2022年近世代数--第三章小结 .pdf

《2022年近世代数--第三章小结 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年近世代数--第三章小结 .pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三章环与域总结第一节加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。元a的唯一的逆元叫做a的负元，记作 -a，简称负a。环的定义：? ,RR+是交换群R对+封闭 ；：RRR满足结合律，即bcacabRcba,+和都满足分配律：即对Rcba,满足acabcbacabaacb称R在+和运算下是环。.R是一个加群； .R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的； . 这个乘法适合结合律：cabbca，不管cba,是R的哪三个元； . 两个分配律都成立：bcbaacbacabcba,，不管cba,是R的哪三个元。环满足如下运算：00aa,对Raacabcbabcac

2、cbaaccaaccaca,minjjinjjmiinnbababbbaaa11112121定义： ?,R ，假设对Rba, 有baab, 即满足交换律的环是交换环。?,R ，假设Re, 对aaeeaRa,则称e为R的一个单位元。一般地，一个环不一定有单位元。?,R ，含有单位元e，,Ra假设Rb，使得ebaab, 则称b是a的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页逆元。? ,R ，0,bba，假设0ab, 则称a为左零因子，b为右零因子。既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交换群中无左右零因子，只有零因子。定理：

3、无零因子环里两个消去律都成立：cbacaba,0左消去cbcabaa,0右消去在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。整环的定义：一个环R叫做一个整环，假设满足：R是交换环：baabR是单位环，有单位元1：aaa11R是无零因子环满足消去律：000baab或这里ba,可以是R中的任意元。第二节除环、域除环的定义：一个环R叫做一个除环，假设满足：R中至少包含一个不等于零的元R中有一个单位元R的每一个不等于零的元都有一个逆元域的定义：一个交换除环叫做一个域。除环和域的几个重要性质：除环没有零因子满足消去律一个除环的不等于零

4、的元对于乘法来说作成的群0RR，叫做 R 的乘群。因为封闭性Rabba0,0,0则满足结合律有单位元R01有逆元Raa0,01第三节环的特征定理：在无零因子环中，所有非零元在加法运算下的阶是一致的，称此阶是环的特征。定理：无零因子环的特征要么是无穷，要么是素数。第四节子环子环的定义：一个环R 的一个子集S 叫做 R 的一个子环，假设S 本身对于R 的代数运算来说作成一个环。一个环 R 的一个子集S 叫做 R 的一个子除环，假设S 本身对于 R 的代数运算来说作成一个除环。第五节、同态精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页

5、同态的定义： ? ,R ?,R环，f：RR映射，假设满足以下条件：bfafbafRba,bfafabfRba?,假设f是同态满射，则称R和R同态。定理： ?,R ， ?,R ,RR与同态，则11,00afafafaff。假设R是交换环，则R是交换环。定理：如果环R与R同构，则有：假设R是整环，则R是整环；假设R是除环，则R是除环；假设R是域，则R是域。定理：假定R和R是两个环，且同态。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元。并且，假设R是交换环，那么R也是交换环；假设R有单位元1，那么R也有单位元1，而且1是1的象。定理：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合这就是所

6、有不属于S的R的元作成的集合 与另一个环S没有公共元， 并且SS, 那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。第六节多项式环多项式定义：一个可以写成的数是0,10nRaaaainn形式的0R的元叫做R上的的一个多项式，ia叫做多项式的系数。多项式环的定义：R叫做R上的的多项式环。未定元的定义：0R的一个元x叫做R上的一个未定元，假设在R里找不到不都等于零的元naaa,10，使得010nnxaxaa多项式次数的定义：令0,10nnnaxaxaa是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个多项式的次数。多项式0 没有次数。对于给定的0R来说，0R未必含有R上的未定元。定理1：给了一个有单位元

7、的交换环R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页多项式环xR存在。无关未定元的定义：0R的n个元nxxx,21叫做R上的无关未定元，假设任何一个R上的nxxx,21的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。定理2：给了一个有单位元的交换环R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元nxxx,21存在，因此也就有R上的多项式环Rnxxx,21存在。定理 3：假设Rnxxx,21和Rn,21都是有单位元的交换环R上的多项式环，nxxx,21是R上的无关未定元，n,21是R

8、上的任意元， 那么Rnxxx,21与Rn,21同态。第七节理想理想的定义：环R的一个非空子集叫做一个理想子环，简称理想。假设baba则,arraRra,注：理想是子环，但子环不一定是理想。一个环至少有两个理想：只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想R本身，称单位理想。定理 1：除环只有两个理想，即零理想和单位理想。主理想的定义：Ra，由a生成的理想即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想称为主理想，记为a 。第八节剩余类环剩余类的定义： 对于给定的环R及其一个理想，假设只就加法来看，R作成一个群，作成R的一个不变子群。这样的陪集,cba作成R的一个分类。我们把这些类叫做模的剩余类。定理 1：

9、假定R是一个环，是它的一个理想，R是所有模的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。剩余类环的定义：R叫做环R的模的剩余类环，用符号R/来表示。定理 2：假定R和R是两个环，并且R和R同态，那么这个同态满射的核是R的一个理想，并且RR/。定理 3：在环R到环R的一个同态满射下，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页R的一个子环S的象S是R的一个子环；R的一个理想的象是R的一个理想；R的一个子环S的逆象S是R的一个子环；R的一个理想的逆象是R的一个理想。第九节最大理想最大理想的定义： 一个环R的一个不等于

10、R的理想叫作一个最大理想， 假设除了R同自己以外，没有包含的理想。注：除环的最大理想是零理想除环包括域定理：是R的理想R ，/R只有平凡理想是R的最大理想。引理：R是含有单位元的交换环，假设R只有平凡理想，则R是域。定理：R是有单位元的交换环，是环R的理想，则/R是域是最大理想。第十节商域定理 1：每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。定理 2：Q是所有元0,bRbaba所作成的，这里ababba11商域的定义：一个域Q叫做环R的一个商域，假设Q包含R，并且Q刚好是由所有元0,bRbaba所作成的。定理 3：假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。定

11、理 4：同构的环的商域也同构。一个环最多只有一个商域。总结：本章定理，推理及引理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：cbcabaacbacaba,0,0反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立。R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。R的特征是有限整数n，那么n是一个素数。推论：整环，除环以及域的特征或是无限大，或是一个素数p。R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R也是一个环。R和R是两个环， 并且R和R同态。 那么R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元

12、。并且，假设R是交换环，那么R也是交换环；假设R有单位元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页1，那么R也有单位元1，并且1是 1 的象。R同R是两个环，并且RR。那么，假设R是整环，R也是整环；R是除环，R也是除环；R是域，R也是域。S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环S没有共同元，并且SS。那么存在一个与R同构的环R，并且S是R的子环。R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多项式环xR存在。R同一个正整数n，一定有R上的无关未定元nxxx,21存在， 因此也就有R上的多项式环nxxxR,21存在。

13、nxxxR,21和nR,21都是有单位元的交换环R上的多项式环，nxxx,21是R上的无关未定元，n,21是R上的任意元，那么nxxxR,21与nR,21同态。R只有两个理想，就是零理想和单位理想。R是一个环，u是它的一个理想，R是所有模u的剩余类作成的集合，那么R本身也是一个环，并且R与R同态。R同R是两个环，并且R与R同态，那么这个同态满射的核u是R的一个理想，并且RRu。R到环R的一个同态满射之下，i.R的一个子环S的象S是R的一个子环；ii.R的一个理想u的象u是R的一个理想；iii .R的一个子环S的逆象S是R的一个子环；iv.R的一个理想u的逆象u是R的一个理想；R是一个有单位元的

14、交换环，u是R的一个理想。uR是一个域，当而且只当u是一个最大理想的时候。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页R都是一个域Q的子环。 17.Q刚好是由所有元)0,(bRbaba所作成的，这里ababba11。R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 19. 同构的环的商域也同构。常用的计算规则：.aaa00.0aaaa.aa.abcbca.babababa,.nbnabanamnnam,.cbcabacbcaccba.000aa这里的0都是R的零元.abbaba.abba.nnabababbbba2121ababababbbnn2121.nmmnnmbababababbbaaa11112121.abnnbabna.mnnmnmnmaaaaa数学与信息学院 09级数本 1班段 秀 宽 20092111869 2012. 5. 25 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页