2022年平面向量题型三-三角形“四心”与向量结合 .pdf

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1、学习资料欢迎下载题型三 三角形“四心”与向量结合( 一) 平面向量与三角形内心1、 O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACACABABOAOP，,0则 P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心2 、 已 知 ABC， P 为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 点P 满 足 ：0aP Ab P BcP C，则 P是三角形的（）外心内心 C 重心 D 垂心3、在三角形 ABC中，动点 P 满足：CPABCBCA222，则 P 点轨迹一定通过ABC的：（）外心内心 C 重心 D 垂心( 二) 平面向量与三角

2、形垂心“垂心定理”H是ABC所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H是ABC的垂心 . 证明： 由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(, 同理ABHC，BCHA. 故 H是ABC的垂心 . （反之亦然（证略）4、已知 ABC ，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：0PA PCPAPBPB PC，则 P点为三角形的（）外心内心 C 重心 D 垂心5、点 O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O 是ABC的（）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点6、在同一个平面上有AB

3、C及一点满足关系式：2OA2BC2OB2CA2OC2AB，则为ABC的（）外心内心 C 重心 D 垂心( 三) 平面向量与三角形重心“重心定理”G是ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点 G是ABC 的重心 . 证明图中GEGCGB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习资料欢迎下载连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC BGCE为平行四边形D是BC的中点，AD 为BC 边 上 的 中 线 . 将GEGCGB代 入GCGBGA=0 ， 得EGGA=0GDGEGA2，故 G是ABC的重心 . （反之亦然（证略）P是A

4、BC所在平面内任一点 . G是 ABC 的重心)(31PCPBPAPG. 证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G 是 ABC 的 重 心GCGBGA=0CGBGAG=0 ， 即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG. （反之亦然（证略）7、已知 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(ACABOAOP，则 P的轨迹一定通过 ABC的（）外心内心 C 重心 D 垂心8、已知 A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC 的重心，动点 P满足OP=31 (21OA+OB21+2OC), 则点 P一定为三角形 ABC

5、的（）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点( 四) 平面向量与三角形外心9、若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）A内心 B外心 C垂心 D重心10 、ABC的 外 接 圆 的 圆 心 为O， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = ( 五) 平面向量与三角形四心11、 已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0， |1OP|=|2OP|=|3OP|=1 ，求证P1P2P3是正三角形 . （ 数学第一册（下） ，复习参考题五 B组第 6 题）12、在ABC中，已知 Q 、

6、G 、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H三点共线，且 QG:GH=1:2 。13、若 O 、H分别是 ABC 的外心和垂心 . 求证OCOBOAOH. 14、 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心 . 求证OHOG31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习资料欢迎下载C(x2,y2) y H Q G E F 15已 知 点O、N、P在 三 角 形ABC所 在 平 面 内 ， 且OA=OB=OC,0NCNBNA, 则PBPA=PCPB=PAPC则点O、N、 P依次是三角形ABC的（A）重心

7、、外心、垂心（B）重心、外心、内心（C ）外心、重心、垂心（D ）外心、重心、内心题型三 三角形“四心”与向量结合答案1、解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee 和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知 AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选 B. 4、解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0, 0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,同理所以 P为ABC的垂心. 故选 D. 8、取 AB边的中点 M ，则OMOBOA2，由OP=31 (21OA+OB21+2OC) 可得3MCOMO

8、P23，MCMP32，即点 P 为三角形中 AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心，故选 B. 9、解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选 B。10、1 11 证明由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP2OP=21，同理2OP3OP=3OP1OP=21，|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而 P1P2P3是正三角形 . 反之，若点O 是正三角形P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即 O是ABC 所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|

9、点 O是正 P1P2P3的中心 . 12【证明】 ：以 A为原点， AB所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0) 、B（x1,0 ） 、C(x2,y2) ，D、E、F分别为 AB 、BC 、AC的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、由题设可设1324,)(,)2xQyHxy（、, 122(,)33xxyG212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习资料欢迎下载212(,)BCxxy2212422142()0()

10、AHBCAHBCxxxy yxxxyy212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y即=3QHQG，故 Q 、G 、H三点共线，且 QG ：GH =1：2 13 证明若ABC 的垂心为 H，外心为 O ，如图 . 连 BO并延长交外接圆于 D，连结 AD ，CD . ABAD，BC

11、CD. 又垂心为 H ，BCAH，ABCH，AH CD ，CH AD ，四边形 AHCD 为平行四边形，OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 14 证明按重心定理G是ABC的重心)(31OCOBOAOG按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG31. 精选学习资料 - - - - - - - - -

12、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习资料欢迎下载三角形“四心”与向量结合总结1O是ABC的重心0OCOBOA; 若 O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;1()3PGPAPBPCG为ABC的重心 . 2O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA; 若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：故0OCCtanOBBtanOAAtan3O是ABC的外心|OC|OB|OA|( 或222O CO BO A) 若O是ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCs

13、inSSSAOBAOCBOC：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4O是内心AB的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成0)ee(O C)ee(OB)ee(O A322131，O 是ABC内心的充要条 件 也 可 以 是0OCcOBbOAa。 若O 是ABC的 内 心 ， 则cbaSSSAOBAOCBOC：故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或; |0AB PCBC PACA PBP是ABC的内心 ; 向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线) ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页