2022年高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和 2.pdf

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1、学习必备欢迎下载、 . 我们打败了敌人。我们把敌人打败了。等比数列的前n 项和例题解析【例 1】设等比数列的首项为a(a0)，公比为 q(q0)，前 n 项和为 80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为 6560，求 a 和 q解由 Sn=80，S2n=6560，故 q1 aqqaqqnn()()11112= 80= 6560q= 81na0，q1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为anan=aqn-1=54 将代入化简得a=q 1 化简得3a = 2q由，联立方程组解得a=2，q=3【例2】 求证：对于等比数列，有SS= S (SS)n22n2n2n3n证Sn=a1a1q a1

2、q2 a1qn-1S2n=Sn(a1qna1qn+1 a1q2n-1) =Snqn(a1a1q a1qn-1) =SnqnSn=Sn(1qn) 类似地，可得S3n=Sn(1qnq2n) S +S= SS (1q )= S (22qq)n22n2n2nn2n2n2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载S (SS) = S S (1q )S (1qq)= S (22qq)SS= S (SS)n2n3nnnnnn2nn2n2nn22n2n2n3n说明本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易上边的解法，灵活地处

3、理了 S2n、S3n与 Sn的关系 介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧【例 3】一个有穷的等比数列的首项为1， 项数为偶数， 其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数分析设等比数列为an ，公比为 q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1， a1q解设项数为 2n(nN*) ，因为 a1=1，由已知可得q1aqqa qqqnn1221221111()()= 85= 170得：把代入得q = 2q = 2= 854= 256 n = 4n1414n即公比为2，

4、项数为8说明运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时，对公比q 要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的【例 4】选择题：在等比数列an中，已知对任意正整数n，有 Sn=2n ，则等于1aaa1222n2 A (21)B(21)C21D(41)n2n2nn1313解Da1=S1=1，an=SnSn-1=2n-1an=2n-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1bbb= aaa= 144

5、4=414112n1222222n 1n1341()n【例 5】设 0V1， m 为正整数，求证：(2m1)Vm(1V) 1V2m+1分析直接作，不好下手变形：(2m1)Vm1121VVm右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：(2m1)Vm1VV2 V2m发现左边有 (2m1)个 Vm，右边有 (2m 1)项，变形： VmVm Vm1VV2 V2m显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较 鉴于左、 右两边都具有 “距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：VmVm1V2m，VmVmVV2m-1， VmVmVm-1Vm

6、+1，Vm=Vm即 2Vm1V2m，2VmVV2m-1，根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立(具体证法从略)说明本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：要证 ，改证；见到，去逆向运用，化成 ；要证 ，先证ABC(B0)AS =a1VVVABCDn122mCBVVaqqAmn11121C，BD，等等善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练【例 6】数列 an是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求 S3n解法一利用等比数列的前n 项和公式若 q=1，则 Sn=na1，即 na1=48，2na1=9660

7、，所以 q 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载S =a (1q )1n1nqS=a (1)a (1)(1+)1q2n11qqqqSqnnnnn211()q=14S=a (1q)1qn3n13naqqqqnnn12111()()=Sn(1qn q2n)S= 48(1+116) = 633n14解法二利用等比数列的性质：Sn，S2n Sn，S3nS2n仍成等比数列(6048)2=48(S3n 60) S3n=63解法三取特殊值法取 n=1，则 S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2=12

8、 an为等比数列 q =aa a = 321314S3n=S3=a1a2a3=63【例 7】已知数列 an中， Sn是它的前n 项和， 并且 Sn+1=4an 2(nN*) ，a1=1 (1)设 bn=an+12an(nN*) ，求证：数列 bn是等比数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载(2)c=a2(nN*)c nnnn设，求证：数列是等差数列解(1)Sn+1=4an2Sn+2=4an+12 两式相减，得Sn+2Sn+1=4an+1=4an(nN*) 即： an+2=4an+1 4an变形，得a

9、n+2 2an+1=2(an+1 2an) bn=an+12an(n N*) bn+1=2bn由此可知，数列bn 是公比为 2 的等比数列由 S2=a1a2=4a12，a1=1 可得 a2=5，b1=a22a1=3 bn=32n-1(2) c=a2(nN*)c=b2nnnn+1nn+1caaaannnnnnnn11112222将 bn=32n-1代入，得cc =34(nN*)n+1n由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故即：c d =34c =a2c=(n1)C =34n11nn12123414n说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载为等差数列或等比数列来解决精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页