2022年完整word版,等差、等比数列性质总结 .pdf

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1、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：daann1（d 为常数） （2n） ；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN，首项:1a，公差 :d ，末项 :na推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a， A，b 成等差数列，那么A叫做a与b 的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列+-112(2,nN )nnnaaan212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、B是常数，所以当 d0时， Sn 是关于 n的二次式且常数项为 0）特

2、别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为 2n+1的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法（1） 定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（2） 等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列等差中项性质法：-112(2n)nnnaaanN，7. 提醒：

3、（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到 5 个元素：1a、d 、n、na及nS，其中1a、d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为 d ） ；偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad, （注意；公差为2d ）8. 等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d ；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且

4、常数项为0. （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当 mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 注：12132nnnaaaaaa，（4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5) 若na是等差数列，则232,nnnnnS SS SS，也成等差数列（6）数列na为等差数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页（7）设数列na是等

5、差数列， d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和当项数为偶数n2时，121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnnaaSaaaana偶11nnnnnSSnananaad偶奇11nnnnSnaaSnaa偶奇当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSSnaSnanSSaSnaSn偶n+1n+1奇偶奇n+1n+1奇偶偶奇（其中an+1是项数为 2n+1的等差数列的中间项） （8）nb的前n和分别为nA、nB，且( )nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. （9）等差数列na的前 n 项和

6、mSn，前 m 项和nSm，则前 m+n 项和m nSmna,nmm an则a0nm(10) 求nS的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二： （1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值或求na中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于1a和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质

7、，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页等比数列性质1. 等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比2. 通项公式：11110,0nnnnaaa qqA BaqA Bq， 首项：1a；公比：q推广：n mnmaa q，从而得n mnmaqa3. 等比中项（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4. 等比数

8、列的前 n 项和nS公式：(1) 当1q时，1nSna(2) 当1q时，11111nnnaqaa qSqq1111nnnaaqAA BA BAqq（,A B A B为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n, 都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na为等比数列（2） 等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）na为等比数列（3） 通项公式：0nnaA BA Bna为等比数列（4） 前 n 项和公式：,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数na为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnaqana为等比数列7

9、. 注意（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaa q如奇数个数成等差，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q，中间项用a表示） ；8. 等比数列的性质(1) 当1q时等比数列通项公式1110nnnnaaa qqA BA Bq是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q前 n 项和1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq， 系数和常数

10、项是互为相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,n*N, 在等比数列na中, 有n mnmaa q, 特别的 , 当 m=1时, 便得到等比数列的通项公式 . 因此 , 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t*N), 则nmstaaaa. 特别的 , 当 n+m=2k时, 得2nmkaaa注：12132nnnaaaaa a(4) 列na,nb为等比数列 , 则数列nka,nk a,kna,nnk abnnab (k 为非

11、零常数 ) 均为等比数列 . (5) 数列na为等比数列 , 每隔 k(k*N) 项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等比数列(6) 如果na是各项均为正数的等比数列, 则数列logana是等差数列(7) 若na为等比数列 , 则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(8) 若na为等比数列 , 则数列12naaa, 122nnnaaa, 21223nnnaaa成等比数列(9) 当1q时，当1q0时，1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列, 1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时, 该数列为摆动数列 . (10) 在等比数列na中, 当项数为 2n (n*N)时,1SSq奇偶,. (11) 若na是公比为 q 的等比数列 , 则nnmnmSSqS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页