2022年四川省德阳市高考数学三诊试卷含解析 .pdf

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1、四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）1设集合A= x| x2+x60，B=x| x0，则 A ?RB=（）A x| 0 x2B x| 3x2Cx| 6x0D x| x02已知 a，bR，且 a1+（b+2）i=0i 为虚数单位，则复数（a+bi）2在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限3 ABC 的三个内角A，B，C 所对应的边分别为a，b， c，则 asinAsinB+bcos2A=a是b=a 的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4在（ x）5的展开式中x3的系数等

2、于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（）A20 B 10 C 10，10 D 10 5已知 P是圆（ x1）2+y2=1 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为 ，若| OP| =d，则函数d=f（ ）的大致图象是（）ABCD6一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）ABC20 D40 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页7若函数f（x）=3sin xcos x（x R）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数的最小值为（）ABCD8若 ABC 是半径为的圆 O 的内接三角形，3+4+5=，

3、则?为（）A1 B 1 C6 D 6 9设抛物线y2=2x 的焦点为F，过点 M（，0）的直线与抛物线相交于A、 B 两点，与抛物线的准线相交于点C，| BF| =2，则 BCF 与 ACF 的面积之比=（）ABCD10已知函数f（x）=x| xa|+ 2x若存在a 3，3 ，使得关于x 的方程 f（x）=tf（ a）有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（）ABC D二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分 25 分）11对任意非零实数a， b，若 a?b 的运算原理如图所示，则（log2）?（）2=_ 12 已知双曲线C1：=1 （a0， b0） 的焦距是实轴长的2 倍若抛物线C2

4、： x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 _13古代 “ 五行 ” 学说认为： “ 物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、” 将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示 “ 排列中属性相克的两种物质不相邻” ，则事件 A 出现的概率是_（结果用数值表示） 14若 x，y 满足约束条件目标函数z=ax+2y 仅在点（ 1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是 _15已知有限集A= a1，a2，a3 ，an（n2） 如果 A 中元素 ai（i=1，2，3， ，n）满足a1a2 an=a1+a2+ +an，就称 A

5、 为“ 复活集 ” ，给出下列结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页 集合 ， 是“ 复活集 ” ； 若 a1，a2R，且 a1，a2 是“ 复活集 ” ，则 a1a24； 若 a1，a2N*则a1， a2 不可能是 “ 复活集 ” ； 若 aiN*，则 “ 复合集 ” A 有且只有一个，且n=3其中正确的结论是_ （填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题（共6 小题，满分75 分）16已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 2Sn+an=2（ nN+） （1）求数列 an 的通项公式；（2）设 bn=log

6、3（1Sn+1） （nN+） ，求+ +17某学校为了选拔学生参加“ XX 市中学生知识竞赛” ，先在本校进行选拔测试（满分150分） ，若该校有100 名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图（）根据频率分布直方图，估算这100 名学生参加选拔测试的平均成绩；（）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5 次答题机会， 累计答对 3 题或答错3 题即终止， 答对 3 题者方可参加复赛 假设参赛者甲答对每一个题的概率都是， 求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望18已知向量=（cosx+sinx，1） ，=（sinx，

7、） ，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小周期T 及单调递增区间；（2）已知 a，b，c 分别 ABC 内角 A，B，C 的对边 a=2，c=4，且 f（A）是函数 f（ x）在 0， 上的最大值，求ABC 的面积 S19如图，已知边长为6 的菱形 ABCD ，ABC=120 ，AC 与 BD 相交于 O，将菱形 ABCD沿对角线 AC 折起，使BD=3（1）若 M 是 BC 的中点，求证：在三棱锥DABC 中，直线OM 与平面 ABD 平行；（2）求二面角ABD O 的余弦值；（3） 在三棱锥 DABC 中， 设点 N 是 BD 上的一个动点， 试确定 N 点的位置，使得 CN=4精选学

8、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页20设椭圆E：=1（ab0）的右焦点到直线x y+2=0 的距离为3，且过点（ 1，） （1）求 E 的方程；（2）设椭圆 E 的左顶点是A，直线 l：xmyt=0 与椭圆 E 相交于不同的两点M，N（M，N 均与 A 不重合），且以 MN 为直径的圆过点A，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标21已知函数f（x）=ex（1）若 f（x）在 0，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：当a1 时， f（x） x+1；（3）对于在（ 0， 1）中的任一个实数a，试探

9、究是否存在x0，使得 f（x） x+1 成立？如果存在，请求出符合条件的一个x；如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页2016 年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）1设集合A= x| x2+x60，B=x| x0，则 A ?RB=（）A x| 0 x2B x| 3x2Cx| 6x0D x| x0【考点】 交、并、补集的混合运算【分析】 先解出集合A，再求 A ?RB 即可【解答】 解：集合A= x| x2+x60= x| 3

10、 x2，B= x| x0，?RB= x| x0 ，A ?RB=x| 0 x2 故选 A2已知 a，bR，且 a1+（b+2）i=0i 为虚数单位，则复数（a+bi）2在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D 第四象限【考点】 复数的代数表示法及其几何意义【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】 解： a，bR，且 a1+（b+2）i=0，解得 a=1，b=2则复数（ a+bi）2=（12i）2=34i 在复平面内对应的点（3， 4）位于第三象限故选： C3 ABC 的三个内角A，B，C 所对应的边分别为a，b， c，则 asinAsinB+bcos2A=a

11、是b=a 的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、简易逻辑的判定方法即可判断出关系【解答】 解： ABC 中， asinAsinB +bcos2A=a? sinAsinAsinB +sinBcos2A=sinA?sinB=sinA? b=aasinAsinB +bcos2A=a 是 b=a的充要条件故选： B4在（ x）5的展开式中x3的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（）A20 B 10 C 10，10 D 10 【考点】 二项式定理的应用精选学习资

12、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页【分析】 利用通项公式根据x3的系数等于 5a=5 求得 a的值，可得该展开式中二项式系数最大的项的系数【解答】 解：在（ x）5的展开式中，通项公式为Tr+1=?（ a）r?x52r，令 52r=3，求得 r=1，可得 x3的系数等于 5a=5， a=1，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为=10，故选： D5已知 P是圆（ x1）2+y2=1 上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为 ，若| OP| =d，则函数d=f（ ）的大致图象是（）ABCD【考点】 圆的标准方程【分析

13、】 分两种情况考虑，当直线 OP 过第一象限与当直线OP 过第四象限， 画出函数图象，即可得到结果【解答】 解：当直线OP 过第一象限时，得到d=f（ ）=2cos （0 ） ，当直线 OP 过第四象限时，得到d=f（ ）=2cos（ ）=2cos （ ） ，图象如图所示，故选： D6一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页ABC20 D40 【考点】 由三视图求面积、体积【分析】 几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算【解答】 解：由三视

14、图知：该几何体是四棱锥，如图：其中 SA平面 ABCD ，SA=4，四边形ABCD 为直角梯形，AD BC，AB=AD=4 ，BC=1 几何体的体积V=（ 1+4） 44=故选： B 7若函数f（x）=3sin xcos x（x R）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则正数的最小值为（）ABCD【考点】 函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页【分析】 由条件利用诱导公式、y=Asin（x+ ）的图象变换规律，可得=2k ，kZ，由此求得正数的最小值【解答】 解：函数 f（x）

15、=3sin xcos x=32sin（x+） （xR）的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数的解析式为y=3 2sin （ x） + =3 2sin （ x+） ，所得图象与原图象重合，=2k ，kZ， =，则正数 的最小值为，故选： A8若 ABC 是半径为的圆 O 的内接三角形，3+4+5=，则?为（）A1 B 1 C6 D 6 【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 把已知向量等式3+4+5=变形，两边平方后可得，再由?=?（） ，展开后得答案【解答】 解： 3+4+5= ，5=（ 3+4） ，即，则?=?（）=（3+4）?（）=故选： B9设抛物线y2=2x 的焦点为F，过点 M（

16、，0）的直线与抛物线相交于A、 B 两点，与抛物线的准线相交于点C，| BF| =2，则 BCF 与 ACF 的面积之比=（）ABCD【考点】 抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页【分析】 根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据 | BF| 的值求得B 的坐标， 进而利用两点式求得直线的方程，把 x=代入，即可求得A 的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得【解答】 解：如图过B 作准线 l：x=的垂线，垂足分别为A1， B1，

17、=，又 B1BC A1AC 、=，由拋物线定义=由| BF| =| BB1| =2 知 xB=，yB=，AB ：y0=（x） 把 x=代入上式，求得yA=2， xA=2，|AF|=|AA1|=故=故选 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页10已知函数f（x）=x| xa|+ 2x若存在a 3，3 ，使得关于x 的方程 f（x）=tf（ a）有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（）ABC D【考点】 根的存在性及根的个数判断【分析】 当 2a2 时， f（x）在 R 上是增函数，则关于x 的方程 f（x）=t

18、f（a）不可能有三个不等的实数根；当a（ 2，3 时和当 a 3， 2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t 的取值范围【解答】 解：当 2a2 时， f（x）在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，则当 a（ 2，3 时，由 f（x） =，得 xa 时， f（x）=x2+（2a） x，对称轴x=a，则 f（x）在 x a，+）为增函数，此时f（x）的值域为 f（a） ，+）= 2a，+） ，xa时，f（x）=x2+（2+a）x，对称轴x=a，则 f（x）在 x（ ， 为增函数，此时f（x）的值域为（， ，f（x）在 x，a）

19、为减函数，此时f（x）的值域为（2a， ；由存在 a（ 2， 3 ，方程 f（x）=tf（a）=2ta 有三个不相等的实根，则 2ta（ 2a，） ，即存在 a（ 2， 3 ，使得 t（ 1，）即可，令 g（a）=（a+4） ，只要使 t（ g（a） ）max即可，而g（a）在 a（ 2， 3 上是增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页（ g（a） ）max=g（3） =，故实数 t 的取值范围为（1，） ；同理可求当a 3， 2）时， t 的取值范围为（1，） ；综上所述，实数t 的取值范围为（1，） 故选

20、 B二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分 25 分）11对任意非零实数a， b，若 a?b 的运算原理如图所示，则（log2）?（）2=3【考点】 程序框图【分析】 先分别求出log2与（）2的值，然后比较大小，选择下一步执行的语句，代入计算即可得解【解答】 解： log2=3， （）2=9， 39，执行输出，则（ log2）?（）2=3故答案为： 312 已知双曲线C1：=1 （a0， b0） 的焦距是实轴长的2 倍若抛物线C2： x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为x2=16y【考点】 双曲线的简单性质【分析】 利用双曲线C1：=1（a0，b

21、0）的焦距是实轴长的2 倍，推出a，b 的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页【解答】 解：双曲线C1：=1（a0，b 0）的焦距是实轴长的2 倍，c=2a，即=4，=3，双曲线的一条渐近线方程为：bx ay=0抛物线 C2：x2=2py（p 0）的焦点（ 0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，2=，=3， p=8抛物线 C2的方程为 x2=16y故答案为： x2=16y13古代 “ 五行 ” 学说认为： “ 物质分金、木、土、水、火五种属性

22、，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、” 将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示 “ 排列中属性相克的两种物质不相邻” ，则事件 A 出现的概率是（结果用数值表示） 【考点】 等可能事件的概率【分析】 本题是一个古典概型，把五个元素全排列有A55种方法， 题目要求排列中属性相克的两种物质不相邻，所以当左边的位置排定后（例如： 金） ，第二位 （除去金本身） 只有 “ 土、水” 两种属性第二位排定后，其他三种属性也确定，故有C51C21，【解答】 解：如下排列，金、土、火、木、水当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“ 土、水 ” 两种属性第二位排定后，其他三种属

23、性也确定故有 C51C21=10，所以事件 A 出现的概率是=，故答案为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页14若 x，y 满足约束条件目标函数z=ax+2y 仅在点（ 1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是（ 4， 2）【考点】 简单线性规划的应用【分析】 先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用 z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y 过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可【解答】 解：可行域为ABC ，如图，当 a=0 时，显然

24、成立当 a0 时，直线ax+2yz=0 的斜率 k=kAC=1， a2当 a0 时， k=kAB=2 a 4综合得 4 a2，故答案为：（ 4， 2） 15已知有限集A= a1，a2，a3 ，an（n2） 如果 A 中元素 ai（i=1，2，3， ，n）满足a1a2 an=a1+a2+ +an，就称 A 为“ 复活集 ” ，给出下列结论： 集合 ， 是“ 复活集 ” ； 若 a1，a2R，且 a1，a2 是“ 复活集 ” ，则 a1a24； 若 a1，a2N*则a1， a2 不可能是 “ 复活集 ” ； 若 aiN*，则 “ 复合集 ” A 有且只有一个，且n=3其中正确的结论是 （填上你认为

25、所有正确的结论序号）【考点】 元素与集合关系的判断【分析】 根据已知中 “ 复活集 ” 的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案【解答】 解：?=+=1，故 是正确的； 不妨设 a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2tx+t=0 的两个根，由 0，可得 t 0，或 t4，故 错； 不妨设 A 中 a1a2a3 an，由 a1a2 an=a1+a2+ +annan，得 a1a2 an1n，当 n=2 时，即有 a12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页a1=1

26、，于是 1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“ 复活集 ” A，故 正确当 n=3 时， a1a23，故只能a1=1，a2=2，求得 a3=3，于是 “ 复活集 ” A 只有一个，为1，2，3当 n4 时，由 a1a2 an1123 （ n1） ，即有 n（ n1）!，也就是说 “ 复活集 ” A 存在的必要条件是n（ n1）!，事实上，（n1）!（ n1） （n 2）=n23n+2=（n2）22+n2，矛盾，当 n 4时不存在复活集A，故 正确故答案为： 三、解答题（共6 小题，满分75 分）16已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 2Sn+an=2（ nN+） （1）求数列 a

27、n 的通项公式；（2）设 bn=log3（1Sn+1） （nN+） ，求+ +【考点】 数列递推式；数列的求和【分析】（1）由 2Sn+an=2（nN+） 可得 n=1 时， 3a1=2，解得 a1=；n2 时， 2Sn1+an1=2，可得 2an+an an1=0，利用等比数列的通项公式即可得出（2） 由 （ 1） 可得：Sn= 可得：bn=log3（1Sn+1） = n1， 因此=即可得出【解答】 解： （1） 2Sn+an=2（nN+） n=1 时， 3a1=2，解得 a1=；n2 时， 2Sn1+an1=2，可得 2an+anan1=0，解得，数列 an 是等比数列，首项为，公比为，可

28、得： an=2（2）由（ 1）可得：=bn=log3（1Sn+1）=n 1，=+ +=+ +=17某学校为了选拔学生参加“ XX 市中学生知识竞赛” ，先在本校进行选拔测试（满分150分） ，若该校有100 名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页（）根据频率分布直方图，估算这100 名学生参加选拔测试的平均成绩；（）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多有5 次答题机会， 累计答对 3 题或答错3 题即

29、终止， 答对 3 题者方可参加复赛 假设参赛者甲答对每一个题的概率都是， 求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图【分析】（）利用频率分布直方图能求出这100 名测试学生的平均成绩（）由题设条件求出甲答对每一道题的概率， 可能取得值为3，4，5，由此能求出的分布列和数学期望【解答】 解析： （）设平均成绩的估计值为，则：=80.4（）记甲在初赛中的答题个数为随机变量 ，这 的可能值为3，4， 5，则 的分布列为3 4 5 p 所以 数学期望18已知向量=（cosx+sinx，1） ，=（sinx，） ，函数 f（x）=（1）求函数f（x）的最小

30、周期T 及单调递增区间；（2）已知 a，b，c 分别 ABC 内角 A，B，C 的对边 a=2，c=4，且 f（A）是函数 f（ x）在 0， 上的最大值，求ABC 的面积 S【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页【分析】（1）由向量的点乘运算，得到f（x）的解析式，由三角函数公式化简后得到最小正周期与递增区间（2）由 x 的范围，得到f（x）的最大值，得A，由此得到三角形面积【解答】 解： （1）向量=（cosx+sinx，1） ，=（sinx，） ，函数 f

31、（x）=f（x）=cosxsinx+sin2x+=+sin2x+，=sin2xcos2x+2，=sin（2x） +2，函数 f（ x）的最小周期T= 由 2k 2x 2k +，k Z，得： k x k +，f（x）的单调递增区间为 k ，k + ，k Z（2）由（ 1）知， f（x）=sin（2x）+2，当x 0， 时，2x ， ，当 2x=，即 x=时， f（x）取得最大值3，f（A）=3，得 A=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，可得： 12=b2+164b，b=2， ABC 的面积 S=bcsinA=219如图，已知边长为6 的菱形 ABCD ，ABC=120 ，AC 与

32、BD 相交于 O，将菱形 ABCD沿对角线 AC 折起，使BD=3（1）若 M 是 BC 的中点，求证：在三棱锥DABC 中，直线OM 与平面 ABD 平行；（2）求二面角ABD O 的余弦值；（3） 在三棱锥 DABC 中， 设点 N 是 BD 上的一个动点， 试确定 N 点的位置，使得 CN=4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页【考点】 空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算【分析】（1）推导出OM 是 ABC 的中位线， OMAB，由此能证明OM平面 ABD （2）由题意知OB=OD=3 ，OBOD，

33、OB OD，OBAC ，ODAC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BDO 的余弦值（3）设 N（ x1，y1，z1） ，从而 N（0，3 ，33 ） ，=（3，3 ，33 ） ，由 CN=4，能求出N 点坐标【解答】 证明： （1）点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点，O 是 AC 的中点，又点 M 是棱 BC 的中点，OM 是 ABC 的中位线， OM AB ，OM ?平面 ABD ，AB ? 平面 ABD ，OM 平面 ABD 解： （2）由题意知OB=OD=3 ，BD=3， BOD=90 ，OBOD，又 BD=3， BOD=90 ，OBOD，又菱形 ABCD ， OBA

34、C ，ODAC，建立空间直角坐标系，则A（3， 0，0） ， D（0，3，0） ，B（0，0， 3） ，=（ 3，0，3） ，=（ 3，3， 0） ，设平面 ABD 的法向量为=（x，y，z） ，则，取 x=1，得=（1，） ，AC OB，AC OD，OB OD=O ，AC 平面 BOD ，平面BOD 的一个法向量=（3，0，0） ，cos=，二面角 ABD O 的平面角是锐角，二面角 ABD O 的余弦值为（3）设 N（ x1，y1，z1） ， N 是线段 BD 上的一个动点，设，即（ x1，y1，z13）= （0，3， 3） ，x1=0，y1=3 ，z1=33 ，N（0，3 ，33 ） ，

35、=（3， 3 ，33 ） ，CN=4，=4，整理，得：929 +2=0，解得或，N（0，1，2）或 N（0，2，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页20设椭圆E：=1（ab0）的右焦点到直线x y+2=0 的距离为3，且过点（ 1，） （1）求 E 的方程；（2）设椭圆 E 的左顶点是A，直线 l：xmyt=0 与椭圆 E 相交于不同的两点M，N（M，N 均与 A 不重合），且以 MN 为直径的圆过点A，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标【考点】 椭圆的简单性质【分析】 （1）设右焦点为F

36、（c，0） ，由=3，解得 c=，a2=b2+2又=1，联立解得即可得出椭圆E 的标准方程（2）由 xmyt=0，可得 x=my+t，代入椭圆方程可得： （m2+2）y2+2mty+t24=0，设 M（x1，y1） ，N （x2，y2） ， 以 MN 为直径的圆过点A， k 可得=x1x2+2 （x1+x2） +4+y1y2=0，把根与系数的关系代入即可得出【解答】 解： （1）设右焦点为F（c，0） ，则=3，解得 c=，a2=b2+2又=1，联立解得b2=2， a2=4，椭圆 E 的标准方程为：=1（2）由 xmyt=0，可得 x=my+t，代入椭圆方程可得： （m2+2）y2+2mty+

37、t24=0，=4m2t24（ m2+2） （t24） ，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 y1+y2=，y1y2=，故 x1+x2=m （ y1+y2） +2t=， x1x2= （my1+t）（ my2+t） =m2y1y2+mt （ y1+y2） +t2=由以 MN 为直径的圆过点A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页= （x1+2， y1） ? （x2+2， y2） =x1x2+2 （x1+x2） +4+y1y2=+2+4+=0，M， N 均与 A 不重合， t 2，解得 t=因此直线l 的方程

38、为： xmy+=0，因此直线l 经过定点T，由于定点在椭圆的内部，因此满足0，直线 l 经过定点T21已知函数f（x）=ex（1）若 f（x）在 0，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：当a1 时， f（x） x+1；（3）对于在（ 0， 1）中的任一个实数a，试探究是否存在x0，使得 f（x） x+1 成立？如果存在，请求出符合条件的一个x；如果不存在，请说明理由【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导函数，可知f 在 0，+）上恒成立，对a 进行分类讨论即可；（2）整理不等式，对x 进行分区间讨论，根据导函数判断函数的单调性

39、，分别证明结论成立；（3）假设存在x0，使得 f（ x） x+1成立，整理不等式得存在x0，x2+10成立，故只需左式的最小值0，构造函数，利用导函数求出函数的最小值即可【解答】 解： （1） f（x）=ex，x 在 0，+）上，f（x）=ex（x2ax+1） ，由题意知f（x） =ex（x2ax+1） 0 在 0， +）上恒成立，当 a=0 时，显然成立，满足题意，当 a0 时，x2ax+10，0，02a 0+10，a0，故 a 的范围为 a0；（2）当 x0 时，要证明f（x） x+1 成立，只需证 1x2+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

40、- - -第 19 页，共 20 页令 g（x）=x2+，g（x）=ax=x（a） ，x0，a1，g（x）=ax=x（a）0，g（x）在（ 0，+）上为增函数，故 g（x） g（0）=10，得证；当 x0 时，要证明f（x） x+1 成立，只需证 1x2e2a+（ x+1）ex，令 m（x）=x2e2a+（x+1）ex，m（x）=xe2x ex+a（ x1） ，显然 ex+a（x1）为增函数，ex+a（ x1） 1a0，m（x） 0，m（x）在（ ，0）上为减函数，故 m（x） m（0）=10，得证；（3）假设存在x0，使得 f（ x） x+1 成立，存在 x0，x2+10 成立，令 t（x）

41、=，x2+1，即只需t（x）的最小值0，t（x）=x（a） ，当 x 在（ 0， lna）时， t（x） 0，t（x）递减，当 x 在（ lna，+）时， t（x） 0，t（x）递增，t（x）的最小值为t（ lna）=（ lna）2+a（ lna+1） 1，只需证（ lna）2+a（ lna+1） 10 在 0a 1 恒成立，令 p（a）=（ lna）2+a（ lna+1） 1，p（a）=（lna）20， p（a）递增，p（a） p（1）=0，得证，故存在 x0，使得 f（ x） x+1 成立， x=lna（0 a1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页