2022年高中数学-人教A版--第二章知识点总结 .pdf

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1、名师总结精品知识点年级高一学科数学版本人教新课标A 版课程标题必修 2 第二章第 1节 空间点、直线、平面之间的位置关系编稿老师一校二校审核一、学习目标：1. 掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质、作用及公理1-3；2. 了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用3. 了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系。二、重点、难点：重点：平面的概念及表示；平面的基本性质，公理1-3 中的图形语言及符号语言；异面直线的概念；公理4 及等角定理；空间直线与平面、平面与平面之间的位置

2、关系难点：平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系三、考点分析：考纲对这部分知识的要求是：理解空间点、 直线和平面的位置关系，掌握平面的基本特性，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。在考试中对点、线、面位置关系的考查经常出现在选择题中，求异面直线所成的角经常出现在选择题和解答题中。1. 平面的含义、画法及表示2. 点和面的位置关系点 A 在平面 内，记作： A 点 B 在平面 外，记作： B3. 公理 13 （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

3、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 36 页名师总结精品知识点符号语言表示为：AlBllABlBA公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面符号语言表示为：A、B、C 三点不共线有且只有一个平面 ，使 A 、B 、C 公理 2 作用：确定一个平面的依据推论 1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。推论 2：过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3：过两条平行直线，有且只有一个平面。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号语言表示为：P = l 且 Pl公理 3 作用：判定两个

4、平面是否相交的依据4. 空间中的两条直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点5. 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：设a、 b、c 是三条直线cabcba/公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据6. 异面直线所成的角（1）已知异面直线a、b，经过空间中任一点O 作直线aa、bb，我们把a与 b所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与 b 所成的角（夹角） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 36 页名师总结精品知识点（2）注意： a与 b所成的角的大小只由a、b 的相互位置关系来确定，与

5、O 点的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0，2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角7. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线与平面平行没有公共点直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示aa =A a 8. 两个平面的位置关系（1）两个平面平行 没有公共点（2）两个平面相交有且只有一条公共直线用类比的方法， 可使学

6、生快速地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形语言表示为l = l 知识点一：确定平面例 1. 空间四点可以确定几个平面？三条直线两两相交可确定几个平面？空间四条平行直线可以确定几个平面？一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定多少个平面？思路分析 ：利用公理2 可以解决确定平面的问题解答过程： 1. 空间四点可以确定0 个、 1 个、 4 个平面。三点确定一个平面，讨论第四个点是否在平面上。2. 三条直线两两相交可确定1 个或 3 个平面。3. 空间四条平行直线可以确定1 个、 4 个、 6 个平面。4. 一条直线和直线外不在同一条直线上的三点可确定1 个、 3 个、 4 个平面。解题后

7、的思考：对于空间中点、线的位置关系要全面分析，不要遗漏。知识点二：点、线共面例 2. 如图，正方体ABCD 1111DCBA中 E、F 为1AA、1CC中点。求证：1D、E、F、B 四点共面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 36 页名师总结精品知识点思路分析 ：利用公理1 和 2 可解决点共面的问题，从而解决确定平面的问题。解答过程： 连接ED1交 DA 延长线于M E 为AA1中点 MA=AD 同理，连接FD1交 DC 延长线于N，CN=CD 正方体 ABCD 1111DCBA MA=AB=BC=CN 45MBA，90

8、ABC，45CBN180MBN M、 B、N 三点共线llD1，1D、l确定平面D1、E、M、B、N、F 六点共面，从而 D1、E、F、 B 四点共面解题后的思考：将几个公理结合起来使用是解决问题的关键例 3. 如图，正方体1111DCBAABCD，E、 F、G、H、 M、N 为各棱中点， 求证：EFGHMN为正六边形。AFBEDNHGMCA1D1C1B1思路分析 ：要想证明EFGHMN 为正六边形，首先应解决这些点共面的问题解答过程： 显然 EF=FG=GH=HM=MN=NE E、F为棱 AD 、AB 中点， EF/BD 11/ DDBB1111/DBBDDDBBBDNGBBDDGNDBBD

9、/1111中点、为棱、 EF/NG ，确定平面同理， FG/EH，确定平面与有三个不在同一条直线上的三点E、F、G 、重合 E、F、G、H、N 五点共面同理 E、F、G、H、M、N 六点共面且 EF/MH 、FG/NM 、EN/GH 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 36 页名师总结精品知识点 EFGHMN 是正六边形解题后的思考：证明共面问题有以下两个方法：（1）先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上（2）先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合例 4. 如图所示， ABCD A1B1C1D1是正方体，

10、画出图中阴影部分的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明。思路分析： 确定两个平面的交线，就是找两个平面的两个公共点，本题中已经给出一个公共点，只需利用分别在两个平面内且相交的直线来确定另一个交点。解答过程： 如图，过点 E 作 ENCD 于点 N，连结 NB 并延长， 交 EF 的延长线于点M，连结 AM ，因为直线EN/BF ，所以 B、N、E、F 四点共面。因此 EF 与 BN 相交，交点为M，因为EFM，且NBM，而EF平面 AEF，NB平面 ABCD ，所以 M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点，又因为点 A 是平面 AEF 和平面 ABCD 的公共点，所以 AM 为这两平

11、面的交线。知识点三：异面直线所成的角例 5. 正方体1111DCBAABCD的棱长为a，对角线CA1长为a3。求：异面直线1BA与1CC所成的角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 36 页名师总结精品知识点异面直线BA1与CB1所成的角。异面直线BA1与1AC所成的角。M、N 为11CD、11BC中点， MN 与 AC 所成角。H 为 BC 中点，HC1与BD1所成角的余弦值。思路分析 ：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解解答过程： 11/ CCBB1BA与1BB所成锐角即为两条异面直线所成的角4511BBA。

12、DACB11/，BDA1为等边三角形BA1与CB1所成的角为60延长 DC 至 E 使 CE=CD ，ECCDBA111/1AEC中，aCAAC311，aEC21，ADERt中， DE=a2，AD=a AEa5，由余弦定理901EACMN/BD BDAC所成角为90F 为 AD 中点，FDHC11/，FBD1中，aBD31，aFD251aBF25，BDFDBFBDFDBFD112212112cosaaaaa253245453222515153 所成角的余弦值为515解题后的思考： “平移找角” ， “补形法”是求异面直线所成角的基本方法例 6. 四面体 ABCD ，棱长均为a（正四面体）求 A

13、C 、BD 所成的角。E、 F 为 BC、AD 中点，求AE、CF 所成角的余弦值。思路分析 ：利用异面直线的定义，构造三角形利用余弦定理求解解答过程： H 为 CD 中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 36 页名师总结精品知识点EH/BD ， EH=2a，FH/AC 2aFH，EHF为两条异面直线AC、 BD 所成角或其补角0cos EHF90EHFK 为 DE 中点，连结FK，FK/AE CF 与 FK 所夹锐角为异面直线AE、CF 所成角aCF23，aAEFK4321aEKCECK47223243232167163

14、43cos2222aaaaCFK 所成角的余弦值为32解题后的思考：在封闭几何体中求异面直线所成角，经常利用中位线的平行关系进行平移找角。一、预习新知请同学们预习必修 2 第二章第 2 节 直线、平面平行的判定及其性质二、预习点拨通过预习，请回答下列问题：1. 直线与平面平行的判定定理，两个平面平行的判定定理的内容是什么？2. 直线与平面平行的性质定理，两个平面平行的性质定理的内容是什么？（答题时间： 50分钟）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 36 页名师总结精品知识点一、选择题：1. 已知,为平面， A、B、M、 N

15、为点， a 为直线，下列推理错误的是（）A. aBaBAaA,B. MNNNMM,C. AAA,D. 重合、不共线、，且、MBAMBAMBA,2. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，已知棱长为a，则异面直线A1B 与 B1C 所成角的大小为（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 3. 设 P是异面直线a、b 外的一点，则过P 点且与 a、b 都平行的平面（）A. 有且只有一个B. 恰有两个C. 没有或只有一个D. 有无数个4. 若三个平面把空间分成6 个部分，那么这三个平面的位置关系是（）A. 三个平面共线B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交C. 三个平面共线，或两个平面平

16、行且都与第三个平面相交D. 三个平面两两相交二、填空题：5. 用符号语言表示下列语句：（1）点 A 在平面内，但在平面外；（2）直线 a 经过平面外一点 M ；（3）直线 a 在平面内，又在平面内，即平面和相交于直线a 。6.分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是7. 在四面体A-BCD 中， AD=BC ，且BCAD，E，F 分别是 AB，CD 的中点，则EF与 BC 所成的角为三、解答题：8. 证明：已知ba/c/，Ala，Blb，Clc，求证：cba、l、四线共面。9. 正方体1AC中， E、F 为 AB 、BB1中点，求EA1、FC1所成的角的余弦值。精选学习资料 - - -

17、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 36 页名师总结精品知识点一、选择题：1. C 解析：选项A 反映的是公理1，选项 B 反映的是公理3，选项 D 反映的是两平面重合的条件，选项C 中与相交，点 A 在交线上，故选项C 表述错误。2. C 解析：如图，连接A1D，BD， A1D/B1C， BA1D 为所求，在A1DB 中，A1D=BD=A1B， DA1B=60 。3. C 解析：设点P 与直线 a 确定的平面为，当 b 平行于 a时，过点P 且与 a、b 都平行的平面不存在；当b 不平行于a时，过点P 且与 a、b 都平行的平面有且只有一个。4.

18、C二、填空题：5. （1）AA且（2）aMM,（3）aaa，即且6. 相交或异面7. 解析：如图所示，取BD 的中点 G，连接 EG，GF，则 EFG 为异面直线EF 与 BC 所成的角。因为BCADGFEGBCADBCGFADEG。因为，所以且,21,21，EG/AD ，GF/BC ，所以 EGGF，所以 EGF 为等腰直角三角形，所以EFG=45 。三、解答题：8. 证明：ba/确定平面A、Bl，bcb/确定平面同理lbBlb过两条相交直线l、b有且仅有一个平面、重合cba、l、四线共面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共

19、 36 页名师总结精品知识点9. 证明： H 在11BA上，11141BAHBM 为11BA中点HFBMEA/1HF 与FC1所成角等于异面直线EA1、FC1所成的角设棱长为aaHFaFC45,251aHC4171FHC1中，52cos1FHCEA1、FC1所成角的余弦值为52精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 36 页名师总结精品知识点年级高一学科数学版本人教新课标A 版课程标题必修 2 第二章第 2节 直线、平面平行的判定及其性质编稿老师一校二校审核一、学习目标：1. 理解并掌握直线与平面平行的判定定理；理解并掌握两平

20、面平行的判定定理2. 掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；掌握两个平面平行的性质定理及其应用二、重点、难点：重点： 直线与平面平行的判定定理及其应用；两个平面平行的判定；直线与平面平行的性质定理及其应用；两个平面平行的性质定理。难点：线面平行的判定定理和性质定理的应用。三、考点分析：立体几何中的平行关系是一种很重要的关系，在高考中的选择题、 填空题几乎每年都考，难度适中。解答题以多面体为载体往往与其他考点考察，以中档题为主。1. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行简记为：线线平行，则线面平行符号表示：/abaab2. 两个平面平行的判定定理

21、：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 36 页名师总结精品知识点/ababPab推论 1. /,/,/QbaPbabababbaa推论 2. /3. 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简记为：线面平行，则线线平行符号表示：/aaabb作用：利用该定理可解决直线间的平行问题4. 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号表示：/aabb作用：可以由平面与

22、平面平行得出直线与直线平行。推论：/aa知识点一：线面平行的判定例 1. 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 M 是棱 DD1的中点。求证：BD1/面MAC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 36 页名师总结精品知识点思路分析 ：利用线面平行的判定定理“线线平行，则线面平行”进行解答。解答过程：证明：设直线AC 与 BD 交于点 N，连结 MN 。则在 BDD1中，因为M，N 分别为边DD1，BD 的中点，所以 MN/BD1。又直线 MN面 MAC ，BD1面 MAC ，所以 BD1/面 MAC 。解题

23、后的思考：要证线面平行，可先证线线平行，这是解决此类问题的基本思想。同时，在使用线面平行的判定定理时，要特别注意一个细节：在说明或证明的过程中务必要体现一个“内”，一个“外”，此点亦是定理的核心所在。例 2. 如图，两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB ，FBNACM,，且 AM=FN ，求证： MN/ 面 BCE。思路分析 ：利用线面平行的判定定理，在平面BCE 中找到与MN 平行的直线，进而求证。解答过程： 证明：作MG BC 于 G， NQBE 于 Q，连结 GQ，则 MG/AB ， NQ/AB MG/NQ BFBNEFNQCACMABMG,而BNFNBFAMACC

24、MEFNQABMG MG=NQ 四边形MGQN 为平行四边形MN/GQ MN面 BCE，GQ面 BCE MN/ 面 BCE 解题后的思考：证明线面平行可以通过“过线作面找交线”， “线线平行，则线面平行”的方法、定理来解决。知识点二：线面平行的性质例 3. 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 36 页名师总结精品知识点思路分析 ：可以考虑用线面平行的性质定理来证明线线平行。解答过程：已知：l，/,/aa，求证：la/证明：过a作面交面于b/aba/同理，

25、过a作c/aca/cb/又cb,/b又面过b交于llb/ba/la/解题后的思考：可利用“线面平行，则线线平行”的判定定理来解答。知识点三：面面平行的判定例 4. 如图所示，点P 是 ABC 所在平面外一点，A 、B 、C 分别是 PBC、 PCA、PAB 的重心，求证：（1）平面 ABC/平面 ABC 。（2）AB=31AB 。思路分析 ：由三角形重心易联想到三角形的中线交点，且交点分中线的比为2:1，在图中取AB 、BC、CA 的中点 M、N、Q，连结后即可证明。解答过程：证明：（ 1）如上图所示，取AB 、BC、CA 的中点 M、N、Q，连结 PM、PN、PQ、MN 、NQ、QM ，由

26、A 、B 、C 为 PBC、 PCA、 PAB 的重心，A 、B 、C 分别在 PN、PQ、PM 上，且3:2:PQBPPNAPPMCP。在 PMN 中，32PNAPPMCP，MNCA/。A C 平面 ABC ，MN平面 ABC 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 36 页名师总结精品知识点A C/平面 ABC 。A C/MN 。A C 平面 ABC ，MN平面 ABC 。A C/平面 ABC 。同理， AB/平面 ABC 。ACABA，平面 A 、 B 、C /平面 ABC 。（2）由（ 1）知31,21,32ABBA

27、ABQNQNBA。解题后的思考：利用三角形重心的性质可得线段成比例，从而可以得到线线平行，由线线平行可推得线面平行，从而推得面面平行，要理解并掌握三者之间的紧密联系、相互转化。例 5. 如图 1，在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中， AB 的中点为 P，在线段 AP 上取一点 M 作与面 PB1C 平行的截面，此截面可能是平行四边形吗？若是，求出这个平行四边形的面积；若不是，请说明理由。思路分析： “在线段 AP 上取一点M 作与面 PB1C 平行的截面”如何作？其实，就是分别作 PC 与 PB1的平行线，这两条线会与DC， A1B1都相交，但过这两条线作平面会是一个什么样的平面

28、呢？并非一目了然，需要同学们有较好的空间想象能力。解答过程：固定：取面PB1C。运动：将面PB1C 向后平行移动，显然出现三种情况：（1）当 M 与 P重合时为三角形，如图2。（2）当 M 在 A， P 之间时所作的平面为五边形，如图3。（3）当 M 与 A 重合时，截面AEC1F 为平行四边形，如图4。结合勾股定理，易得此平行四边形为菱形，且两对角线长分别为22与32，故平行四边形AEC1F 的面积为62322221。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 36 页名师总结精品知识点解题后的思考： 运用运动的观点解决问题，可

29、以加深对问题的理解，对解决问题很有帮助。知识点四：面面平行的性质例 6. 一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N 分别是 AF，BC 的中点），求证： MN/ 平面 CDEF，并且求多面体的体积。思路分析 ：证明线面平行可以考虑利用面面平行的性质，过MN 作出与面CDEF 平行的平面。解答过程：由 三 视 图 可 知 ， 该 多 面 体 是 底 面 为 直 角 三 角 形 的 直 三 棱 柱ADE BCF ， 且AB=BC=BF=2 ，DE=CF=22，且 CBF=90。（1）取 BF 的中点 G，由 M，N 分别为 AF，BC 的中点可得， NG/CF ，MG/EF ，所以面 MNG

30、/ 面 CDEF ，所以 MN/ 平面 CDEF。（2）由分析知，422221V。解题后的思考：从高考中出现的试题看，将三视图与传统题目结合起来考查是高考的热点内容之一，其中对三视图的考查有加深的趋势。例 7. 如图，正四棱锥SABCD 的底面边长为a，侧棱长为2a，点 P、Q 分别在 BD 和SC 上，并且BPPD12，PQ平面 SAD ，求线段PQ 的长。思路分析 ：要求出 PQ 的长，一般需设法构造三角形，使PQ 为其一边，然后通过解三角形的办法来处理。解答过程：作 PMAD 交 CD 于 M，连结 QM ， PM平面 SAD ，PQ平面 SAD 。平面 PQM 平面 SAD，而平面SC

31、D 分别与此两平行平面相交于QM，SD。QMSD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 36 页名师总结精品知识点BCa，SD2a. PDBP21. BCMPBDPD32， MP32a，SDMQCDMCBDBP31。MQ31SD32a，又 PMQ ADS 。cosPMQcosADS aa22141。在 PMQ中由余弦定理得PQ2(32a)2+(32a)2232a32a4196a2。PQ36a。解题后的思考： 解答本题的关键是灵活运用面面平行的判定和性质，结合平行线截成线段比例的定理，最后由余弦定理求得结果。本题的综合性较强

32、。直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面的性质在应用时，要特别注意：“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线的”的错误结论。一、预习新知请同学们预习必修2 第二章第 3节 直线、平面垂直的判定及其性质二、预习点拨通过预习，请同学们回答下列问题：1. 直线和平面垂直的定义及判定定理的内容是什么？什么是直线和平面所成角？2. “二面角”、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直”的概念是什么？两个平面垂直的判定定理的内容是什么？（答题时间： 40分钟）一、选择题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

33、 - - - - - - -第 17 页，共 36 页名师总结精品知识点1. 有以下三个命题，其中正确的命题是（）若直线a与平面相交，则内不存在与a平行的直线；若直线b/平面，a与直线b垂直，则直线a不可能与平行；直线a，b满足/a，且b，则a平行于经过b的任何平面。A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 同时与两条异面直线平行的平面有无数多个C. 如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D. 直线l不在平面内，则/l3. 若平面/平面，直线a，点B，过点 B 的所有直线中（）A. 不一定存在与a平行的直线B. 只有两条与a

34、平行的直线C. 存在无数条与a平行的直线D. 有且只有一条与a平行的直线4. 设/，A，B，C 是 AB 的中点，当A、B 分别在平面、内运动时，那么所有的动点C（）A. 不共面B. 当且仅当 A、B 分别在两条直线上移动时才共面C. 当且仅当 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D. 不论 A、B 如何移动，都共面二、填空题：5. 正方体 ABCD A1B1C1D1中，与 AC 平行且过正方体三个顶点的截面有_个。6. a，b，c是三条直线，是两个平面， 如果cba/，a，b，c，那么平面与平面的位置关系是 _。7. 对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都平行于平

35、面；内有不共线的三点到平面的距离相等；存在异面直线l、m，使得/,/,/,/mmll。其中可以判断两个平面与平行的条件有_。8. 已知平面/，两条直线l，m分别与平面，相交于点A，B， C，和D，E，F，已知52, 6DFDEAB，则 AC=_ 。三、解答题：9. 长方体1111DCBAABCD中， 如下图，点MBAPABBP11,，NBCPC1求证： MN/ 平面 ABCD 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 36 页名师总结精品知识点10. 如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，求证：平面AB1D1/平面 BD

36、C1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 36 页名师总结精品知识点一、选择题：1. D 解析：正确，若内存在a，且aa /，则/a，这和a与相交矛盾，错误，a与可能平行， 错误， 当ba/时，a可能在过b的平面内， 当a与b不平行时，a与过b的任何平面都不平行。2. B 解析：平行于同一平面的两条直线有三种位置关系，故 A 错；当直线与平面相交时，直线上有无数点在平面外，故C 错；直线l不在平面内时，l可能与平行，也可能相交，故 D 错。3. D 4. D 解析：如图，BA 、分别是 A、B 两点在、上运动后的两点，此时

37、AB 中点变成BA中点C，连结BA，取BA中点 E，连结 CE、EC、AA、BB。则 CE/AA， CE/。EC/BB，EC/。又/，EC/。ECEEC，平面ECC/平面。CC/。所以不论A、B 如何移动，所有的动点C 都在过 C 点且与、平行的平面上。二、填空题：5. 2 解析： AC/A1C1， AC/ 面 BA1C1，AC/ 面 DA1C1，符合题意的平面共2 个。6. 平行或相交7. 解析：若与相交，如图，可在内找到A、B、C 三个点到平面的距离相等，所以排除。容易证明都是正确的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共

38、 36 页名师总结精品知识点8. 15 解析：/，EFDEBCAB。由52DFDE，得32,32BCABEFDE。而 AB=6 ， BC=9 ， AC=AB+BC=15 。三、解答题：9. 证明：连结AC ，A1C1，因为1111DCBAABCD是长方体，所以11/CAAC又因为AC平面11CBA，11CA平面11CBA所以 AC/平面11CBA，又因为AC平面PAC，且平面PAC平面MNCBA11所以ACMN /，因为MN平面 ABCD ，AC平面 ABCD ，所以 MN/ 平面 ABCD 10. 证明 :AB/C1D1，C1D1/A1B1， AD1/BC1AB/A1B1，四边形ABC1D1

39、为平行四边形，又AD1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1， BC1/平面 AB1D1，同理， BD/平面 AB1D1，又 BD BC1B，平面 AB1D1/平面 BDC1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 36 页名师总结精品知识点年级高一学科数学版本人教新课标A 版课程标题必修 2 第二章第 3节 直线、平面垂直的判定及其性质编稿老师一校二校审核一、学习目标：1. 掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理和方法；理解和掌握线面角的概念及求法；2. 理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个

40、平面互相垂直”的概念。3. 掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。二、重点、难点：重点： 直线与平面垂直的定义和判定定理，线面角的概念； 平面与平面垂直的判定及二面角的求法。难点：线面垂直判定定理的证明及线面角、二面角的平面角的求法。三、考点分析：空间中的垂直关系是立体几何的一种重要关系，历年的高考试题中，这部分内容都是命题热点，尤其求线面角、二面角更是热点中的热点，以考查学生的能力为主，内容上综合直线和平面及简单几何体于一体，考查空间的垂直关系。1. 线面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。lbaAbablal,A abl2. 直线与平面所成的角

41、平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。直线与平面所成角2,0l规定为90l或/l规定为0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 36 页名师总结精品知识点l与斜交，为l与其在平面内射影所夹锐角。3. 二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。表示方法：二面角l或AB（2）二面角的平面角：一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则AOB叫做二面角l的平面角。（3）二面角的范

42、围是:1800。当两个半平面重合时0，相交时1800，共面时180。（4）求二面角大小的关键是作出二面角，以下为作二面角的平面角的方法：法一： （定义法） 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线。如图，AOB为二面角a的平面角。法二： （垂面法） 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角。如图，AOB为二面角l的平面角。法三： （垂线法）过二面角一个面内的一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。如图，ABO为二面角l的平面角。4. 面面垂直的判定（1）两个平面相交，如果

43、它们所成的二面角是直二面角，就称这两个平面互相垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 36 页名师总结精品知识点（2）判定定理：ll（3）结论：/ll/5. 面面垂直的性质（1）alaal（2）ll知识点一：线面垂直定义的应用例 1：如图所示，已知在四棱锥ABCDS中，底面ABCD是矩形，SA平面ABCD，过A作SBAE于E，过E作SCEF于F。（1）求证SCAF；（2）若平面AEF交SD于G，求证SDAG。思路分析 ：证明线线垂直， 可利用转化思想先证明线面垂直，再利用线面垂直的定义就可证明线线垂直。解答过程：（1）SA

44、平面ABCD，BC平面ABCD，BCSA。底面ABCD是矩形，ABBC。又ASAAB，BC平面SAB。又AE平面SAB，AEBC。又SBAE，BBCSB，AE平面SBC。又SC平面SBC，SCAE。又SCEF，且EAEEF，SC平面AEF。又AF平面AEF，AFSC。（2）SA平面ABCD，DC平面ABCD，DCSA。又DCAD，AADSA，DC平面SAD。又AG平面SAD，AGDC。由（ 1）有SC平面AEFG，又AG平面AEFG，AGSC。又CDCSC，AG平面SCD。又SD平面SCD，SDAG。解题后的思考：直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质。是判定，指它精选学习资料 -

45、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 36 页名师总结精品知识点是判定直线和平面垂直的方法；是性质， 指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任何一条直线。即“l，ala” 。这是证明线线垂直的一种方法。知识点二：线面垂直的判定例 2： 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，若45PDA。求证：MN平面PCD。思路分析 ：利用线面垂直的判定定理，证明MN 与面内两条相交直线垂直解答过程： 方法一：PA平面ADPAABCD，BCADPAPDA45，又M是AB的中点，PAMRtCBMRtMCM

46、PPCMN。N是PC的中点设E为CD的中点，连结ME、EN，PCDMNMNEMNMNECDENEMECDMENECDNEPDPDCDPADCDCDADCDPA平面平面平面平面/方法二： 如图，取PD的中点F，连结AF、NF，NF、分别为PD、PC的中点，CDFN21/。又ABCD/，ABFN21/，即AMFN/。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 36 页名师总结精品知识点四边形AFNM为平行四边形。AFMN /。PA平面ABCD且45PDA，PAD为等腰直角三角形。PDAF。又ADCD，PACD，CD平面PAD。AFCD

47、。由知AF平面PDC，MN平面PDC。解题后的思考：证明线面垂直的方法：（1）利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面。（2）用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直。（3）利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。（4）用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。（5）用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面。（6）用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面。知识点三：面面垂

48、直例 3： 如图，在正方体1111DCBAABCD中，FE、分别是CDBB、1的中点，求证：平面ADE平面11FDA。思路分析 ：证明两平面垂直，一般是通过判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为一个平面内的一条直线与另一平面的两条相交直线都垂直。解答过程：1111DCBAABCD为正方体，11DDCCAD面。又111DDCCFD面，FDAD1。取AB中点G，连结FGGA、1，F为CD中点，ADFG/。ADDA/11，11/DAFG。FDGA11/。E是1BB中点，AGARt1ABERt。EAGGAA1。901AHA，即AEGA1。AEFD1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名

49、师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 36 页名师总结精品知识点AAEAD，FD1面ADE。又FD1面11FDA，面11FDA面ADE。解题后的思考：在正方体中，作出ADE和11FDA延展以后的截面，是证明该题的关键所在。知识点四：直线和平面所成的角，二面角例4： 如图，在三棱锥ABCP中，ABCPA底面，ABPA，60ABC，90BCA，点D、E分别在棱PB、PC上，且BCDE /。（1）求证：PACBC平面；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值的大小；（3）是否存在点E使得二面角PDEA为直二面角？并说明理由。思路分析 ：先找到线面角和二面角的平面角

50、再进行计算解答过程：（1）ABCPA底面，BCPA。又90BCA，BCAC，PACBC平面。（2）D是PB的中点，BCDE /，BCDE21。又由（ 1）知，PACBC平面，PACDE平面，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角。ABCPA底面，ABPA。又ABPA，ABP为等腰直角三角形，ABAD21。在ABCRt中，60ABC，ABBC21，在ADERt中，422sinADBCADDEDAE。（3）BCDE /，又由（ 1）知，PACBC平面，PACDE平面。又PACAE平面，PACPE平面，AEDE，PEDE，AEP为二面角PDEA的平面角。ABCPA底面，ACPA，精选学习资料