxdxxx252Cx1251251Cx2772Cxx372例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33三、不定积分的性质性质 1 即dxxgdxxfdxxgxf)()()()(这是因为 , )()()()(dxxgdxxfdxxgdxxff ( x) g(x). 性质 2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即dxxfkdxxkf)()( kk0)例 7. dxxxdxxx)5()5(21252dxxdxx21255dxxdxx21255精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

28、 - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载Cxx232732572例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322例 9 xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例 10 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222Cxxdxxdxx|lnarctan1112例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313例 13 dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectan tan xxC例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos12sin2Cxx)sin(21例 15 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页