2022年初中三角函数知识点总结及中考真题讲解2 .pdf

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1、1锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在 RtABC中， C为直角，则 A的锐角三角函数为 (A可换成 B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A( A为锐角) BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A( A为锐角) 正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tan A( A为锐角) BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数) 1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cot A( A为锐角)

2、 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAAA90B90得由BA对边邻边斜边A C B bac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值 ( 重要) 三角函数030456090sin02122231 cos12322210tan0 331 3-cot-31 330 6、正弦、余弦

3、的增减性：当 090时，sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当 0 90时， tan随的增大而增大， cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系：222cba；角的关系： A+B=90 ；边角关系：三角函数的定义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法) 9、应用举例：(1) 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。BAcottanBAtancot)90cot(tanAA)90tan(cotAAA90B90得由BA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

4、- - - - - - -第 2 页，共 26 页3仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度 (坡比) 。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1: m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作( 叫做坡角 )，那么tanhil。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA 、OB 、OC 、OD的方向角分别是： 45、135、225。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、OB 、OC 、OD的方向角分别是：北偏东30（东北方向） ，南偏东 45（东南方向），南偏西 60（西南

5、方向），北偏西 60（西北方向）。:ihlhl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页4要点一：锐角三角函数的基本概念一、选择题1.（2009漳州中考） 三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A35 B43 C34D45【解析】选 C. tan43角的邻边角的对边. 2. （2008威海中考）在 ABC 中， C90，tanA13，则 sinB（）A1010 B23 C34 D3 1010【解析】选 D. 31tanABBCA, 设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页5,10)3(2222kkkBCACAB3 10sin10ACBAB3. （2009齐齐哈尔中考）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径为32，2AC，则sin B的值是（）A23 B32 C34 D43【解析】选 A.连接 CD,由O的半径为32.得 AD=3.sin B=.32sinADACD4.（2009湖州中考）如图，在RtABC中，ACBRt，1BC，2AB，则下列结论正确的是（）A3sin2AB1tan2A C 3cos2BDtan3B【解析】选 D在直角三角形 ABC中，1BC，2AB，所以

7、 AC 3；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页6所以1sin2A，3cos2A，3tan3A；3sin2B，1cos2B，tan3B；5. （2008温州中考）如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知2CD，3AC，则sin B的值是（）A23 B32 C34D43【解析】选 C.由CD是RtABC斜边AB上的中线，得 AB=2CD=4.sin B43ABAC6. （2007泰安中考）如图，在ABC中，90ACB，CDAB于D，若2 3AC，3 2AB，则tanBCD的值为（）精选学习资料 - - - -

8、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页7（A）2（B）22（C ）63（D）33答案： B 二、填空题7.（2009梧州中考） 在ABC中，C90， BC6 cm ，53sin A，则 AB的长是 cm【解析】,536sinABABBCA解得 AB=10cm 答案： 10 8. （2009孝感中考）如图，角的顶点为 O ，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA上有一点 P（3，4） ，则sin【解析】因为 P（3，4） ，所以 OP 5，所以4sin5；答案：45；A C B D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

9、- - - - - - -第 7 页，共 26 页89.（2009庆阳中考）如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm ，DE AB ，3sin5A，则这个菱形的面积 = cm2【解析】.5310sinDEADDEA解得 DE=6cm. 10660LINGSABDEcm2. 答案： 60 三、解答题10.(2009 河北中考 ) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径 AB是河底线，弦CD是水位线， CD AB ，且 CD = 24 m，OE CD于点 E已测得 sin DOE = 1213（1）求半径 OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将

10、水排干？【解析】（1）OE CD于点 E，CD=24 （m ） ，ED =12CD=12（m ） 在 RtDOE 中，sin DOE =EDOD=1213，OD =13 （m ） （2）OE=22ODED= 2213125=（m ）将水排干需： 50.5=10（小时）A OBE C D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页911.（2009 綦江中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE（1）求证：ABEDFA；（2）如果10ADAB，=6，求sinEDF的值【解析】（1）在

11、矩形ABCD中，90BCADADBCB，DAFAEBDFAEAEBC，90AFDB=AEADABEDFA（2）由（1）知ABEDFA6ABDF在直角ADF中，22221068AFADDF2EFAEAFADAF在直角DFE中，2222622 10DEDFEF210sin102 10EFEDFDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页10 12.（2008宁夏中考）如图，在ABC中，C=90，sinA=54，AB=15，求ABC的周长和 tanA的值【解析】在Rt ABC中, C=90, AB=15 Asin=ABBC=5

12、4, 12BC912152222BCABAC周长为 36,BC124tanA.AC9313. （2008肇庆中考）在 RtABC中， C = 90 ，a =3 ，c =5 ，求 sinA 和 tanA 的值. 【解析】在 Rt ABC中，c=5，a=322acb2235453sincaA43tanbaA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页11 14. （2007芜湖中考）如图，在ABC中，AD是 BC上的高，tancosBDAC，(1) 求证： AC=BD ；(2) 若12sin13C，BC=12 ，求 AD的长【

13、解析】 (1) AD是 BC上的高， AD BC ADB=90 ， ADC=90 在 RtABD和 RtADC 中，tanB=ADBD，cosDAC=ADAC又已知tancosBDACADBD=ADACAC=BD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页12 (2) 在 RtADC 中，12sin13C，故可设 AD=12k ，AC=13k 22DCACAD5kADADBD13ktanBcosDACBC13k5k122k,AD8.3要点二、特殊角的三角函数值一、选择题1. （2009钦州中考） sin30 的值为（）A

14、32B22C 12D33答案： C 2. （2009长春中考）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOCOC ，则点B的坐标为（）A(2 1)， B(12)， C( 211)，D(121)，答案： C 3.(2009 定西中考 )某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页13 为（）A8 米B8 3米 C8 33米 D4 33米答案： C 4. （2008 宿迁中考） 已知为锐角， 且23)10s

15、in(， 则等于 （）50607080答案：5. （2008毕节中考） A（cos60，tan30 ）关于原点对称的点A1的坐标是（）A1323， B3323， C1323，D1322，答案： A 6. （2007襄樊中考）计算：2cos 45tan60 cos30等于（）（A）1（B）2（C）2（D）3答案： C 二、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页14 7. （2009荆门中考）104cos30 sin60( 2)( 20092008)=_【解析】104cos30 sin60( 2)( 2009200

16、8)3314()122213()1232答案：238. （2009百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点 C的距离为 4 米，钢缆与地面的夹角为60o，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离 AB是米（结果保留根号）答案：4 39. （2008江西中考）计算：（1）1sin 60 cos302【解析】1sin60 cos302.412143212323答案：1410. （2007济宁中考）计算sin 60tan45cos30的值是。答案： 0 三、解答题11. （2009黄石中考）计算： 31+(21)033tan30 tan45【解析】 3 1+(21)033

17、tan30tan45 1111330精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页15 12. （2009崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30( 1)3【解析】原式 =33231 123=013. （2008义乌中考）计算：33sin 602cos458【解析】33sin 602 cos4583232222 =2.5 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用一、选择题1.（2009白银中考） 某人想沿着梯子爬上高4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）

18、A8 米 B8 3米 C8 33米 D4 33米【解析】选 C. 梯子的长至少为33860sin40（米） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页16 2.（2009衢州中考） 为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据 ( 单位：米 )，则该坡道倾斜角的正切值是（）A14 B4 C117 D417答案： A 3.（2009益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. cos5 B. cos5 C. sin5 D. sin5

19、答案： B 4.（2009兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m 如果在坡度为0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（）A5m B6m C7m D8m 5A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页17 【解析】选 A 由坡度为 0.75 知，相邻两树间的水平距离为4m ，相邻两树间的垂直距离为h，则0.754h，则 h3m ，所以坡面距离为5m ；5.(2009 潍坊中考 ) 如图，小明要测量河内小岛B到河边公路 l 的距离，在 A点测得30B

20、AD，在 C点测得60BCD，又测得50AC米，则小岛 B到公路 l 的距离为（）米A25 B25 3 C100 33 D 25253【解析】选 B 过点 B作 BE AD 于点 E，在直角三角形BAE中，0tan30,BEAE则0,tan30BEAE在直角三角形 BCE中，0tan60,BECE则0tan60BECE。所以 AE-CE=AC=50, 即0050,tan30tan60BEBE解得 BE 253；二、填空题6.（2009沈阳中考） 如图，市政府准备修建一座高AB 6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面 BC的夹角 ACB的正弦值为 3 5， 则坡面 AC的长度为 m精选学习资料

21、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页18 【解析】因为 sin ACB =536ACACAB,所以 AC=10 答案： 10. 7. （2009衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_. 答案： 1:2 8. （2009南宁中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_ 海里（结果保留根号） 【解析】402224045sin0APPCAC, 340

22、334030tan0PCBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页19 40340ACBCAB答案：40 3409 (2009 安徽中考 ) 长为 4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为 60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m 【解析】当梯子与地面夹角为045时，梯子顶端高为04sin 4522()m；当梯子与地面夹角为060时，梯子顶端高为04sin 602 3()m，所以梯子顶端升高了2(32);m答案：2(32)；10.(2008 庆阳中考 )如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=

23、3米，3cos4BAC，则梯子长 AB = 米. 答案： 4 11.（2007湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15的倾斜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页20 角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道 _m （结果保留三个有效数字， 参考数据：sin15 26，cos150.97）答案： 1.28 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26

24、 页21 三、解答题12. （2009 庆阳中考）如图 （1） ， 一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定如（2） 是如图（1） 中窗子开到一定位置时的平面图，若AOB=45 ， OAB=30 ，OA=60cm ，求点 B到 OA边的距离（31.7，结果精确到整数）【解析】如图，过点B作 BC OA于点 C AOB=45 ， CBO=45 ，BC=OC 设 BC=OC=x ，OAB=30 ， AC=BC tan60=3x OC+CA=OA ，x+3x=60， x=316022（cm ） 即点 B到 OA 边的距离是 22 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

25、- - - - -第 21 页，共 26 页22 13. （2009郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为 1.5 米，测得仰角为30，点 B到电灯杆底端 N的距离 BN为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）【解析】在直角三角形MPA中，30，10AP =米MP=10 tan300 =10335.773 米因为1.5AB=米所以 MN=1.5+5.77=7.27 米答：路灯的高度为7.27 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22

26、 页，共 26 页23 14.（2009眉山中考）海船以5 海里/ 小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔 B在海船的北偏东60方向， 2 小时后船行驶到 C处，发现此时灯塔 B在海船的北偏西45 方向，求此时灯塔B到 C处的距离。【解析】如图，过B点作 BD AC于 D DAB 906030，DCB 904545精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页24 设 BD x，在 RtABD 中，AD xtan30 3x在 RtBDC 中，BD DC x BC 2x又 AC 5210 310 xx，得5( 31)x，2

27、5(31)5(62)BC（海里）答：灯塔 B距 C处5( 62)海里15.（2009常德中考）如图，某人在D处测得山顶 C的仰角为 30o，向前走 200 米来到山脚 A处，测得山坡 AC的坡度为 i=1 0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，31.73，结果保留整数）【解析】设山高BC =x，则 AB=12x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页25 tan3012002BCxBDx，得(231)400 x，解得400400(231)16211231x米16. （2008广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，

28、决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为 30o， 已知原滑滑板 AB的长为 5 米， 点 D、B、C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页26 （2）若滑滑板的正前方能有3 米长的空地就能保证安全， 原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 ( 参考数据：21.414,31.732,62.449 ) 【解析】（1）在RtABC中，5sin 452(m)2ACAB5cos452(m)2BCABRtADC中5 2(m)sin30ACAD56(m)tan302ACCD2.07(m)ADAB改善后的滑滑板会加长2.07m（2）这样改造能行因为2.59(m)CDBC ，而632.59精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页