2022年完整word版,人教版九年级数学上册知识点总结 .pdf

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1、人教版九年级数学上册知识点总结21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2 + bx + c = 0(a 0). 其中，ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。典型例题：1、已知关

2、于 x 的方程（ m+3）x21m+（m-3）-1=0 是一元二次方程，求m的值。21.2 降次解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a 0) 的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m0) 形式的方程， 如果 p0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

3、 - - - - -第 1 页，共 31 页根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方

4、式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) ，如果 b2-4ac0，那么方程的两个根为 x=aacbb242，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的过程。（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式： ax2+bx+c=0(a0) ，一般 a 化为正值精选学习资料 -

5、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页确定公式中 a,b,c的值，注意符号；求出 b2-4ac 的值；若 b2-4ac0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若b2-4ac0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a0) 根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b2-4ac. 0，方程 ax2+bx+c=0(a0) 有两个不相等的实数根一元二次方程=0，方程 ax2+bx+c=0(a0) 有两个相等的实数根根的判别式0，方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数

6、根21.23 因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的详细步骤：移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页知识点二用合适的方法解一元一次方程方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方

7、根的意义形如 x2=p或（mx+n ）2=p(p0) 配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 x2+px+q=0的两个根为 x1,x2, 则有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a2x+bx+c=0(a0)有两个实数根 x1,x2, 则有 x1+x2=ab, x1x2=ac22.3 实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知

8、量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2）设：是指设元，也就是设出未知数。（3）列：列方程是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4）解：就是解方程，求出未知数的值。（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6）答：写出答案。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数

9、（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2 。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c ，则这个三位数是100a+10b+c. （2）增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a（1x）2=b。（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润 =总销售价 - 总成本；总利润 =单位利润总销售量；利润 =成本利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。中考回顾1.(2017 四川绵阳中考)关于 x 的方程 2

10、x2+mx+n= 0 的两个根是 -2 和 1,则 nm的值为 (C) A.-8 B.8 C.16 D.-16 2.(2017 新疆中考 )已知关于x 的方程 x2+x-a= 0 的一个根为2,则另一个根是(A ) A.-3 B.-2 C.3 D.6 3.(2017 河南中考 )一元二次方程2x2-5x-2= 0 的根的情况是 (B ) A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.(2017 青海西宁中考)若 x1,x2是一元二次方程x2+ 3x-5= 0 的两个根 ,则错误 !未找到引用源。 x2+x1错误 !未找到引用源。的值是15. 5.(2017

11、内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程 x2-4x+2m=0 有两个不相等的实数根,那么 m 的取值范围是m0,即 m-错误 !未找到引用源。 ;由根与系数的关系可知 x1+x2=2m+3,所以 2m+3=m2,得 m1=- 1,m2=3,故 m=3.8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40 元/千克 ,如果按 60 元/千克出售 ,那么平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现 ,单价每降低2 元,则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240 元,请回答: (1)每千克核桃应降价多少元? (2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场

12、 ,该店应按原售价的几折出售? (1)设每千克核桃应降价x 元,根据题意 ,得(60-x-40)错误 !未找到引用源。= 2 240.化简 ,得 x2-10 x+24=0.解得 x1= 4,x2=6.答:每千克核桃应降价4 元或 6 元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4 元或 6 元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6 元.此时 ,售价为60-6= 54(元),所以 错误!未找到引用源。100%=90%.答:该店应按原售价的九折出售.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页第 22 章二次函数知识点归纳及

13、相关典型题第一部分基础知识1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点 . （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 5. 二次函数由特殊到一

14、般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直

15、线abx2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于

16、抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧， “左同右异” . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（ 0，c） ：0c，抛物线经过原点 ; 0c, 与y轴交于正半轴； 0c, 与y轴交于负半轴 . 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x（y轴）（0,0）kaxy20 x（y轴）(0, k) 2hxayhx(h,0)

17、khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式 . （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxax

18、y2有且只有一个交点 (h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根 . 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02ac

19、bxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点； 方程组无解时l与G没有交点 . （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121中考回顾1.(2017 天津中考 )已知抛物线y=x2-4x+ 3 与 x 轴相交于点A,B(点 A 在点 B 左侧 ),顶点为 M.平移该抛物线 ,使点 M 平移后的对应点M

20、 落在 x 轴上 ,点 B 平移后的对应点B落在 y 轴上 ,则平移后的抛物线解析式为(A) A.y=x2+ 2x+1 B.y=x2+ 2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页2.(2017 四川成都中考)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是(B) A. abc 0 B. abc0, b2-4ac 0 C. abc0, b2-4ac0, b2-4ac 0 3.(2017 内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程x2

21、-4x+2m=0 有两个不相等的实数根,那么 m 的取值范围是m0), 则 P(m,-m+3), M(m,-m2+2m+3), PM=-m2+ 2m+3-(-m+3)=-m2+ 3m=-错误 !未找到引用源。, PM 最大值为 错误 !未找到引用源。(3)如图 ,过点 Q 作 QG y 轴交 BD 于点 G,作 QH BD 于点 H,则 QH= 2 错误 !未找到引用源。设 Q(x,-x2+2x+3),则 G(x,-x+3), QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|. DOB 是等腰直角三角形, 3=45 , 2=1=45 .sin1=错误 !未找到引用源。,QG=4.得|

22、-x2+3x|=4, 当-x2+ 3x= 4 时,=9-160,方程无实数根.当-x2+ 3x=- 4 时,解得 :x1=- 1,x2= 4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx2-6x+3 的图象与x 轴有交点 ,则 k 的取值范围是(D) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页A.k3 B.k3,且 k0C.k3 D.k3,且 k02.若点 M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=- 错误 !未找到引用源。x2+2x 上 ,则下列结论正确的是(C) A.y1y

23、2y3B.y2y1y3 C.y3y1y2D.y1y3y2解 :x=- 2 时,y1=- 错误 !未找到引用源。x2+2x=- 错误 !未找到引用源。(-2)2+ 2 (-2)=- 2-4=- 6, x=-1 时,y2=- 错误 !未找到引用源。x2+ 2x=-错误 !未找到引用源。(-1)2+ 2 (-1)=- 错误 !未找到引用源。 -2=- 2 错误 !未找到引用源。 , x=8 时,y3=- 错误 !未找到引用源。x2+ 2x=- 错误 !未找到引用源。82+2 8=- 32+16=- 16.-16- 6- 2 错误 !未找到引用源。,y3y10)的两个实数根x1,x2满足 x1+x2=

24、 4和 x1 x2= 3,则二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象有可能是 () 解析 :x1+x2= 4,-错误 !未找到引用源。= 4.二次函数的对称轴为x=-错误 !未找到引用源。= 2.x1 x2=3,错误 !未找到引用源。=3.当 a0 时,c0,二次函数图象交于y 轴的正半轴 .4.小明在用 “ 描点法 ” 画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时 ,列了如下表格 : x-2 -1 0 1 2 y-6错误 ! 未找到引用源。-4 -2错误 ! 未找到引用源。-2 -2错误 ! 未找到引用源。根据表格中的信息回答问题:该二次函数 y=ax2+bx+c 在 x=3 时,y=-4

25、. 5.若关于 x 的函数 y=kx2+2x-1 与 x 轴仅有一个公共点 ,则实数 k 的值为k=0 或 k=-1. 6.抛物线 y=-x2+bx+c 的图象如图 ,若将其向左平移 2 个单位长度 ,再向下平移 3 个单位长度 ,则平移后的解析式为. 解析:由题中图象可知 ,对称轴 x=1, 所以 - 错误!未找到引用源。 =1,即 b=2.把点(3,0)代入 y=-x2+2x+c,得 c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即 y=-(x-1)2+4,然后向左平移2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 ,得y=-(x-1+2)2+4-3,即 y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x

26、7.如图,若抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上,抛物线 L2的顶点 B 也在抛物线 L1上(点 A 与点 B 不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为 “ 友好” 抛物线 ,可见一条抛物线的 “ 友好 ” 抛物线可以有很多条 .(1)如图 ,已知抛物线 L3:y=2x2-8x+4 与 y 轴交于点 C,试求出点 C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标 ; (2)请求出以点 D 为顶点的 L3的“ 友好 ” 抛物线 L4的解析式 ,并指出 L3与 L4中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围; (3)若抛物线 y=a1(x-m)2+n 的任意一条 “ 友好” 抛物线的解

27、析式为y=a2(x-h)2+k,请写出 a1与 a2的关系式 ,并说明理由 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页解:(1)抛物线 L3:y=2x2-8x+4, y=2(x-2)2-4.顶点为 (2,-4),对称轴为 x=2, 设 x=0,则 y=4,C(0,4).点 C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为 (4,4).(2)以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点 (2,-4),L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.L3与 L4中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围是2x4.(3)a

28、1=-a2, 理由如下 :抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上,抛物线 L2的顶点 B 也在抛物线 L1上, 可以列出两个方程 错误!未找到引用源。由+,得(a1+a2)(m-h)2=0,a1=-a2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页第二十三章旋转23.1 图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等

29、； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

30、接：即连接到所连接的各点。23.2 中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180两个图形能够完全重合。知识点二作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成

31、中心对称图形。知识点三中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y ）关于原点对称点为（ -x,-y ） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

32、纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页中考回顾1.(2017 四川绵阳中考 )下列图案中 ,属于轴对称图形的是(A) 2.(2017天津中考 )在一些美术字中 ,有的汉字是轴对称图形 .下面 4个汉字中 ,可以看作是轴对称图形的是(C ) 3.(2017 内蒙古呼和浩特中考 )图中序号 对应的四个三角形 ,都是 ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的 ,其中是通过轴对称得到的是(:A) A.B.C.D.解析:轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形, 通过轴对称得到的是 .故选 A.4.(2017 西宁中考 )下列图形中 ,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A) A.等边三

33、角形B.平行四边形C.正六边形D.圆5.(2017 江苏淮安中考 )点 P(1,-2)关于 y 轴对称的点的坐标是 (C) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 解析:P(1,-2)关于 y 轴对称的点的坐标是 (-1,-2),故选 C.6.(2017 四川宜宾中考 )如图 ,在矩形 ABCD 中,BC=8,CD=6,将 ABE 沿 BE 折叠,使点 A 恰好落在对角线BD 上的点 F 处,则 DE 的长是 (C) A.3 B.错误!未找到引用源。C.5 D.错 误 !未找到引用源。解析:在矩形 ABCD 中,BAE=90 , 且由折叠可得 BEF BEA,

34、BFE=90 ,AE=EF ,AB=BF , 在 Rt ABD 中,AB=CD= 6,BC=AD= 8, 根据勾股定理得BD=10,即 FD= 10-6=4, 设 EF=AE=x ,则有 ED=8-x, 根据勾股定理得x2+42=(8-x)2, 解得 x=3,所以 DE=8-3=5,故选 C.7.(2017山东枣庄中考 )如图 ,把正方形纸片 ABCD 先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 MN,再过点 B 折叠纸片 ,使点 A 落在 MN 上的点 F 处,折痕为 BE.若 AB 的长为 2,则 FM 的长为 (B ) A.2 B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。 D.1 解析

35、:四边形 ABCD 为正方形 ,AB=2,过点 B折叠纸片 ,使点 A 落在 MN 上的点 F 处,FB=AB= 2,BM=1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页则在 Rt BMF 中,FM=错误!未找到引用源。 ,故选 B.8.(2017 湖南长沙中考 )如图 ,将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合(H 不与端点 C,D重合),折痕交 AD 于点 E,交 BC于点 F,边 AB 折叠后与边 BC交于点 G.设正方形 ABCD 的周长为 m, CHG的周长为 n,则错误!未找到引用

36、源。 的值为 (B ) A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.错误!未 找 到 引 用 源 。D.随 H 点位置的变化而变化解析:设 CH=x,DE=y,则 DH=错误!未找到引用源。 -x,EH=EA=错 误 ! 未 找 到 引 用源。-y,EHG= 90 ,DHE+ CHG=90 .DHE+DEH= 90 , DEH=CHG, 又D=C=90 , DEH CHG, 错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。, CG=错误!未找到引用源。 ,HG=错误!未找到引用源。 , CHG 的周长 n=CH+CG+HG= 错误!未找到引用源。 , 在 Rt DEH 中,DH2+DE2

37、=EH2, 即错误!未找到引用源。 +y2=错误!未找到引用源。 , 整理得 错误!未找到引用源。 -x2=错误!未找到引用源。 , n=CH+HG+CG= 错误!未找到引用源。 .故错误!未找到引用源。 .故选 B.模拟预测1.下列标志中 ,可以看作是中心对称图形的是(D) 2.下列图形中 ,是轴对称图形 ,但不是中心对称图形的是(B) 3.如图,把一张矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,点 B 的对应点为 B,AB与 DC 相交于点 E,则下列结论一定正确的是 () A.DAB= CABB.ACD=BCDC.AD=AED.AE=CE答案:D 4.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为 A

38、B,再以 AB 的中点 O 为顶点把平角 AOB 三等分,沿平角的三等分线折叠 ,将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形 ,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(D) A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页解析:根据第一次对折以及三等分平角可知将360 进行 6 等分,即多边形的中心角为60 ,由最后的剪切可知所得图形符合正六边形特征.故选 D.5.如图,直线 l 是四边形 ABCD 的对称轴 .若 AB=CD,有下面的结论 :ABCD;ACBD

39、;AO=OC;ABBC.其中正确的结论有.(填序号 )答案:6.如图,在四边形 ABCD 中,点 M,N 分别在 AB,BC 上,将 BMN 沿 MN 翻折,得 FMN ,若 MF AD,FNDC,则B=95. 解析:FNDC,BNF=C=70 .MF AD,BMF= A=100 .由翻折知 ,F=B.又BMF+ B+BNF+F=360 , 100 +B+70 +F=360 , F=B=错误!未找到引用源。 =95 .7.如图 ,在平面直角坐标系中,若 ABC 与 A1B1C1关于点E 成中心对称 ,则对称中心点E 的坐标是(3,-1) 8.在 Rt ABC 中,BAC=90 ,AB=3,M

40、为边 BC 上的点 ,连接 AM(如图).如果 ABM 沿直线 AM 翻折后 ,点 B 恰好落在边 AC 的中点处 ,那么点 M 到 AC 的距离是2. 解析:如图,过点 M 作 MNAC 于 N, 由折叠性质可知 ,BAM= CAM= 45 .点 B 恰好落在边 AC 的中点处 , AC=2AB=6.ANM=90 , CAM=AMN= 45 .MN=AN.由 Rt CNMRt CAB,得错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 .MN=2.9. ABC 在平面直角坐标系中的位置如图.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，

41、共 31 页(1)作出 ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1,并写出 A1B1C1各顶点的坐标 ; (2)将ABC 向右平移 6 个单位 ,作出平移后的 A2B2C2,并写出 A2B2C2各顶点的坐标 ; (3)观察 A1B1C1与 A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.解 :(1) A1B1C1如 图 ,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)A2B2C2如 图 .A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3) A1B1C1与 A2B2C2关于直线 x=3对称.如图.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

42、 - - - - -第 18 页，共 31 页第二十四章圆24.1.1 圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段 OA叫作半径。第二种：圆心为 O ，半径为 r 的圆是所有到定点O的距离等于定长 r 的点的集合。比较圆的两种定义可知： 第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个

43、端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 MD ，AB是弦，且 CD AB ，C M A B D o AC=BC AM=BM 垂足为 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

44、 - - - - - - -第 19 页，共 31 页垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径MD 与非直径弦 AB相交于点 C， CDAB AC=BC AM=BM AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。（3）注意不能忽略同圆

45、或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件， 即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等， 比如两个同心圆中， 两个圆心角相同， 但此时弧、弦不一定相等。24.1.4 圆周角知识点一圆周角定理（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，

46、因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质： (1) 圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是 360(3) 圆内接四边形的外角等于其内对角24.2 点、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。（2）用数量关系表示：若设 O的半径是 r ，点 P到圆的距离 OP=d ，则有：点 P在圆外 dr ；点 p 在圆上 d=r；点 p 在圆内 dr。知识点二（1

47、）经过在同一条直线上的三个点不能作圆（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四反证法（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页（2）反证法的一般步骤： 假设命题的结论

48、不成立； 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论； 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2 直线和圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设 O的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有：直线 l 和O相交 d r ；直线 l 和O相切 d = r；直线 l 和O相离 d r 。知识点二切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线

49、的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外

50、一点，另一个是切点。知识点四三角形的内切圆和内心(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。(4)直角三角形内切圆半径的求解方法： 直角三角形直角边为a.b，斜边为 c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得2cbar。 根据三角形面积的表示方法：21ab=rcba)(21, cbaabr.24.3 正多边形和圆知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多