2022年分段函数的几种常见题型及解法2 .pdf

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1、本卷第 1页（共 5页）分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中 “闪亮” 登场 , 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1求分段函数的定义域和值域例 1求函数1222 1,0;( )(0,2);32,);xxf xxxx的定义域、值域 . 【解析】作 图 , 利 用 “ 数 形 结 合 ” 易 知( )f x的

2、定 义 域 为 1,), 值域为( 1,3. 2求分段函数的函数值例 2 （05 年浙江理）已知函数2|1|2,(| 1)( )1,(| 1)1xxf xxx求12( )f f. 【解析】因为311222( )|1|2f, 所以312223214( )()1()13fff. 3求分段函数的最值例 3求函数43 (0)( )3(01)5 (1)xxf xxxxx的最大值 . 11o322-1yx-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页本卷第 2页（共 5页）【解析】当0 x时, max( )(0)3fxf, 当01x时

3、, max( )(1)4fxf, 当1x时, 51 54x, 综上有max( )4fx. 4求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中, 函数( )yf x和( )yg x的图象关于直线yx对称, 现将( )yg x的图象沿x轴向左平移2 个单位 , 再沿y轴向上平移1 个单位 , 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数( )f x的表达式为（）222 ( 10).( )2(02)xxxAf xx222 ( 10).( )2(02)xxxBf xx222 (12).( )1(24)xxxCf xx226 (12).( )3(24)xxxDf xx【解析】当 2,0 x时,

4、121yx, 将其图象沿x轴向右平移2 个单位 , 再沿y轴向下平移1个 单位, 得解析式为1122(2)1 11yxx, 所以( )22 ( 1,0)f xxx, 当0,1x时, 21yx, 将其图象沿x轴向右平移2个单位 , 再沿y轴向下平移1 个单位 , 得解析式2(2)1 124yxx, 所以12( )2 (0, 2)f xxx, 综上可得222( 10)( )2(02)xxxf xx, 故选A. 5作分段函数的图像例 5函数|ln |1|xyex的图像大致是（）-12131o-2yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，

5、共 5 页本卷第 3页（共 5页）A11oyxByx11OCyxO11DyxO116求分段函数得反函数例 6 已知( )yf x是定义在R上的奇函数, 且当0 x时 , ( )31xf x, 设( )f x得反函数为( )yg x, 求( )g x的表达式 . 【解析】设0 x, 则0 x, 所以()31xfx, 又因为( )f x是定义在R上的奇函数 , 所以()( )fxf x, 且(0)0f, 所以( )13xf x, 因此31 (0)( )0(0)13(0)xxxf xxx, 从而可得33log (1)(0)( )0(0)log (1)(0)xxg xxxx. 7判断分段函数的奇偶性例

6、 7判断函数22(1)(0)( )(1)(0)xxxf xxxx的奇偶性 . 【解析】当0 x时 , 0 x, 22()() (1)(1)( )fxxxxxf x, 当0 x时 , ( 0)(0)0ff, 当0 x, 0 x, 22()() (1)(1)( )fxxxxxf x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页本卷第 4页（共 5页）因此 , 对于任意xR都有()( )fxfx, 所以( )fx为偶函数 . 8判断分段函数的单调性例 8判断函数32(0)( )(0)xx xf xxx的单调性 . 【解析】显然( )f

7、 x连续 . 当0 x时, 2( )311fxx恒成立 , 所以( )f x是单调递增函数, 当0 x时 , ( )20fxx恒成立 , ( )fx也是单调递增函数, 所以( )f x在R上是单调递增函数; 或画图易知( )f x在R上是单调递增函数. 例 9写出函数( )|12 | 2|f xxx的单调减区间. 【解析】121231 ()( )3(2)31 (2)xxf xxxxx, 画图易知单调减区间为12(,. 9解分段函数的方程例 10（01 年上海）设函数812(,1( )log(1,)xxf xx x, 则满足方程1( )4f x的x的值为【解析】若142x, 则222x, 得2(

8、,1x, 所以2x（舍去） , 若1814logx, 则1481x, 解得3(1,)x, 所以3x即为所求 . 10解分段函数的不等式例11 设 函 数1221 (0)( )(0)xxf xxx, 若yx52o-1252xy1-11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页本卷第 5页（共 5页）0()1f x, 则0 x得取值范围是（）.( 1,1)A.( 1,)B. (, 2)(0,)C. (, 1)(1,)D【解析 1】首先画出( )yf x和1y的大致图像, 易知0()1f x时, 所对应的0 x的取值范围是(, 1

9、)(1,). 【解析 2】因 为0()1f x, 当00 x时 , 021 1x, 解 得01x, 当00 x时 , 1201x, 解得01x, 综上0 x的取值范围是(, 1)(1,). 故选 D. 例 12 设函数2(1)(1)( )41 (1)xxf xxx, 则使得( )1f x的自变量x的取值范围为（）A(, 20,10 B. (, 20,1C. (, 21,10 D. 2,01,10【解析】当1x时 , 2( )1(1)120f xxxx或, 所 以21xx或0, 当1x时 , ( )14111310f xxxx, 所以110 x, 综上所述 , 2x或010 x, 故选 A项. 【点评： 】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页