2022年初高中函数知识点总结大全 .pdf

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1、名师总结优秀知识点初高中函数知识点总结大全正比例函数形如 y=kx （k 为常数， k 0）形式， y 是 x 的正比例函数。1.定义域:R(实数集 ) 2.值域:R(实数集) 3.奇偶性:奇函数4.单调性: 当 k0 时，图像位于第一、三象限， y 随 x 的增大而增大 (单调递增 );当 k0 时，图像位于第二、 四象限，y 随 x 的增大而减小 (单调递减 )。一次函数一、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。即： y=kx （k 为常数， k 0）一次函数与正比例函数的识别

2、方法：若 y=kx+b(k,b 是常数， k 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数，特别的，当 b=0 时，一次函数就成为y=kx(k 是常数， k 0)，这时， y 叫做 x 的正比例函数，当 k=0 时， 一次函数就成为若y=b，这时， y 叫做常函数。A 与 B 成正比例A=kB(k 0) 二、一次函数的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页名师总结优秀知识点1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为 k， 即： y=kx+b （k为任意不为零的实数b 取任何实数）2.当 x=0 时，b 为函数在

3、 y 轴上的截距。三、一次函数的图像及性质：1作法与图形：通过如下3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以做出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2 点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和 y 轴的交点）2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式： y=kx+b 。（2） 一次函数与 y 轴交点的坐标总是 （0， b)， 与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3k，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b0

4、 时，直线必通过一、二象限；当 b=0 时，直线通过原点当 b0 时，直线必通过三、四象限。特别地，当 b=0 时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页名师总结优秀知识点这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限；当k0 时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点 A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式 y=

5、kx+b 。所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b 的值。（4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用：1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft 。六、常用公式：1.求函数图像的 k 值：（ y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点： |x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点： |y1-y2|/2 4.关于点的距离的问题方法：点到 x 轴的距离用纵坐标的绝

6、对值表示，点到 y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)AABBA xyB xy的距离为22()()ABABxxyy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页名师总结优秀知识点若 AB x 轴，则(,0),(,0)ABA xB x的距离为ABxx；若 AB y 轴，则(0,),(0,)ABAyBy的距离为AByy；点(,)AAA xy到原点之间的距离为22AAxy点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于 x 轴对称，则他们的横坐标相同， 纵坐标互为相反数；若两个点关于

7、y 轴对称，则它们的纵坐标相同， 横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称， 则它们的横坐标互为相反数， 纵坐标也互为相反数；一次函数 y=kx+b （k 0）中 k、b 的意义：k(称为斜率 )表示直线 y=kx+b （k 0）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线 y=kx+b （k 0） 与 y 轴交点的，也表示直线在 y 轴上的。同一平面内，不重合的两直线y=k1x+b1（k1 0）与 y=k2x+b2（k2 0）的位置关系：当时，两直线平行。当时，两直线垂直。当时，两直线相交。当时，两直线交于y 轴上同一点。特殊直线方程：X 轴 : 直线Y 轴 : 直线精选学习资料 - - - - -

8、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页名师总结优秀知识点与 X 轴平行的直线与 Y 轴平行的直线一、 三象限角平分线二、四象限角平分线待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b （k 0）的解析式。 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b （k 0） ； 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。平移方法：直线 y=kx+b 与 y 轴交点为（ 0，b） ，直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出 b 即可。直线 y=kx+b 向左平移 2 向上

9、平移 3 y=k(x+2)+b+3; （ “左加右减，上加下减” ） 。交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；二次函数I.定义与定义表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页名师总结优秀知识点一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a 0，且 a 决定函数的开口方向， a

10、0时，开口方向向上， a0 时，y=a(x-h)2 的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到，当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k 的图象；当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2向右平行移动 h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到 y=a(x-h)2+k 的图象；当 h0,k0 时，开口向上，当a0，当 x -b/2a 时，y 随 x 的增大而减小；当 x -b/2a 时， y 随

11、x 的增大而增大若 a0 ，图像与 x 轴交于两点 A(x?，0)和 B(x?，0)，其中的 x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的两根这两点间的距离AB=|x?-x?| 当 =0图像与 x 轴只有一个交点；当 0 时，图像落在 x 轴的上方， x 为任何实数时，都有y0；当 a0 时，图像落在 x 轴的下方， x 为任何实数时，都有y0(a0时，开口方向向上， a0 时当 b2-4ac=0 时x1=x2=-b/2a 一般式折叠y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数 ,a 0) 顶点式折叠抛物线的顶点P(h，k) :y=a(x-h)2+k(a,h,k 为常数 ,a 0)

12、 交点式折叠仅限于与 x 轴有交点A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数 ,a 0) 3 种形式的转化一般式和顶点式对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页名师总结优秀知识点h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b2)/4a一般式和交点式x1,x2=-b (b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式) 抛物线的性质折叠1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x =

13、-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0 ，即 b=0时，P 在 y 轴上;当= b2-4ac=0 时，P 在 x轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线开口向上 ;当 a0)，对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 a b0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。= b2-4ac0 时，函数在 x= -b/2a 处取得

14、最小值 f(-b/2a)= 4ac-b2/4a;在x|x-b/2a 上是增函数 ;抛物线的开口向上;函数的值域是 y|y 4ac-b2/4a相反不变当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为 y=ax2+c(a 0) 7.定义域:R 值域:(对应解析式，且只讨论a 大于 0 的情况， a 小于 0 的情况请读者自行推断 )(4ac-b2)/4a，正无穷 );k，正无穷 ) 8.奇偶性:非奇非偶 (当且仅当 b=0 时，函数解析式为f(x)=ax2+c, 此时为偶函数 ) 周期性 :无解析式 : y=ax2+bx+c一般式 精选学习资料 - - - - - - -

15、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页名师总结优秀知识点a 0，a、b、c 为常数。a0，则抛物线开口朝上 ;a0，图象与 x 轴交于两点 :(-b+ /2a，0)和(-b- /2a，0); =0，图象与 x 轴交于一点 :(-b/2a ，0); 1 0a1，且nN*负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1, 0(*nNnmaaanmnm) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有

16、意义3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页名师总结优秀知识点2、指数函数的图像和性质a1 0a1 654321-1-4-224601654321-1-4-224601定义域 R 定义域 R 值域 y0

17、 值域 y0 在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图像都过定点（ 0，1）函数图像都过定点（ 0，1）注意：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：（1）在a，b上，)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f ；（2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1 (f；指数函数的一般形式为， 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域， 则只有使得不同大小影响函数图形的情况。可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提

18、是 a 大于 0，对于 a不大于 0 的情况， 则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页名师总结优秀知识点（2） 指数函数的值域为大于0 的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a 大于 1，则指数函数单调递增； a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的

19、单调递增函数的位置。 其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴,永不相交。（7） 函数总是通过（ 0，1）这点。（8） 显然指数函数无界。函数奇偶性注图：（ 1）为奇函数（ 2）为偶函数1定义一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x) 与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x)既是奇

20、函数又是偶函数， 称为既奇又偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页名师总结优秀知识点（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x) 与 f(-x)=f(x) 都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(

21、x)比较得出结论）判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2奇偶函数图像的特征：定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图像关于y轴或轴对称图形。f(x)为奇函数的图像关于原点对称点（x, y）（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。3. 奇偶函数运算(1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2

22、1 页，共 23 页名师总结优秀知识点(4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 函数定义域（高中函数定义） 设 A,B 是两个非空的数集， 如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A-B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x),x 属于集合 A。其中， x 叫作自变量， x 的取值范围 A 叫作函数的定义域；函数值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定

23、义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法（1）化归法；（2）图像法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页名师总结优秀知识点（9）三角代换法，（10）基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、 值域是函数构造的三个基本“元件”。 平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学

24、生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮， 何况它们二者随时处于互相转化之中 （典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说 :“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页