2022年实变函数论主要知识点 .pdf

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1、学习必备欢迎下载实变函数论主要知识点第一章集合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习：证明ABCABC；证明11nE faE fan；2、 对等与基数的定义及性质；练习：证明(0,1)；证明(0,1)0,1；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习：证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；Q；0,1 中有理数集E的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习：(0,1)；P（ P为 Cantor 集） ；精选学习资料 - - -

2、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载第二章点集1、度量空间， n 维欧氏空间中有关概念度量空间 (Metric Space) ，在 数学 中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。n 维欧氏空间 : 设 V 是实数域R 上的线性空间 （或称为向量空间） ，若 V 上定义着正定对称双线性型g（ g 称为内积），则 V 称为（对于g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当 V 是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说， g 是 V 上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,

3、z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)=0 ，而且 g(x,x)=0 当且仅当x=0 时成立。这里 x,y,z 是 V 中任意向量，k 是任意实数。2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点 :有点集E，若在复平面上的一点z 的任意邻域都有E 的无穷多个点，则称 z 为 E 的聚点。内点 :如果存在点P 的某个邻域U(P) E，则称 P 为 E 的内点。3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor 集的构造和性质；精选学习资料 - - - - - - - - -

4、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载5、练习：P，P，P；111,2n= ；第三章测 度 论1、 外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、 可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭） ；可数可加性（注意条件）；3、 零测度集的例子和性质；4、 可测集的例子和性质；练习：mQ，mP；零测度集的任何子集仍为零测度集；有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；0,1 中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可 测 函 数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：第四章习题3；2、可测函数与

5、简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章积 分 论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载1、非负简单函数L 积分的定义；练习：Direchlet 函数在1上的 L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（5.4 定理 1 和定理 2 诸条） ；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、

6、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习：0,1上的 Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件： 若f是可测集合E上的有界函数， 则f在E上 L-可积f在E上可测；练习：0,1上的 Direchlet 函数是 L-可积的；设3,( )10,xxf xx为无理数为有理数，则( )f x在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。例 1、求由曲线2cos,sin22所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点65,22,6,2260462d2cos21dsin2212Sd)2cos1(60+46d2cos21362s

7、in212sin214660例 2. 边长为 a 和 b(ab) 的矩形薄片斜置欲液体中, 薄片长边 a 与液面平行位于深为h 处, 而薄片与液面成角 , 已知液体的密度为, 求薄片所受的压力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载解: 取 x 为积分变量 , 变化区间为 h,h+bsin 从中取 x,x+dx知道面积元素sindxadS压力元素sindxxadP, 则)sin21(sin1sinsinsinbhabxdxadxxaPbhhbhh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页