2022年小学六年级奥数第二章循环小数与分数 .pdf
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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第二章循环小数与分数知识要点任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么, 什么样的分数能化成有限小数,什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢?我们先看下面的分数。(1)120.5 ,325( 235) 0.12 ,1740( 31725) 0.425 ;(2)130.3,570.714285,13330.39;(3)56( 523) 0.83,67175( 26757) 0.38285714,101360( 3101259) 0.2805。结论: (1) 中的分数都化成了有限小数,其分
2、数的分母只含有质因数2 和 5,化成的有限小数的位数与分母中含有的2 与 5 中个数较多的个数相同。如1740,因为 40235,含有 3 个 2,1 个 5,所以化成的有限小数有三位。 (2)中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2 和 5。 (3)中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2 或 5,又含有2 和 5以外的质因数, 化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2 与 5 中个数较多的个数相同。如67175,因为 175527,含有 2 个 5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论: 1.如果分母只含有
3、质因数2和 5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2 与 5 中个数较多的那个数的个数; 2.如果分母中只含有2 与 5 以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数; 3.如果分母中既含有质因数2 或 5,又含有 2 与 5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数, 并且不循环部分的位数等于分母中质因数2 与 5 中个数较多的那个数的个数。典例巧解例 1 判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位?5324213125023781001173850点拨上述分数都是最
4、简分数,并且3225, 2137, 250253,782313, 1173213, 85025217,根据知识要点的结论可求解。解532能化成五位有限小数;31250能化成三位有限小数;421,100117能化成纯循环小数;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2378能化成混循环小数,且不循环部分有一位;3850能化成混循环小数,且不循环部分有两位。例 2 将下列纯循环小数化成最简分数。 (1)0.8 (2)0.415点拨 (1)纯循环小数循环节是1 位,可将循环小数乘以10,再减
5、去此循环小数,可化为分数。 (2)纯循环小数的循环节是3 位的,可将循环小数乘以1000 倍,再减去此循环小数,可化为分数。解 (1) 0.8108.80.80.8得0.8(10 1) 8 0.89 8 0.889 (2) 0.4151000415.4150.4150.415得0.415(1000 1) 415 0.415415999说明从以上两个例子可以总结出将纯循环小数化成分数的方法:分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9 的个数与循环节的位数相同。例如:0.559;0.797999;0.14414499916111例 3 将下列混循环小数化成最简分数。 (1)0.3
6、8(2)0.457点拨 (1) 此题为混循环小数,循环节有1 位,小数点后有两位。将此循环小数乘以100,减去此循环小数乘以10,问题可解。 (2)此题为混循环小数,循环节有2 位,小数点后有3 位。将此循环小数乘以1000,减去此循环小数乘以10,问题可解。解 (1) 0.3810038.80.38103.8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思得0.38(100 10) 35 0.383590718 (2) 0.4571000457.570.457104.57得0.457(100
7、0 10) 453 0.457990 453 0.457453990151330说明此题可以总结出将混循环小数化成分数的方法:分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差;分母头几位数字是 9,末几个数字都是0,其中 9 的个数与循环节的位数相同,0 的个数与不循环的部分的位数相同。例如:0.29292902790310;0.137137199013699068495;0.174517451799001728990048275 例 4 将算式0.30.60.30.60.30.6的计算结果,用循环小数表示出来。点拨直接用循环小数作四则运算不方便
8、,可将其先转化为分数,然后再化为小数。解0.30.60.30.60.30.6132313231323129121.5 0.21.72例 5 1 7 所得的商,小数点后面第100 位的数字是几?点拨先求出 17 的商,找出商的循环节。再观察循环节中有几个数位,然后看100 中有几个循环节、余几,余几就是循环节的第几个数字。解17 0.142857142857 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0.142857循环节有 6 个数字, 1006164。由于余数是4,可知小数点后面第10
9、0 位上的数字,居第16 个周期后,即第17 个周期的第 4 个数字 8。答:小数点后面第100 位上的数是8。说明在某些数学问题的计算中,经常也会出现周期现象,如果找到了周期,就可以使较难的问题转化为较简单的问题。例 6 循环小数0.142837546与0.3957216在小数点后第多少位时,首次在该位的数字都是 6?点拨由于第一个小数是混循环小数,并且小数的循环节有7 位,所以数字6 出现的位数被7 除余 2;而第二个小数也是混循环小数,并且小数的循环节有6 位,所以数字6 出现的位数被 6 除余 1。 同时被 7 除余 2 且被 6 除余 1 的数,加上 5 以后就应该能同时被6 和 7
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