2022年天津市高三数学总复习之综合专题离散型随机变量分布列 .pdf

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1、学习必备欢迎下载离散型随机变量分布列1、耗用子弹数的分布列例：某射手有 5 发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。分析：确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得。解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列。 我们知道只有 5 发子弹，所以的取值只有 1、2、3、4、5。当1时，即9.0)1(P；当2时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(P；同理，3时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2P；类似地，0009.09 .01 .0)4(3P；第 5 次射击不同，只要前四次射不中

2、，都要射第5 发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(P，所以耗用子弹数的分布列为：2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例：如果在一次试验中，某事件A发生的概率为 P ，那么在 n 次独立重复试验中，这件事A发生偶数次的概率为。分析：发生事件 P的次数pnB,，所以，),2, 1 ,0,1( ,)(nkpqqpCkpknkkn其中的k取偶数 0，2，4，.时，为二项式nqp)(展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论。解：由题，因为pnB,且取不同值时事件互斥，所以，nnnnnnnnnppqpqqpCqpCqpCPPPP)21 (121)()(21)4() 2() 0(44422200精选

3、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载（因为1qp，所以ppq21）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住npq)(与npq)(展开式的特点：联系与区分，从而达到去除P 奇次，留下 P 偶次的目的。3、根据分布列求随机变量组合的分布列例：已知随机变量的分布列为分别求出随机变量221,21的分布列。解：由于211对于不同的有不同的取值x y 21，即2321,121,2121,021,2121, 121665544332211x y x y x y x y x y x y ，所以1的分布列为22对于

4、的不同取值 2，2 及1，1，2分别取相同的值 4 与 1，即2取 4 这个值的概率应是取2 与 2 值的概率121与122合并的结果，2取 1 这个值的概率就是取1 与 1 值的概率123与121合并的结果，故2的分布列为：说明：在得到的1或2的分布列中，1或2的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1。4、成功咨询人数的分布列例：某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班 3 名同学商定明天分别就同一问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载询问该服务中心。且每人只拨打一次，

5、求他们中成功咨询的人数的分布列。分析： 3 个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布。解：由题：43,3 B，所以3, 2, 1 ,0,4143)(33kCkPkkk，分布列为说明：关键是理解二项分布的特点，即某同一事件，在n 次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量。5、盒中球上标数于5 关系的概率分布列例：盒中装有大小相等的球10 个，编号分别为 0，1，2，.，9，从中任取 1 个，观察号码是“小于 5” 、“等于 5” 、 “大于 5”三类情况之一。规定一个随机变量，并求其概率分布列。分析：要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的

6、概率。解：分别用321,x x x 表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于 5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于 5”的情况。设随机变量为，它可能取的值为,321x x x 取每个值的概率为P x P )(1（取出的球号码小于5）105；P x P )(2（取出的球号码等于5）101；P x P )(3（取出的球号码大于5）104；故的分布列为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载小结：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我

7、们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11niip进行检验。6、求随机变量的分布列例：一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取 3 只，以表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量的分布列。分析：由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是 3，4，5，可以利用组合的方法计算其概率。解：随机变量的取值为 3、4、5。当3 时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1、2，故有;101C C ) 3(3523P 当4 时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1、2、3 的 3球中取2

8、 个，故有;103C C )4(3523P 当5 时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4 的 4 球中取 2 个，故有.53106C C )5(3523P 因此，的分布列为：说明：对于随机变量取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程。7、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载例：一批零件中有9 个合格品与 3 个不合格品。安装机器时，从这批零件中任取一个。如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出

9、的不合格品数的分布列。分析：取出不合格品数的可能值是0、1、2、3，从而确定确定随机变量的可能值。解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是 0、1、2、3。当0 时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(P 当1 时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(P 当2 时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(P 当3 时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(P 所以的

10、分布列为：说明：一般分布列的求法分三步： （1）首先确定随机变量的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率； （3）列表对应，即为分布列。8、关于取球的随机变量的值和概率例：袋中有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，现从中任取一球观察其颜色。确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率。分析：随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成。解： 设集合,321x x x M ，其中1x 为“取到的球为红色的球” ，2x 为“取到的球为白色的球” ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名

11、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载3x 为“取到的球为黑色的球” 。我们规定：)3,2, 1()(i i x i ，即当i x x 时，i x )(，这样，我们确定)(x 就是一个随机变量，它的自变是量x 取值不是一个实数，而是集合M 中的一个元素，即M x ，而随机变量本身的取值则为1、2、3 三个实数，并且我们很容易求得分别取 1、2、3 三个值的概率，即.2163)3(,3162)2(,61)1(P P P 说明：确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页