2022年计算导数导数四则运算教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载3 计算导数教学目标：1. 知识与技能：能够根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数y=f(x) 在x0处的导数的（算法）步骤；理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给的8 个函数的导数公式，并能用它们求简单函数的导数。2.过程与方法 ：经历计算函数f(t)=2t2,f(x)=x+2x在给定点的导数的过程，明确算理和确定算法；梳理计算具体函数在给定点的导数的过程，抽象、概括出一般函数在所给定区间上导函数的概念；体验函数在给定点的导数与所给区间上导函数这种特殊与一般的关系，领会他们间的联系与不同，设计导函数的求解程序，即算法。3.情感态度价值观：获得计算一般函数的导数的步骤

2、；感受特殊与一般的思想；在导数计算的过程中形成严谨细致、独立思考的习惯。教学重点： 计算一般函数在某点的导数，利用导数表求简单函数的导函数。教学难点： 导函数公式表的记忆与运用，建议在具体函数的求导过程中逐步掌握导数公式表的理解和使用。教学过程：一、 导学探究【知识回顾】1.平均变化率:设函数)(xfy，当自变量x从0 x变到1x时，函数值从0()fx变到1()f x，函数值y关于x的平均变化率为yx1010()()f xf xxx=00()()f xxf xx2.导数的定义：当 x1趋于 x0，即 x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(xfy在点 x0的瞬时

3、变化率。在数学上，称瞬时变化率为函数)(xfy在 点x0的 导 数， 通常 用符号)(0 xf表 示， 记 作0()fx101010()()limxxf xf xxx=000()()limxf xxf xx【探究新知】阅读教材P64-67 回答下列问题1 导(函)数定义：一般地，如果一个函数)(xfy在区间（ a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为)(xf，( )fx0()( )limxf xxf xx，则)(xf是关于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载x 的函数，称)(xf为)(xf的导函数，

4、通常也简称为导数。2 计算函数)(xfy在0 xx处的导数的步骤：（ 1 ） 通 过 自 变 量 在0 x处 的 x ， 确 定 函 数 在0 x处 的 改 变 量 ：)()(00 xfxxfy；（2）确定函数)(xfy在0 x处的平均变化率：xxfxxfxy)()(00；（3）当 x 趋于 0 时，得到导数xxfxxfxfx)()()(0000lim。3. 必记公式：（1）若cy（c 是常数），则y0 （2）若xy（是常数），则y1x（3）若) 1,0(aaayx，则ylnxaa，特别地()xexe（4）若)1,0(logaaxya，则y1lnxa，特别地(ln)x1x（5）若xysin，则

5、ycosx（6）若cosyx，则ysin x（7）若tanyx，则y21cos x（8）若cotyx，则y21sin x4.思考 1：导函数)(xf与函数在一点的导数0()fx的关系是什么？答：导函数)(xf是x的函数，导数0()fx表示导函数)(xf在0 xx的函数值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载思考 2： 求0()fx的方法有哪些？答：法 1：可以用定义；法2：先求出导函数( )fx，再将0 x代替)(xf中的x二、典题分析题型一利用导数的定义求函数在某点处的导数例 1 求函数xxxf

6、y2)(在下列各点的导数：（1）0 xx；（2）1x；（3）2x。解： （1）xxxxxxxxxxxxfxxfy02000000022)(2)()(.122020020 xxxxxxxxxxy。当 x 趋于 0 时，得到导数1212)(20020000limlimxxxxxyxfxx。（ 2）由（ 1）可知当1x时有：1112)1 (2f。（ 3）由（ 1）可知当1x时有：211)2(2)2(2f。例 2 求xxxfy23)(的导函数)(xf，并利用导函数)(xf求)1(f，)2(f，)0(f。解：xxxxxxxxxxxfxxfy6)(33)()( 3)()(220200. 1636)(32x

7、xxxxxxxy。当 x 趋于 0 时，得到导函数16) 163()(limlim00 xxxxyxfxx。分别将1x，2x，0 x代入)(xf，可得5116)1(f，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载131)2(6)2(f，1106)0(f。题型二利用导数公式求导数例 3 求下列函数的导数（1）yxx； （2）53yx； （3）222loglogyxx；（4）22sin(12cos)24xxy答案（ 1）32x； （ 2）2535x； （3）1ln 2yx； （4）cosyx题型三导数的应用例 4

8、 求函数yx在点（ 4， 2）处的切线方程解：因为12yxx，由导数公式表知，111221122yxxx，根据导数的几何意义，得点（4，2）处的切线斜率为11424k，所以函数yx在点（ 4，2）处的切线为440 xy三、归纳小结1. 函数( )f x在点0 x处的导数”、 “导函数”、 “导数”三者关系；2求函数( )f x在一点0 x处的导数的方法：法一： 用定义0()fx=0000()()limlimxxf xxf xyyxx法二：先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值。四. 课后反思 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

9、 页，共 10 页学习必备欢迎下载4.1 导数的加法与减法法则教学目标： 1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。教学重点： 函数和、差导数公式的应用。教学难点： 函数和、差导数公式的应用一、导学探究【知识回顾】1计算函数)(xfy在0 xx处的导数的步骤：（ 1 ） 通 过 自 变 量 在0 x处 的 x ， 确 定 函 数 在0 x处 的 改 变 量 ：)()(00 xfxxfy；（2）确定函数)(xfy在0 x处的平均变化率：xxfxxfxy)()(00；（3）当 x 趋于 0 时，得到导数

10、xxfxxfxfx)()()(0000lim。2导数公式表函数导函数函数导函数cy（c是常数）0 yxysinxycosxy（是实数）1xyxycosxysinxay（10aa且）ayxln()xxeexytanxy2cos1xyalog（10aa且）axyln11(ln )xxxycotxy2sin1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载【探究新知】1 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）即( )( )f xg x( )( )fxg x，()() fxg x () ()fxgx2 请试着

11、推导两个函数和、差的导数公式证明：)()()()(0 xgxfxxgxxfyxxgxfxxgxxfxy)()()()(xxgxxgxxfxxf)()()()(xxgxxgxxxfxxfxxyx0)()(0lim)()(0lim0lim)( )( xgxf同理)( )( )()(xgxfxgxf二、典例分析题型一利用两个函数和（差）的求导法则求函数的导数例 1 求下列函数的导数（1）42356yxxx； （2）21lgyxx； （3）22( )2f xaaxx答案（ 1）32465yxx； （2）312ln10 xx； （ 3）( )22fxax题型二导数的应用求与曲线切线有关的问题例 2 求曲

12、线32yxx在点（ 1， -1）的切线方程解：函数32yxx是函数3)(xxf与( )2g xx的差，由导数公式表分别得出23)( xxf，( )2g x，根据函数差的求导法则得32(2 )( )( )32xxfxgxx将1x代入导出函数得3 121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载即曲线32yxx上点（ 1,-1）处的切线斜率为1，从而切线方程为( 1)1yx，即2yx。例 3 已知曲线方程2yx，求过点B(3,5) 且与曲线相切的直线方程。解 显然点 B(3,5) 不在曲线2yx上，所以设切点的

13、坐标为200(,)xx因 为2yx， 所 以2yx， 所 以 切 线 的 斜 率02kx， 则 切 线 方 程 为20002()yxxxx把点 B(3,5) 代人，则200052(3)xxx， 即200650 xx， 解得01x或05x，所以切点坐标为（1， 1）或（ 5，25） ，所以所求切线方程为121 (1)yx或2525(5)yx，即210 xy或10250 xy例 4 已知抛物线2yaxbxc过点 P （1，1） ，且在点 Q（2，-1）处与直线3yx相切，求实数a,b,c 的值。解：因为曲线2yaxbxc过点 P（1，1） ，所以1abc因为2yaxb，所以 y 在 x=2 处导数

14、为4a+b,则由已知4a+b=1 因为曲线过点Q （2，-1 ） ，所以 4a+2b+c=-1 由解得a=3,b=-11,c=9三、归纳小结四. 课后反思 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载4.2 导数的乘法与除法法则教学目标： 1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线. 教学重点： 函数积、商导数公式的应用. 教学难点： 函数积、商导数公式的应用. 一、导学探究【知识回顾】导数的加法

15、与减法法则【探究新知】1.函数积的求导公式若两个函数( )f x，( )g x的导数分别是( )fx，( )g x，则( )( )f xg x=( ) ( )( )( )fx g xfx g x特别地，当( )g xk（k为常数）时，有( )kf x=)(xkf2. 函数商的求导公式若两个函数( )f x，( )g x的导数分别是( )fx，( )g x，则( )( )f xg x=2( ) ( )( )( )( )fx g xf x gxgx特别地，1( )g x=2( )( )gxgx问题：)( )( )()(xgxfxgxf吗？)( )( )()(xgxfxgxf吗？解析：令3)(xxf

16、2)(xxg说明。二、典例分析例 1 求下列函数的导数（1）2xyx e； （2）sinyxx； （3）lnyxx解：xxxxxxexxexxeexexexy)2(2)()()()1 (22222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载xxxxxxxxxxycos2sin)(sinsin)()sin()2(1ln1ln)(lnln)ln()3(xxxxxxxxxxy例 2 求下列函数的导数(1).sin xyx;（ 2）2lnxyx解：22sincos1sincos)sin()1 (xxxxxxxxxxy

17、(2) xxxxxxxxxxy2222ln)1ln2(ln1ln2)ln(例 3 求下列函数的导数. (1).2(lnsin)yxxx;（ 2）2cosxxyx答案： （ 1）22 ln2 sincosxxxxxxx（ 2）3sin2cosxxxxx例 4 求曲线1( )2 ln1xxf xxx在点（ 1,0 ）处的切线方程。分析：求切线方程的方法：找切点，求导数得斜率，点斜式写方程答案：7470 xy例5 已 知 函 数26( )axf xxb的 图 像 在 点M（ -1 ，( 1)f） 处 的 切 线 方 程 为250 xy，求函数( )yf x解析式。解：由函数( )yfx的图像在点M

18、（-1 ，( 1)f）处的切线方程为250 xy知12( 1)5f=0，即( 1)2f，由切点为M点得1( 1)2f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载222()2 (6)( )()a xbx axfxxb，2621(1)2(6)1(1)2ababab解得2,3ab或6,1ab（由10b舍去1b）所以，226( )3xf xx三、归纳小结1 导数的运算法则：( )( ) ( )( )f xg xfxgx( ) ( ) ( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x（轮流求导之和）( ) ( )cf xcf x (C 为常数 ) 2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )fxfx g xf x gxg xg xgx（上导乘下 , 下导乘上 , 差比下方）2. 如何用导数的四则运算法则和导数公式求导？（1）分析函数( )yf x的结构特征，有时需先化简；（2）选择恰当的求导法则和导数求导公式；（3）整理得结果。四、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页