2022年微观经济学第四章习题答案 .pdf

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1、学而不思则惘，思而不学则殆第四章生产论1. 下面 (表 41)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表 41 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量1 2 2 10 3 24 4 12 5 60 6 6 7 70 8 0 9 63 (1)在表中填空。(2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答： (1)利用短期生产的总产量(TP)、平均产量 (AP)和边际产量(MP) 之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4 2所示：表 42 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量1 2 2 2

2、2 12 6 10 3 24 8 12 4 48 12 24 5 60 12 12 6 66 11 6 7 70 10 4 8 70 8f(3 4) 0 9 63 7 7 (2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表42 可见，当可变要素的投入量从第4 单位增加到第5 单位时，该要素的边际产量由原来的24 下降为 12。2. 用图说明短期生产函数Qf(L，eq o(K,sup6( )的 TPL曲线、 APL曲线和MPL曲线的特征及其相互之间的关系。解答： 短期生产函数的TP

3、L曲线、 APL曲线和 MPL曲线的综合图如图41 所示。图 41 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆由图 41 可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MPL曲线呈现出先上升达到最高点A 以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的MPL曲线出发，可以方便地推导出 TPL曲线和 APL曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。关于 TPL曲线。由于MPLf(dTPL,dL)，所以，当MPL0 时， TPL曲线是上升的；当MPL 0 时， TPL曲线是下降的；而当MPL0 时， TPL

4、曲线达最高点。换言之，在 L L3时，MPL曲线达到零值的B 点与 TPL曲线达到最大值的B 点是相互对应的。此外，在 LL3即 MPL0 的范围内，当MP L0 时， TPL曲线的斜率递增，即TPL曲线以递增的速率上升；当MP L0 时， TPL曲线的斜率递减，即TPL曲线以递减的速率上升；而当MP 0 时，TPL曲线存在一个拐点，换言之， 在 LL1时，MPL曲线斜率为零的A 点与 TPL曲线的拐点A 是相互对应的。关于 APL曲线。由于APLf(TPL,L)，所以，在LL2时， TPL曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。该切线是由原点出发与TPL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连

5、线，故该切点对应的是APL的最大值点。再考虑到APL曲线和 MPL曲线一定会相交在 APL曲线的最高点。因此，在图41 中，在 LL2时， APL曲线与 MPL曲线相交于APL曲线的最高点C ，而且与 C 点相对应的是TPL曲线上的切点C。3. 已知生产函数Qf(L ， K) 2KL 0.5L2 0.5K2， 假定厂商目前处于短期生产，且K10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APLMPL？它

6、的值又是多少？解答： (1)由生产函数Q2KL 0.5L20.5K2，且 K10，可得短期生产函数为Q20L0.5L2 0.5 10220L0.5L250 于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TPL20L0.5L2 50 劳动的平均产量函数：APLTPL/L200.5L50/L劳动的边际产量函数：MPLdTPL/dL20L (2)关于总产量的最大值：令dTPL/dL0，即 dTPL/dL20L0 解得L20 且d2TPL/dL2 10 所以，当劳动投入量L20 时，劳动的总产量TPL达到极大值。关于平均产量的最大值：令 dAPL/dL0，即 dAPL/dL

7、0.550L20 解得L10(已舍去负值 ) 且d2APL/dL2 100L30 所以，当劳动投入量L10 时，劳动的平均产量APL达到极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MPL 20L 可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L0 时，劳动的边际产量MPL达到极大值。(3)当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APLMPL。由 (2)已知，当 L10 时，劳动的平均产量APL达到最大值，即相应的最大值为APL的最大值 200.5 1050/1010 将 L10 代入劳动的边际产量函数MPL20L，得 MPL20 1010。精选学

8、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆很显然，当APL MPL10 时， APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L10。4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答： 边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。规模报酬分析方法是描述在生产过

9、程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、 小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。5. 已知生产函数为Qmin2L ， 3K 。求：(1)当产量 Q 36 时， L 与 K 值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为PL2，PK5，则生产480 单位产量时的最小成本是多少？解答： (1)生产函数Qmin2L ， 3K 表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q2L3K。因为已知产量Q36，所以，相应地有L18，K12。(2)由 Q2L 3K

10、，且 Q480，可得L240， K 160 又因为 PL 2，PK 5，所以有CPL LPK K 2 2405 1601 280 即生产 480 单位产量的最小成本为1 280。6.假设某厂商的短期生产函数为Q35L8L2L3。求： (1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答： (1)平均产量函数：AP(L) f(Q(L),L)358L L2边际产量函数：MP(L) f(dQ(L), dL)3516L3L2(2)首先需要确定生产要素L 投入量的合理区间。在生产要素L 投入量的合理区间的左端，有 APMP，于是，

11、有 358LL2 3516L3L2。解得 L0 和 L4。 L0 不合理，舍去，故取L4。在生产要素L 投入量的合理区间的右端，有MP0，于是，有3516L3L20。解得 Lf(5,3)和 L7。Lf(5,3)不合理，舍去，故取L7。由此可得，生产要素L 投入量的合理区间为4,7 。因此，企业对生产要素L 的使用量为 6 是处于短期生产的合理区间的。7.假设生产函数Q 3L0.8K0.2。试问：(1)该生产函数是否为齐次生产函数？(2)如果根据欧拉分配定理，生产要素L 和 K 都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？解答： (1)因为f( L ，K) 3(L)0.8( K)0

12、.20.80.23L0.8K0.23L0.8K0.2f(L，K) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。(2)因为MPLf(dQ,dL)2.4L0.2K0.2MPKf(dQ,dK) 0.6L0.8K0.8所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为MPL LMPK K2.4L0.2K0.2 L 0.6L0.8K0.8 K 2.4L0.8K0.20.6L0.8K0.23L0.8K0.2可见， 对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧

13、拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。8.假设生产函数Q min5L,2K 。(1)作出 Q50 时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答： (1)生产函数Qmin5 L,2K 是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图42所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K/L5/2。图 42当产量 Q50 时，有 5L2K50，即 L10，K25。相应的Q50 的等产量曲线如图 42 所示。(2)由于该生产函数为固定投入比例，即L 与 K 之间没有替代关系，所以，边际技术替代率 MRTSLK0。(3) 因为 Qf(

14、L ，K)min5L,2K f( L ，K) min5L ,2K min5L,2K 所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。9.已知柯布道格拉斯生产函数为Q ALK。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答： 因为Qf(L ， K)ALK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆f( L ，K) A(L)( K)ALK所以当 1时，该生产函数为规模报酬递增；当 1 时，该生产函数为规模报酬不变；当 1时，该生产函数为规模报酬递减。10. 已知生产函数为(a)Q5Lf(1,3)Kf(

15、2,3)；(b)Qf(KL,K L)；(c)QKL2；(d)Qmin3L ， K 。求： (1)厂商长期生产的扩展线方程。(2)当 PL1， PK1，Q 1 000 时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答： (1)(a)关于生产函数Q5Lf(1,3)Kf(2,3)。MPLf(5,3)Lf(2,3)Kf(2,3)MPKf(10,3)Lf(1,3)Kf(1,3)由最优要素组合的均衡条件f(MPL,MPK)f(PL,PK)，可得eq f(5,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3),eq f(10,3)Leq f(1,3)Kf(1,3)f(PL,PK)整理得f(K,2L)f(PL,PK)即厂商

16、长期生产的扩展线方程为Kblc(rc)(avs4alco1(f(2PL,PK)L (b)关于生产函数Qf(KL,K L)。MPLf(K(K L)KL,(K L)2)f(K2,(KL)2)MPKf(L(K L)KL,(K L)2)f(L2,(K L)2)由最优要素组合的均衡条件f(MPL,MPK)f(PL,PK)，可得f(K2/(KL)2,L2/(K L)2)f(PL,PK)整理得f(K2,L2)f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为Kblc(rc)(avs4alco1(f(PL,PK)f(1,2) L (c)关于生产函数QKL2。MPL2KL MPKL2精选学习资料 - - - - -

17、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆由最优要素组合的均衡条件f(MPL,MPK)f(PL,PK)，可得f(2KL,L2)f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为Kblc(rc)(avs4alco1(f(PL,2PK)L (d)关于生产函数Qmin(3L， K)。由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K3L。(2)(a)关于生产函数Q5Lf(1,3)Kf(2,3)。当PL 1 ， PK 1 ， Q 1 000时 ， 由 其 扩 展 线 方 程K eq bl

18、c(rc)(avs4alco1(f(2PL,PK)L 得K2L 代入生产函数Q5Lf(1,3)Kf(2,3)得5Lf(1,3)(2L)f(2,3) 1 000 于是，有 Lf(200,r(3,4)，Kf(400,r(3,4)。(b)关于生产函数Qf(KL,K L)。当PL 1 ， PK 1 ， Q 1 000时 ， 由 其 扩 展 线 方 程K eq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,PK)f(1,2)L 得KL 代入生产函数Qf(KL,K L)，得f(L2,L L)1 000 于是，有 L2 000，K2 000。(c)关于生产函数QKL2。当PL 1 ， PK 1 ， Q 1

19、000时 ， 由 其 扩 展 线 方 程K eq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,2PK)L 得Kf(1,2)L 代入生产函数QKL2，得blc(rc)(avs4alco1(f(L,2) L21 000 于是，有 L10r(3,2)，K5r(3,2)。(d)关于生产函数Qmin3L ， K 。当 PL1，PK1，Q1 000 时，将其扩展线方程K3L ，代入生产函数，得K3L1 000 于是，有 K1 000，Lf(1 000,3)。11. 已知生产函数QAL1/3K2/3。判断： (1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？精选学习资料 - - - - - - -

20、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答： (1)因为 Qf(L ， K) ALf(1,3)Kf(2,3)， 于是有f( L ，K) A(L)f(1,3)( K)f(2,3)Af(1,3)eq f(2,3)Lf(1,3)Kf(2,3)ALf(1,3)Kf(2,3)f(L，K) 所以，生产函数Q ALeq f(1,3)Keq f(2,3)属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以o(K,sup6( )表示；而劳动投入量可变，以L 表示。对于生产函数

21、QALf(1,3)o(K,sup6( )f(2,3)，有MPLf(1,3)AL f(2,3)o(K,sup6( )f(2,3)且eq f(dMPL,dL) eq f(2,9)AL eq f(5,3)eq o(K,sup6( )f(2,3)0 这表明： 在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以o(L,sup6( )表示；而资本投入量可变，以K 表示。对于生产函数QAo(L,sup6( )f(1,3)Kf(2,3)，有MPKf(2,3)Ao(L,sup6( )f(1,3)Kf(1,3)且eq f(dM

22、PK,dK)eq f(2,9)Aeq o(L,sup6( )eq f(1,3)Kf(4,3)0 这表明： 在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。12. 令生产函数f(L ， K)01(LK)f(1,2)2K3L，其中0 i1，i0,1,2,3。(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解答： (1)根据规模报酬不变的定义f( L ，K) f(L， K)( 0) 于是有f( L ，K) 01( L)

23、( K)f(1,2) 2( K) 3( L)01(LK)f(1,2)2K3L 01(LK)f(1,2)2K3L (1 ) 0 f(L，K) (1 ) 0由上式可见，当00 时，对于任何的 0，有 f( L ， K) f(L， K)成立，即当00 时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)在规模报酬不变，即00 时，生产函数可以写成f(L ，K) 1(LK)f(1,2)2K3L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆相应地，劳动与资本的边际产量分别为MPL(L，K) f(?f(L ，K),?

24、L)f(1,2)1Lf(1,2)Kf(1,2)3MPK(L，K) f(?f(L ，K),?K)f(1,2)1Lf(1,2)Kf(1,2)2而且有f(?MPL(L，K), ?L)f(?2f(L ，K),?L2)f(1,4)1Lf(3,2)Kf(1,2)f(?MPK(L，K),?K)f(?2f(L ，K),?K2)f(1,4)1Lf(1,2)Kf(3,2)显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。13. 已知某企业的生产函数为QLf(2,3)Kf(1,3)，劳动的价格w2，资本的价格r 1。求：(1)当成本 C 3 000 时，企业实现最大产量时的L、K 和 Q 的均衡值。(2)当产量 Q 800 时

25、，企业实现最小成本时的L、 K 和 C 的均衡值。解答： (1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件f(MPL,MPK)f(w,r)其中MPLf(dQ,dL)f(2,3)Lf(1,3)Kf(1,3)MPKf(dQ,dK)f(1,3)Lf(2,3)Kf(2,3)w2r1 于是有eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3),eq f(1,3)Leq f(2,3)Kf(2,3)f(2,1)整理得f(K,L)f(1,1)即KL 再将 KL 代入约束条件2L1 K 3 000，有2LL3 000 解得L*1 000 且有K* 1 000 将 L*K*1 000 代入生产函数，求得

26、最大的产量Q*(L*)f(2,3)(K*)f(1,3)1 000f(2,3)f(1,3) 1 000 本题的计算结果表示：在成本C3 000 时，厂商以L*1 000，K*1 000 进行生产所达到的最大产量为Q*1 000。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。o(max,sdo4(L ，K)Lf(2,3)Kf(1,3)s.t.2L1 K 3 000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆L(L，K， )Lf(2,3)Kf(1,3) (3 000 2LK) 将拉格朗日函数分别对L、K

27、 和 求偏导，得极值的一阶条件f(?L,?L)f(2,3)Lf(1,3)Kf(1,3) 2 0(1) f(?L,?K)f(1,3)Lf(2,3)Kf(2,3) 0(2) f(?L,? )3 0002LK0(3) 由式 (1)、式 (2)可得f(K,L )f(1,1)即KL将 KL 代入约束条件即式(3)，可得3 000 2LL0 解得L*1 000 且有K* 1 000 再将 L*K* 1 000 代入目标函数即生产函数，得最大产量Q*(L*)f(2,3)(K*)f(1,3)1 000f(2 ,3)f(1,3) 1 000 在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。(2)根据厂商实现给定产量条件下成

28、本最小化的均衡条件f(MPL,MPK)f(w,r)其中MPLf(dQ,dL)f(2 ,3)Lf(1,3)Kf(1,3)MPKf(dQ,dK)f(1,3)Lf(2,3)Kf(2,3)w2r1 于是有eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3),eq f(1,3)Leq f(2,3)Kf(2,3)f(2,1)整理得f(K,L)f(1,1)即KL再将 KL 代入约束条件Lf(2,3)Kf(1,3) 800，有Lf(2,3)Lf(1,3)800 解得L*800 且有K* 800 将 L*K*800 代入成本方程2L1 KC，求得最小成本C*2 8001 8002 400 本题的计算结果表

29、示：在Q800 时，厂商以L*800，K*800 进行生产的最小成本为 C*2 400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆mio(n,sdo4(L，K)2LKs.t.Lf(2,3)Kf(1,3)800 L(L，K， )2LK (800Lf(2 ,3)Kf(1 ,3) 将拉格朗日函数分别对L、K 和 求偏导，得极值的一阶条件f(?L,?L)2f(2,3)L f(1,3)Kf(1,3)0(1) f(?L,?K)1f(1,3)Lf(2 ,3)Kf(2

30、,3)0(2) f(?L,? )800 Lf(2 ,3)Kf(1,3)0(3) 由式 (1)、式 (2)可得f(K,L )f(1,1)即KL将 KL 代入约束条件即式(3)，有800Lf(2,3)Lf(1,3)0 解得L800 且有K800 再将 L*K* 800 代入目标函数即成本等式，得最小的成本C 2L1 K2 8001 8002 400 在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。图 43 解答： 以图 43 为例，要点如下：(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图43 中，只有一条等成本线AB；此外，有三条等产量

31、曲线Q1、 Q2和 Q3以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。(2)在约束条件即等成本线AB 给定的条件下， 先看等产量曲线Q3，该曲线处于AB 线以外，与AB 线既无交点又无切点，所以，等产量曲线Q3表示的产量过大，既定的等成本线AB 不可能实现Q3的产量。再看等产量曲线Q1，它与既定的AB 线交于 a、b 两点。在这种情况下，厂商只要从a 点出发，沿着AB 线往下向E点靠拢，或者从b 点出发，沿着AB 线往上向E 点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在等成本线AB 与等产量曲线Q2的相切处E 点，实现最大的产量。由此可得，厂商实现既定成本条

32、件下产量最大化的均衡条件是MRTSLKeq f(w,r)，且整理可得f(MPL,w)f(MPK,r)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学而不思则惘，思而不学则殆图 44 15. 画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。解答： 以图 44 为例，要点如下：(1)由于本题的约束条件是既定的产量，所以， 在图 44 中，只有一条等产量曲线eq o(Q,sup6()；此外，有三条等成本线AB、AB和 A B 以供分析，并从中找出相应的最小成本。(2)在约束条件即等产量曲线o(Q,sup6( )给

33、定的条件下，先看等成本线AB，该线处于等产量曲线eq o(Q,sup6()以下，与等产量曲线eq o(Q,sup6( )既无交点又无切点，所以，等成本线AB 所代表的成本过小，它不可能生产既定产量eq o(Q,sup6()。再看等成本线A B ，它与既定的等产量曲线交于a、b 两点。在这种情况下，厂商只要从a 点出发，沿着等产量曲线o(Q,sup6()往下向 E 点靠拢，或者，从 b 点出发，沿着等产量曲线o(Q,sup6( )往上向 E 点靠拢，就都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线o(Q,sup6()与等成本线AB的相切处E 点，实现最小的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTSLKf(w,r)，且整理可得eq f(MPL,w)f(MPK,r)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页