2022年高中数学专题训练抽象函数 .pdf

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1、高中数学专题训练（一）抽象函数1.已 知 函 数y = f (x)( x R， x 0) 对 任 意 的 非 零 实 数， 恒 有f()=f()+f(), 试判断 f( x)的奇偶性。2 已知定义在 -2，2上的偶函数， f (x)在区间 0，2上单调递减，若 f (1-m)0.(1)求;(2)求和; (3)判断函数的单调性 ,并证明 . 14.函数的定义域为 R,并满足以下条件 :对任意, 有0;对任意, 有; . (1) 求的值; (2)求证: 在 R上是单调减函数 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页(3)

2、若且,求证:. 15.已知函数的定义域为 R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在 R上单调递减 ; (3)设 A=,B=,若=,试确定的取值范围 . 16.已知函数是定义在 R上的增函数 ,设 F. (1)用函数单调性的定义证明:是 R上的增函数 ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页(2)证明:函数=的图象关于点 (成中心对称图形 . 17.已知函数是定义域为 R的奇函数 ,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数 ; (3)若求当时,函数的解析式 ,并画出满足

3、条件的函数至少一个周期的图象 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页18函数对于 x0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：； （2）若成立，求 x 的取值范围。19设函数在上满足，且在闭区间 0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间 -2005，2005上的根的个数，并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页20. 已知函数 f （x）对任意实数 x，y，均有 f （xy）f （x）f （y），且当 x

4、0 时，f （x）0，f （1） 2，求 f （x）在区间 2，1 上的值域。21. 已知函数 f （x）对任意，满足条件 f （x）f （y）2 + f （xy），且当 x0 时，f （x）2，f （3）5，求不等式的解。参考答案：1. 解：令= -1，=x，得 f (- x)= f (-1)+ f ( x) 为了求 f (-1) 的值，令=1 ，=-1，则f(-1)= f(1)+ f(-1),即f(1)=0,再令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页=-1 得 f(1)= f(-1)+ f(-1)=2 f(-1)

5、f(-1)=0代入式得f(- x)=f(x), 可得 f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域， -m，m-2,2，但是 1- m 和 m 分别在 -2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质 f（-x)= f (x)=f ( | x| ) ，就可避免一场大规模讨论。解： f (x) 是偶函数，f (1- m)f( m) 可得，f(x) 在0 ，2 上是单调递减的，于是，即化简得 -1m0, 令得,(2) 任取任取,则令,故函数的定义域为 R,并满足以下条件 :对任意, 有0;对任意, 有; 精选学习资料 - - - - - - -

6、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页函数是 R上的单调减函数 . (3) 由（1） （2）知，而15. (1)证明:令,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页当时,故, 当时,当时, 则(2) 证明:任取,则, 0, 故0 是 R上的增函数 ; (2)设为函数=的图象上任一点 ,则点关于点(的对称点为 N(),则,故把代入 F得, =-函数=的图象关于点 (成中心对称图形 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页

7、，共 26 页17.(1)解:为 R上的奇函数 , 对任意都有, 令则=0 (2) 证明: 为 R上的奇函数 , 对任意都有, 的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得, 即是周期函数 ,4 是其周期 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页(3)当时，当时，当时，图象如下：y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 18.(1)证明：令，则，故（2），令，则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页成立的 x 的取值范围是。19解:

8、（1）由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) 得函数的对称轴为, 从而知函数不是奇函数 , 由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数 ; (2)由又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有 402 个解 ,在-2005.0上有 400 个解,所以函数在-2005,2005上有 802 个解. 20. 解：设，当，即，f （x）为增函数。在条件中，令 yx，则，再令 xy0，则 f （0）2 f （0）， f （0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f （1） f （1）2，又 f （2）2 f （1） 4， f （x）的值域为 4，2。21. 解：设，当，则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页， 即，解得不等式的解为 1 a 3 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页