2022年高中数学圆锥曲线的知识点总结 .pdf

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1、高中数学圆锥曲线的知识点总结高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中， 如果某曲线 C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)?0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. C上?f(x0,y0)?0；点 P点与曲线的关系：若曲线C的方程是 f(x,y)?0，则点 P0(x0,y0)在曲线 0(x0,y0) 不在曲线 C上?f(x0,y0)?0. 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)?0，f2

2、(x,y)?0，则点 P0(x0,y0)是 C1，C2的交点 ?f1(x0,y0)?0 f2(x0,y0)?0 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 二、圆：1、定义：点集 M|OM?r ，其中定点 O 为圆心，定长r 为半径 . 2、方程： (1)标准方程：圆心在C(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x?a)2?(y?b)2?r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x2?y2?r2 22(2)一般方程： 当 D?E?4F?0时，一元二次方程x?y?Dx?Ey?F?0 叫做精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

3、结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页圆的一般方程，圆心为22 DE22(? ,?)半径是 . 配方，将方程x?y?Dx?Ey?F?0 化为 222 D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)? 224 当 D?E?4F?0时，方程表示一个点(? 2222DE,?) 22当 D?E?4F?0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b)，半径为 r，点 M 的坐标为(x0,y0)，则 |MC|?r ? 点 M 在圆 C内，|MC|?r? 点 M 在圆 C上， |MC|?r? 点M 在圆 C 外，其中 |MC|? （4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、

4、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离 ?没有公共点 . 直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法； (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax?By?C?0的距离 d? Aa?Bb?CA?B22 与半径 r 的大小关系来判定. - 1 - 三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常数则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 . 当 e(e?0)，0?e?1 时，轨迹为椭圆；当e?1 时，轨迹为

5、抛物线；当e?1时，轨迹为双曲线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页- 2 - 【备注 1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线x2?y2?a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y?x，离心率 e?2. x2y2 （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2?2? ab - 3 - x2y2x2y2 与 2?2?互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0. abab （3）x2 a2x2a2?y2b2?(?0) 的渐近线方程为x2a2?y2b2?0；如果双曲线

6、的渐近线为 xy?0ab 时，它的双曲线方程可设为【备注 2】抛物线：?y2b2?(?0). （1）抛物线 y2?2px(p?0)的焦点坐标是pp，0)，准线方程x? y2?2px(p?0)22 的焦点坐标是 (ppp，0)，准线方程 x?x2?2py(p?0)的焦点坐标是222 程 y?pppx2?2py(p?0)的焦点坐标是y? 222 （2） 抛物线 y2?2px(p?0)上的点 M(x0,y0)与焦点 M 的距离 MF?x0?p； 2 pp，顶点到准线的距离， 22 （3）设抛物线的标准方程为y2?2px(p?0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为精选学习资料 - - - - - - -

7、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页焦点到准线的距离为p. 五、坐标的变换：（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴. （3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是 (x,y)，在新坐标系xOy中的坐标是 (x,y). 设新坐标系的原点O在原坐标系 xOy中的坐标是 (

8、h,k)，则? 叫做平移 (或移轴 )公式 . 六、椭圆的常用结论：''''''?x?x'?h y?y'?k? P处的外角 . 1. 点 P处的切线 PT平分 ?PF1F2在点证明：如图，设F1(?c,0)，F2(c,0)，P(x0,y0). x2y22x2yy' 对椭圆方程2?2?1两边求导得， 2?2?0 abab b2x0b2x'?y?2，k?kPT?y(x0,y0)? 2 ayay0' - 4 - 又 k1?kPF1?y0y,k2?kPF2?0 x0?cx0?c ?k2?(?k)b2 ?tan?2?

9、tan(?PF2F1?PTF2)?1?kk2cy0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页b2 同理 ?tan?4? cy0 故?2?4 总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法补充角平分线定理x0 xy0yx2y2 ?2?1. （和圆上点的切线做比较）?12. 若 P在椭圆上， 则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222abab x2y22x2yy' 解析：对椭圆方程2?2?1 两边求导得， 2?2?0 abab b2x0b2x'?y?2，k?kPT?y(x0,y0)?2 a

10、yay0' 故直线方程为x0 xy0y?2?1 a2b 总结：常见的求切线的方法x2y2 3. 若 P0作椭圆的两条切线切点为P0(x0,y0)在椭圆 2?2?1 外， 则过 P12的直线方程是1、P2，则切点弦 PPab x0 xy0y?2?1. a2b 补充圆的切线公式：(x?a)(x0?a)?(y?b)(y0?b)?r2 圆的切点弦公式：(x?a)(x0?a)?(y?b)(y0?b)?r2 总结：知识点的对比性记忆x2y2 4. 椭圆 2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1、F2，点 P为椭圆上任意一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

11、 - - - -第 5 页，共 10 页点?F1PF2? ，则椭圆的焦ab 点角形的面积为S?F1PF2?btan2?2. 证明：设 PF1?m,PF2?n ，则由余弦定理可得4c2?m2?n2?2mncos? 4c2?(m?n)2?2mn(cos?1) - 5 - 2b2 mn? 1?cos? S?PF1F2?1sin?mnsin?b2?b2tan 21?cos?2 x2y2 5. 椭圆 2?2?1(a?b?0)的焦半径公式 |MF1|?a?ex0 ， ，其中ab (F1(?c,0) ，F2(c,0)，M(x0,y0). b2x02(cx0?a2)2 ?解析： |MF1|?(c?x0)?y0

12、?x0?2cx0?x0?b? a2a2222222 ?|MF1|?a?ex0 同理 |MF1|?a?ex0 6. x2y2b2 AB是椭圆 2?2?1 的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB的中点，则kOM?kAB?2，即 abaKABb2x0?2. ay0 2a2k2x0?2ka2y0b2x0?2x0，k?2 解析：设直线方程为y?k(x?x0)?y0，联立可得 x1?x2?b2?a2k2ay0 x0 xy0yx02y02x2y2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页?2?2?2； 7. 若 P0(x0,y

13、0)在椭圆 2?2?1 内，则被 P0所平分的中点弦的方程是 2ababab x2y2 8、已知椭圆 2?2?1(a?b?0)，O 为坐标原点， P、Q 为椭圆上两动点，且 OP?OQ. （1）ab 4a2b2a2b2111122?2?2;（2）|OP|?|OQ| 的最小值为22;（3）S?OPQ的最小值是 22. 22a?ba?b|OP|OQ|ab 解析 : 设直线方程为y?kx?m，联立可得 (ak?b)x?2kmax?am?ab?0 222222222 a2m2?a2b2 22,yy?kxx?km(x?x)?m可得 x1x2? 121212222ak?b m2a2b2 ?2 由 x1x2

14、?y1y2?0? 221?ka?b 11|OP|2?|OQ|2|PQ|2a2?b211 ?22?2?2 222222|OP|OQ|OP|OQ|PQ|dabab 1111|OP|2?|OQ|2 222) （2）|OP|?|OQ|?(2?2)(|OP|OQ|)?(2?2)(abab222 - 6 - 4a2b2a2b2 |OP|?|OQ|?2 （3）同理可求 S?OPQ?2 22a?ba?b22 七、双曲线的常用结论：P处的内角 . 1、点 P处的切线 PT平分 ?PF1F2在点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页x0

15、xy0yx2y2 ?2?1. ?12、若 P在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是(a?0,b?0)(x,y)P0000a2ba2b2 x2y2 3、 若 P0作双曲线的两条切线切点为P0(x0,y0)在双曲线 2?2?1(a?0,b?0)外 ，则过 P1、P2，则切点弦ab PP12的直线方程是x0 xy0y?2?1. 2ab x2y2 4、双曲线 2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点分别为F1、F2，点 P 为双曲线上任意一点 ?F则双曲 1PF2? ，ab 线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2. x2y2 5、 双曲线 2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式： (F1(?

16、c,0)， F2(c,0)） 当 M(x0,y0)在右支上时， ab |MF1|?ex0?a ， |MF2|?ex0?a ； 当 M(x0,y0)在左支上时， |MF1|?ex0?a ，|MF2|?ex0?a. b2x0 x2y2 6、AB是双曲线 2?2?1(a?0,b?0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为 AB的中点，则 KAB?2. abay0 x0 xy0yx02y02x2y2 ?2?2?2. 7、若 P0(x0,y0)在双曲线 2?2?1(a?0,b?0)内，则被 P0所平分的中点弦的方程a2babab 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

17、- - - - -第 8 页，共 10 页x2y2 8、已知双曲线2?2?1(b?a?0) ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且 OP?OQ. ab 4a2b2a2b2111122?2?2; （2）|OP|?|OQ| 的最小值为 2 （1）; （3） S?OPQ的最小值是 2. 2222b?ab?a|OP|OQ|ab 八、抛物线的常用结论：4ac?b2b?). 1、ay?by?c?x顶点 (4a2a22、设 AB是过抛物线 y?2px(p?0)的焦点 F的弦， A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2 p2 ,y1y2?p2 （1）x1x2?4 （2）弦长 |AB|?x1?x2?

18、p?2p(?为弦 AB的倾斜角 ) 2sin? - 7 - 解析： （一）设直线为y?k(x? p )，代入抛物线方程可得：2 4k2x2?(4pk2?8p)x?p2k2?0 则 x1?x2?.,x1x2? . |AB|?2p(k2?1) ? k2 （二）利用定义 |AB|?x1?(? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页pp)?x2?(?) 22 （3）112 ? |FA|FB|p x1?x2?p11112 ? pp2p|FA|FB|x?x?x1x2?(x1?x2)?12 2224 解析：（4）以弦 AB为直径的圆与准线相切（5）A、O 与 B 在准线上的射影B 三点共线， B,O与 A 点在准线上的射影 A 三点共线（6）通径长度为2p 3、y2?2px(p?0)则焦点半径 PF?x?P;x2?2py(p?0) 则焦点半径为PF?y?P . 2 2 ' ' - 8 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页