2022年量子力学讲义第七章讲义 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆第七章量子力学的矩阵形式与表象变换1 态的表象一、什么叫表象量子力学中态和力学量的具体表示方式二、研究表象的意义根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 7.1 量子态的不同表象一、坐标表象波函数(x,t) 1、(x,t) 2、dxtx2),(表示体系处在(x,t)所描述的态中，在xx+dx 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在(x,t)所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在xx+dx 这个范围内的几率。3、2( , )1x tdx4、动量为xp的自由粒子的本征函数xpipex2/1)2(1)(5、x 在坐标表象中对应于本征值x的本征函数)(xx，即

2、，)()(xxxxxx二、动量表象波函数动量本征函数：pxipex2/1)2(1)(组成完备系，任一状态可按其展开( , )( , )( )px tc p tx dp (1) 展开系数*(, )( )( , )pc p txx t dx (2) (x,t)与 c(p,t)互为 Fourier（付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。认为c(p,t)和(x,t)描述同一个状态。(x,t)是这个状态在坐标表象中的波函数，c(p,t)是同一个状态在动量表象中的波函数。1、),(tpc状态波函数2、dptpc2),(表示体系处在c(p,t)所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为pp+dp

3、 范围内的几率。3、1),(2dptpc命题：假设(x,t)是归一化波函数，则c(p,t)也是归一。 (在第一章中已经证明) 4、xp的本征函数（具有确定动量xp的自由粒子的态）若(x,t)描写的态是具有确定动量p的自由粒子态，即：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆1/ 21( )(2)ip xpxe则相应动量表象中的波函数：*( , )( )( , )pc p txx t dx()piE tepp所以，在动量表象中，具有确定动量p 的粒子的波函数是以动量p 为变量的函数。换言之，动量本征

4、函数在自身表象中是一个函数。三、力学量表象问题：那末，在任一力学量F 表象中，(x,t)所描写的态又如何表示呢？1、分立谱的情况设算符?F的本征值为：F1, F 2, ., Fn,.，相应本征函数为：1(x), 2(x),., n(x),.。将(x,t)按?F的本征函数展开：( , )( )( )nnnx ta t ux*( )( )( , )nnatuxx t dx若(x,t), un(x)都是归一化的，则an(t)也是归一化的。(在第三章中已经证明) 由此可知， | an| 2表示在(x,t)所描述的状态中测量F 得 Fn的几率。展开系数组成的数列),(,),(),(21tatatan与(

5、x,t)是一一对应关系， an(t) 与(x,t)描述体系的同一个态，(x,t)是这一状态在坐标表象中的表示，而数列an(t) 是这同一状态在F 表象中的表示。我们可以把数列an(t) 写成列矩阵的形式，用F标记：(1)、体系态12( )( )( )Fna tatat列矩阵为(x,t)所描写的态在F 表象中的表示并把矩阵F称为(x,t)所描写的状态在F 表象中的波函数。F的共轭矩阵是一个行矩阵，用+F标记*12( )( )( )Fnatatat(2)、 | an| 2表示在(x,t)所描述的状态中测量F 得 Fn的几率。(3)、若(x,t)已归一化，则有1)(2nnta。若用矩阵表示FF)()

6、()()()()(21*2*1tatatatatatann*( )( )nnna t a t1(4)、本征值为nF的本征函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆001F（ 第行n为 1，其余为零）2、连续谱的情况?Ff( )fux12( )( )( )fna tatat( )Ffat连续矩阵（一般用( )fat表示即可）(1) ( , ) ( ) ( )nfx ta tat (2) 222( , )( )( )nfx tdxatatdf在q所描述的态中，测量力学量f，所得结果为ff+df的

7、几率 (3) 222( , )1( )1 ( )1nfnx tdxa tatdf综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。下面举个例子说明。例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数。四、 Hilbert （希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间同一个态在不同表象中有不同的表述方式量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建立一个n 维（ n 可以是无穷大）空间，把波函数看成是这个空

8、间中的一个矢量，称为态矢量。选取一个特定力学量F 表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F 的本征函数系,),(),(),(21xuxuxun为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数),(,),(),(21tatatan，在 F表象中态矢量可用这组分量来表示。( , )( )( )nnnx ta t ux)()()()()()(2211xutaxutaxutannF 表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。 7.2 力学量(算符)的矩阵表示一、矩阵简介1、定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

9、 - - - - - -第 3 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆NMNNMMAAAAAAAAAA212222111211矩阵MN矩阵元nmA,2, 1NnMm,2, 1方阵：行数与列数相等的矩阵。2、两矩阵相等BAnmnmBA（行列数相等）3、两矩阵相加BACnmnmnmBAC（行列数相等）4、两矩阵相乘llmnlnmBACMNMllNCBA（ 一个 l 列的矩阵A 与一个 l 行的矩阵 B 相乘） A B C 3222BA32C23222113121123222113121122211211CCCCCCBBBBBBAAAA11C21121111BABA23C23221321BABA

10、23222113121122211211BBBBBBAAAA232213212222122121221121231213112212121121121111BABABABABABABABABABABABA(1)BAAB称 A、B 矩阵相互不对易；BAAB称 A、B 矩阵相互对易（2）)()(BCACABABC(3) ()AB CABBC(4) ABAC，但 B=C 不一定成立 (5) AB=0，但 A=0，B=0不一定成立 (6) A2=0，但 A=0 不一定成立5、对角矩阵nmnnmAA)(0)(nmnmAn除对角元外其余为零4321000000000000AAAAA6、单位矩阵100001

11、0000100001I即nmnmA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆单位矩阵与任何矩阵A 的乘积仍为A：IA=A ，并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI 7、转置矩阵：把矩阵A 的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A 的转置矩阵A。nmm nAAA m 列 n 行n列 m 行232221131211AAAAAAA231322122111AAAAAAA*23*13*22*12*21*11AAAAAAA共轭矩阵A：*)()(nmmnmnAAAA m 列 n 行n 列 m 行转成共轭复数8、厄

12、密矩阵：如果AA，则称 A 矩阵为厄密矩阵（如果一个矩阵A 和它的共轭矩阵相等）例如，00iiA，则*0)(0iiA00iiAABAB)(ABCDABCD)(二、 F 表象中的算符表示设量子态经过算符?L运算后变成另一个态?LA、分立谱的情况在以力学量完全集F 的本征态k为基矢的表象（F表象）中，上式表成?kkkkkkba L (1) 以*( )jx左乘上式两边并对x 积分，积分范围是x 变化的整个区域得*( )(1)jxdx式*?kjkkkbLdx a?jkkkL a (2) 式中?(,)jkjkLL将(2)表成矩阵的形式则为1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLL

13、abLLLa (3) 式(3)即式 (1)在 F 表象中的矩阵表示，左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数和波函数在 F 表象中的矩阵表示，而矩阵jkL即算符?L在 F 表象中的表示。它的第n 列元素1122?(,)?(,)nnnnLLLL用FL表示这个矩阵，F表示左边的一列矩阵，F表示右边的列矩阵，则(3)为FFFL讨论： F表象中力学量算符?L的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆1、力学量算符在自身表象中的形式若?LF，则*?nmnmFu Fu dx*nmmu F u dx*m

14、nmFu u dxmnmF120000nFFFF结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。（要会证明）2、力学量算符用厄密矩阵表示*?nmnmLu Lu dx*?()nmuLudx*?mnu Lu dx*mnL*nmL()nmL即 L 矩阵的第m 列第 n 行的矩阵元等于第n 列第 m 行矩阵元的共轭复数，这就是厄密矩阵。用L+表示矩阵L 的共轭矩阵LL其对角矩阵元为实数。所以厄米算符的的矩阵表示是一厄米矩阵。B、连续谱的情况（1）只有连续本征值如果 F 只有连续本征值f，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b 的角标从可数的n, m 换成连续变化的f，求和换成积分，见下

15、表。分立谱连续谱un*um uf*u,f an bm af bfndf算符 L 在 F 表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：*?( )ffffLu Lux dx矩阵元ffL中的第一个角标f 表示矩阵的行数，第二个角标f表示矩阵的列数。但是，由于本征值f和 f可连续取值，所以由ffL组成的矩阵是行列不再可数的连续矩阵，可以标记为ffLL三、举例例1、 求一维线性谐振子的坐标算符x ?、动量算符p ?及哈密顿算符H?在能量表象中的矩阵表示 7.3 量子力学公式的矩阵表示一、 Schr?dinger 方程?iHt (1) 在 F 表象中，(t)表示为精选学习资料 - - - - - - - - -

16、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆( )kkkta (2) 按力学量算符F 的本征函数展开。把式 (2)代入式 (1)，得?kkkkkkiaHat左乘j，（取标积），得左乘j*对 x 整个空间积分jjkkkiaHat或表示为111121221222aHHaiaHHa此即 F 表象中的 Schr?dinger 方程。二、平均值公式在量子态下，力学量L 的平均值为?(,)LL?(,)kkjjkjaLa*?(,)kkjjkjaLa*kkjjkja L a11121*1221222LLaaaLLa此即平均值的矩阵形式。特例：若?LF，则?(,)j

17、kjkLL(,)jkkL(,)kjkLkkjL（对角矩阵），则在态下，*kkjjkjLa L a*kkkjjkja La2kkkaL假定已归一化，即21kka，则2ka表示在态下测量L 得到 Lk值的概率。三、本征值方程算符?L的本征方程为?LL用kkka代入，?kkkkkkLaLa左乘j，（取标积），得左乘j*对 x 整个空间积分()0jkjkkkLLa (3) 此即?L的本征方程在F 表象中的矩阵形式。11121212220LLLaLLLa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆它是ak（k

18、=0,1,2,）满足的线性齐次方程组，有非平庸解的条件为（此方程组有非零解的条件是其系数行列式等于零，即）det0jkjkLL明显写出，1112132122233132330LLLLLLLLLLLL (4) (4)式称为 久期方程 。设表象空间维数为N，则上式是L的 N 次幂代数方程。对于可观测量，Ljk为厄米矩阵*()jkkjLL，可以证明，上列方程必有N 个实根，记为jL，(j=0,1,2,N)。分别用jL代入式 (3)，可求出相应的解() jka(k=0,1,2,N)，表成列矢( )1( )2( )jjjNaaa(1,2,)jN它就是与本征值jL相应的本征态在F 表象中的表示。给定算符如

19、何求本征值与本征函数（ 1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（ 3）本征值代入本征方程求本征函数。四、举例：例 1、已知体系的哈密顿算符? 与某一力学量算符B?在能量表象中的矩阵形式为：100010001H，010100002bB其中和 b为实常数，问(1)、 H 和 B 是否是厄密矩阵；(2)、 H 和 B 是否对易；(3)、求算符B?的本征值及相应的本征函数；(4)、算符B?的本征函数是否也是? 的本征函数。 4 Dirac 符号量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac 首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dira

20、c 符号。1、右矢空间量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert 空间。空间中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。在抽象表象中Dirac 用右矢空间的一个矢量 | 与量子状态相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量 | 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：

21、nnan2、左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 |。左矢 相应的一个抽象态矢。例如：是的共轭态矢，x是x的共轭态矢等。3、标积态矢与的标积( ,)记为，( ,)而*(, )( ,)记为*若0，则称与正交；若1，则称为归一化态矢。设力学量完全集F 的本征态（离散）记为|k，它们的正交归一性表示为kjk j连续谱的本征态的正交“ 归一性 ” ，则表成函数形式。例如动量本征态，()pppp，坐标本征态，()x xxx等。在一个具体表象中如何计算标积，需要用到态矢在具体表象中的表示。4、态矢在具体表象中的表示在 F 表象中（基矢记为|k），态矢 | 可用 |k展开，

22、即kkak (1) 展开系数(,)kka记为kak (2) 是态矢 | 在基矢 |k上的投影（分量）。当所有ak都给定时，就确定了一个态。所以这一组数kak就是态 | 在 F 表象中的表示，常写成列矢形式1212aa把式 (2)代入式 (1)，得kkkkkk (3) 式中kk是一个投影算符，kPkkPk对任何态矢 | 运算后，就得到态矢| 在基矢 |k方向上的分量矢量，kPkkkak或者说 Pk的作用是把任何态矢在|k方向的分量挑选出来。式(3)中| 是任意的，因此1kkk（单位算符） (4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页

23、，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆这正是这一组基矢|k的完备性的表现。本征矢|k的封闭性。在连续谱的情况，fafdf (5) 左乘f，ffaffdf()faff dffa代入式 (5)，得ffdfffdfffdf (6) 式(6)中是任意的，因此1ffdf式(4)中求和应换为积分。例如，对于x和p分别有1dx xx，1dppp这就是连续本征值的本征矢的封闭性。由于1kkk，1ffdf，1dx xx，1dppp所以它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。例如：在左侧插入算符1kkkkkkkkk同理dx xx即得态矢按各种力学量本征矢的展开式在 F 表象

24、中，两个态矢与的标积可如下计算。因为kkkkkkkkkkkk所以kkkkkkkkk kkkk*kkkb a*1*122abba5、算符在具体表象中的表示设态矢经算符?L运算后变成态矢，即?L (7) 这里尚未涉及具体表象。在F 表象中，?L的矩阵表示为?kjLk L j，式 (7)左乘k，得?kk L?jk L jj精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆即kkjjjbL akbk,jaj分别是态矢 | 和| 在 F 表象中的表示。力学量 L 的本征方程?LL在 F 表象中表示为?k Lk L?jk L jjLk即()0kjkjjjLLa (8) jaj是| 在 F 表象中的基矢|j方向的投影。式(8)即?L的本征方程在F 表象中的表述形式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页