2022年高一数学必修一易错题集锦答案 .pdf

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1、高一数学必修一易错题集锦答案1.已知集合M=y|y =x21,x R,N=y|y =x1,x R，则 M N= （）解：M=y|y=x21,x R=y|y1， N=y|y=x1,x R=y|y RM N=y|y1y|(y R)=y|y1,注： 集合是由元素构成的， 认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y=x21 、 y|y=x21,xR、 (x,y)|y=x21,xR ，这三个集合是不同的2 . 已知 A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0 且 AB=A ，求实数a组成的集合C解：AB=A BA 又 A=x|x23x2=0=1 ，2 B=或21 或 C=0，1，2 3 。 已知mA,

2、nB, 且集合A=Zaaxx,2|， B=Zaaxx, 12|，又C=Zaaxx,14|，则有：m+n( 填 A,B,C 中的一个 ) 解：mA, 设m=2a1,a1Z,又nB, n=2a2+1,a2 Z , m+n=2(a1+a2)+1, 而a1+a2 Z , m+nB。4 已知集合A=x|x23x100，集合 B=x|p 1x2p 1 若 BA ，求实数 p的取值范围解：当 B时，即 p12p 1p2. 由 BA得： 2p 1 且 2p15.由3p3. 2p3当 B= 时，即 p12p1p2. 由、得： p3.点评 ：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB 等集合问题易忽视空集的情

3、况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题5 已知集合A=a,a b,a 2b ，B=a,ac,ac2 若 A=B ，求 c 的值分析 ：要解决 c 的求值问题， 关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式解：分两种情况进行讨论（1）若 a b=ac 且 a2b=ac2，消去 b 得： aac22ac=0，a=0 时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即 c=1，但 c=1 时， B中的三元素又相同，此时无解（2）若 a b=ac2且 a 2b=ac，消去 b 得： 2ac2aca

4、=0，a0，2c2c 1=0，即(c 1)(2c 1)=0，又 c1，故 c=21点评 ：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设 A是实数集，满足若aA，则a11A，1a且 1A. 若 2A， 则 A中至少还有几个元素？求出这几个元素A能否为单元素集合？请说明理由 . 若 aA，证明： 1a1A.求证：集合A中至少含有三个不同的元素. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页解：2A 1A 21A 2A A 中至少还有两个元素：1 和21如果 A为单元素集合，则aa11即12aa0

5、该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集aA a11A a1111A111aaA，即 1a1A由知 aA 时，a11A， 1 a1A . 现在证明a,1 a1, a11三数互不相等.若 a=a11, 即 a2-a+1=0 ，方程无解，aa11若 a=1a1，即 a2-a+1=0 ，方程无解 a1a1若 1a1 =a11，即 a2-a+1=0 ，方程无解 1a1a11. 综上所述，集合A中至少有三个不同的元素. 点评 ：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. 7 设 M a，b，c ，N 2,0,2 , 求（ 1）从 M到 N的映射种数；（2）从 M到 N的映射满足f(a)f(

6、b) f(c),试确定这样的映射f的种数 . 解： （1）由于 M a，b，c ，N 2,0,2 ，结合映射的概念，有一共有 27 个映射（2）符合条件的映射共有4 个0222,2,2,0 ,0 ,2220aaaabbbbcccc8. 已知函数( )f x的定义域为 0 ， 1 ，求函数(1)f x的定义域解：由于函数( )f x的定义域为 0 ，1 ，即01x(1)f x满足011x10 x，(1)f x的定义域是 1，0 9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知( )f x是二次函数，若(0)0,(1)( )1ff xfxx，求( )f x. （2）已知(1)2fxxx，求( )fx精选

7、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页（3）若( )f x满足1( )2 ( ),f xfaxx求( )f x解： （1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设( )f x2(0)axbxca由于(0)0f得2( )f xaxbx，又由(1)( )1f xf xx，22(1)(1)1a xb xaxbxx即22(2)(1)1axab xabaxbx211021abbaabab因此：( )fx21122xx(2) 本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22( )(1)2(1)1(1)f uuuuu( )f x21

8、x（1x）（3）由于( )f x为抽象函数，可以用消参法求解用1x代x可得：11( )2 ( ),ff xaxx与1( )2 ( )f xfaxx联列可消去1()fx得：( )f x233aaxx. 点评 ： 求函数解析式 （1） 若已知函数( )f x的类型， 常采用待定系数法； （2）若已知( )f g x表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知xyx62322，试求22yx的最大值 . 分 析 ： 要 求22yx的 最 大 值 ， 由 已 知 条 件 很 快 将22yx变 为 一 元 二 次 函 数,29)3(21)(2xxf然后求极值点的x

9、值，联系到02y，这一条件，既快又准地求出最大值 . 解由xyx62322得.20,0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx当2x时，22yx有最大值，最大值为.429)32(212点评 ：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性. 大部分学生的作法如下：由xyx62322得,32322xxy1(0),1(1)uxxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页,29)3(2132322222xxxxyx当3x时，22yx取最大值，最大值为29这种解法由于忽略了02y这

10、一条件，致使计算结果出现错误. 因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题. 11 设( )fx是 R上的函数，且满足(0)1,f并且对任意的实数, x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表达式 . 解法一 ：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，设xy，得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x21xx解法二 ：令0 x，得(0)(0)(1)fyfyy即()1(1)fyyy又将y用x代换到上式中得(

11、)f x21xx点评 ：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数. 具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12 判断函数1( )(1)1xf xxx的奇偶性 . 解：1( )(1)1xf xxx有意义时必须满足10111xxx即函数的定义域是x11x ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断22( )log (1)f xxx的奇偶性 . 正解 ：方法一：)1(log)1)(log)(2222xxxxxf11log22xx)1(log22xx)(xf)(xf是奇函数方法二：)1(log)1(l

12、og)()(2222xxxxxfxf01log)1()1(log2222xxxx)()(xfxf)(xf是奇函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页14 函数 y=245xx的单调增区间是_. 解：y=245xx的定义域是 5,1，又2( )54g xxx在区间 5, 2上增函数，在区间 2,1是减函数，所以y=245xx的增区间是 5, 215 已知奇函数f(x) 是定义在 ( 3，3) 上的减函数， 且满足不等式f(x3)+f(x23)0, 求x的取值范围 . 解：由66603333332xxxx得, 故 0 x

13、6, 又f(x) 是奇函数，f(x3)3x2, 即x2+x60, 解得x2 或x3, 综上得 2x6, 即A=x|2x6, 16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x1) ；(2)|lg |10 xy. 分析： 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形. 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解： (1) 当 x2 时， 即 x-2 0 时，当 x2 时，即 x-2 0 时，所以)2(49)21()2(49)21(22xxxxy这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出( 见图 ) (2) 当 x1 时，

14、 lgx 0，y=10lgx=x ；当 0 x1 时， lgx 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.( 见图 ) 点评： 作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y 的变化范围 . 因此必须熟记基本函数的图像. 例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. 17 若 f(x)= 21xax在区间（ 2，）上是增函数，求a 的取值范围解：设12121212112,()

15、()22axaxxxf xf xxx12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)axxaxxxxax xaxxax xaxxxxaxxaxxaxxxxxx由f(x)=21xax在区间（ 2，）上是增函数得12()()0f xf x210aa21点评 ：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 18 已知函数f(x) 在( 1， 1) 上有定义，f(21)=1, 当且仅当0 x1 时f(x)0, 且对任意x、

16、y( 1,1) 都有f(x)+f(y)=f(xyyx1), 试证明：(1)f(x) 为奇函数； (2)f(x) 在( 1，1)上单调递减解 ：证明： (1) 由f(x)+f(y)=f(xyyx1), 令x=y=0, 得f(0)=0, 令y=x, 得f(x)+f( x)=f(21xxx)=f(0)=0. f(x)=f( x). f(x) 为奇函数 . (2) 先证f(x) 在(0 ， 1) 上单调递减 . 令 0 x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f( x1)=f(21121xxxx) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6

17、页，共 17 页0 x1x20,1 x1x20，21121xxxx0, 又(x2x1) (1 x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 012121xxxx1, 由题意知f(21121xxxx)0 ，即f(x2)0, 且a2a+1=(a21)2+430, 1+2x+4xa0, a)2141(xx, 当x( , 1时, y=x41与y=x21都是减函数，y=)2141(xx在( , 1上是增函数，)2141(xxmax=43, a43, 故a的取值范围是 ( 43, + ). 点评： 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数， 并

18、利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现. 本题主客换位后，利用新建函数y=)2141(xx的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围 .此法也叫主元法. 23 若1133(1)(32 )aa，试求a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页解：幂函数13yx有两个单调区间，根据1a和32a的正、负情况，有以下关系10320.132aaaa10320.132aaaa10.320aa解三个不等式组：得23a32，无解，a 1 a的取值范围是（，1）（23，32）点评 ：幂函数13

19、yx有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132aa，从而导致解题错误. 24 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 12aa (x x1 ) (1) 求 f(x) ； (2) 判断 f(x) 的奇偶性与单调性； (3) 对于 f(x) ,当 x ( 1 , 1)时 , 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 ,求 m的集合 M . 分析 ：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解： (1) 令 t=logax(t R)，则).(),(1)(),(1)(,22Rxaaaaxfaaaatf

20、axxxttt, 101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22aaxfaaaxuaaaxfRxxfaaaaxfxxxx或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且f(x)在 R上都是增函数 . )1 , 1().1()1 (,)(, 0)1()1()3(22xmfmfRxfmfmf又上是增函数是奇函数且在.211111111122mmmmm点评 ：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论. 对本例的不需要代入f（x）的表达式可求出 m的取值范围，请同学们细心体会. 25 已知函数2( )3f xxaxa若 2,2x时，( )f x0 恒成立，求a的取值范围 .

21、 解：设( )f x的最小值为( )g a（1）当22a即a4 时，( )g a( 2)f73a0，得73a故此时a不存在；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页(2) 当 2,22a即 4a4 时，( )g a3a24a0，得 6a2 又 4a 4，故 4a2；（3）22a即a 4 时，( )g a(2)f7a0，得a 7，又a 4 故 7a 4 综上，得 7a2 26 已知210mxx有且只有一根在区间（0,1 ）内，求m的取值范围 . 解：设2( )1f xmxx， （1）当m0 时方程的根为1，不满足条件. （

22、2）当m0210mxx有且只有一根在区间（0,1 ）内又(0)f10 有两种可能情形(1)0f得m 2 或者1(1)02fm且00 即)(xfx)1)()1)()()()(2121111axxxaxaxxxxFxxxFxxxfx021xxxa1. 01 ,021axxx0)(1xfx综合得1)(xxfx（2）依题意知abx20，又abxx121aaxaxaxxaabx2121)(221210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页,012ax22110 xaaxx点评 ：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；

23、二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即abx2031 已知函数0) 1(),1(2)(2fbccbxxxf，且方程01)(xf有实根 . (1) 求证： -3c -1,b 0. (2) 若 m是方程01)(xf的一个实根，判断)4(mf的正负并加以证明分析： （1）题中条件涉及不等关系的有1bc和方程01)(xf有实根 . 及一个等式0)1 (f，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(mf的符号，因而只要研究出4m值的范围即可定出)4(mf符号 . (1) 证明：由0)1 (f，得 1+2b+c=

24、0, 解得21cb，又1bc，1cc21解得313c，又由于方程01)(xf有实根，即0122cbxx有实根，故0) 1(442cb即0)1(4) 1(2cc解得3c或1c13c，由21cb，得b0. （2）cbxxxf2)(2=) 1)()1(2xcxcxcx01)(mf， cm1 （如图）c4m 43c. )4(mf的符号为正 . 点评 ：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题. 32 定义在R上的函数fx满足：对任意实数,m n，总有f mnf mfn，且当0 x时，01fx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

25、 - - - -第 13 页，共 17 页（1）试求0f的值；（2）判断fx的单调性并证明你的结论；（ 3）设22,1,21,Ax yfxfyfBx yf axyaR，若AB，试确定a的取值范围 . （4）试举出一个满足条件的函数fx. 解： （1）在fmnfmfn中，令1,0mn. 得：110fff. 因为10f，所以，01f. （2）要判断fx的单调性，可任取12,x xR，且设12xx. 在已知条件fmnfmf n中，若取21,mnxmx，则已知条件可化为：2121fxfxfxx.由于210 xx，所以2110fxx. 为比较21fxfx、的大小，只需考虑1fx的正负即可 . 在fmnf

26、mf n中，令mx，nx，则得1fxfx. 0 x时，01fx， 当0 x时，110fxfx. 又01f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有10fx. 2112110fxfxfxfxx. 函数fx在 R上单调递减 . （3）首先利用fx的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子 . 222211fxfyfxy即，210faxyf，即20axy. 由AB，所以，直线20axy与圆面221xy无公共点 . 所以，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页2211a. 解得11a. （4）如12xfx. 点评 ：根据

27、题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0mn；以及21,mnx mx等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决. 33 设a为实数，函数1|)(2axxxf，Rx（1）讨论)(xf的奇偶性；（2）求)(xf的最小值 . 解： （1）当0a时，函数)(1|)()(2xfxxxf此时，)(xf为偶函数当0a时，1)(2aaf，1|2)(2aaaf，)()(afaf，)()(afaf此时)(xf既不是奇函数，也不是偶函数（2） （i ）当ax时，43)21(1)(22axaxxxf当21a，则函数)(xf在,(a上

28、单调递减，从而函数)(xf在,(a上的最小值为1)(2aaf. 若21a，则函数)(xf在,(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff. （ii ）当ax时，函数43)21(1)(22axaxxxf若21a，则函数)(xf在,(a上的最小值为af43)21(，且)()21(aff若21a，则函数)(xf在),a上单调递增，从而函数)(xf在),a上的最小值为1)(2aaf. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页综上，当21a时，函数)(xf的最小值为a43当2121a时，函数)(xf的最小值为12a当2

29、1a时，函数)(xf的最小值为a43. 点评 ： （1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过)()(xfxf代入有1|1|)(22axxaxx，即|axax可得，当0a时，|axax，函数)()(xfxf函数为偶函数. 通过)()(xfxf可得1|1|)(22axxaxx化得|222axaxx此式不管0a还是0a都不恒成立，所以函数不可能是奇函数. （2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查. 34 某公司为帮助尚有26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20 万元将该商店改

30、建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务( 所有债务均不计利息 ). 已知该种消费品的进价为每件40 元； 该店每月销售量 q（百件） 与销售价 p（元件） 之间的关系用右图中的一条折线 （实线） 表示； 职工每人每月工资为600 元，该店应交付的其它费用为每月130 元. （1）若当销售价p 为 52 元件时， 该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（2）若该店只安排40 名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析 ：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓

31、住矛盾的主要方面 . 由题目的问题找到关键词“收支平衡”、 “还清所有债务” ，不难想到， 均与“利润”相关 . 从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题. 为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润. 解： （1）设该店的月利润为S元，有职工m名. 则4010060013200Sq pm. 124584060qp81精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17

32、页又由图可知：2140,405882 5881ppqpp. 所以，21404010060013200 4058824010060013200 5881ppmpSppmp由已知，当52p时，0S，即214040100600132000ppm，解得50m.即此时该店有50 名职工 . （2）若该店只安排40 名职工，则月利润21404010037200 4058824010037200 5881pppSppp. 当4058p时，求得55p时， S取最大值7800 元. 当5881p时，求得61p时， S取最大值6900 元. 综上，当55p时， S有最大值7800 元. 设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有1278002680002000000n. 解得5n. 所以，该店最早可在5 年后还清债务，此时消费品的单价定为55 元. 点评 ：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义. （2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题. （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页