2022年高三文科数学复习解三角形知识要点 .pdf

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1、解三角形知识一公式与结论1角与角关系：A+B+C = ；2边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解3正弦定理：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中 R 是三角形外接圆的半径）变形：角化边CRcBRbARasin2sin2sin2边化角RcCRbBRaA2sin2sin2sinCBAcbasin:sin:sin:已知两角和一边；解三角形已知两边和其中一边的对角如： ABC 中，BbAacoscos，则 ABC 是等腰三角形或直角三角形BaAb

2、coscos，则 ABC 是等腰三角形。4. 余弦定理：2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscababC222cos2abcCab注意整体代入，如：21cos222Bacbca正弦定理余弦定理解三角形应用举例精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页（1）若 C= 90 ，则 cosC，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

3、已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积5面积公式1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin212. rcbaSABC)(21,其中r是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数6 相关的结论：1角的变换在 ABC 中， A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= cosC；tan(A+B)= tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；. 2. 三角形的形状若222cba时,角C是锐角若222cba时,角C是直角若222cba时,角C是钝角（3）在 ABC 中， A， B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60；（4

4、）三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，（5） 两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，二.应用题1.步骤：由已知条件作出图形，在图上标出已知量和要求的量；将实际问题转化为数学问题；答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。方位角北俯角张角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c）

5、，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、 A） ，应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直；3三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，4两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助

6、理解”。解三角形（一）在ABC中，已知下列条件，解三角形：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页（1）10,45 ,30cAC, 求a； （两角一边）（2）2 3,6,45abA，求B； （两边一对角）（3）2,6,45abA，求B； （两边一对角）（4）2,6,135abA，求B； （两边一对角）（5）10,20,60abA，求B； （两边一对角）（6）2,2,45abA，求B； （两边一对角）（7）7,3,5abc，求A； （三边）（8）3,8,60bcA，求a； （两边一夹角）（二）1在 ABC 中，已知10c，A

7、=45 ，C=30 ，解此三角形 （两角一边）2.在ABC 中，已知45B，60C，12acm，解三角形 （两角一边）3.已知 ABC 中， AB6， A30， B 120 ，解此三角形 （两角一边）4在 ABC 中，已知b3 ，c1， B60 ，求 a 和 A， C （两边一对角）5.在6,45 ,2,ABCcAabB C中，求 和 （两边一对角）6. 在 ABC 中，已知3a，2b，45B，求,A C 和c（两边一对角）(三) 1.在ABC 中，若222abcbc ，求角 A2. 在 ABC 中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角3. 在ABC 中，60A，1b，2c，求si

8、nsinsinabcABC的值4、在 ABC 中， A、B、C 相对应的边分别是a、b、c，则 acosBbcosA_. 5. 在 ABC 中， sinAsinB sinC234，则 ABC 的余弦值为 _. 题型 6：正、余弦定理判断三角形形状1.在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 等边三角形2. 已知 ABC中,acosB=bcosA, 则 ABC为( ) 13. 判断C的形状：（1）coscosaAbB； （2）5,6,8ABBCAC；解三角形基础训练1 1. 在 ABC中,a=1,b=3,A=3

9、0 , 则 B等于 ( ) A.60 B.60或 120C.30或 150D.120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页2. 在 ABC中,A=60,C=45,b=2, 则此三角形的最小边长为( ) A.2 B.23-2 C.3-1 D.2(2-1) 3. 在C中，:1: 2:3A B C,则:a b c等于（）A .1: 2 :3B.3: 2 :1C.1:3:2D.2:3:14 已知在C中， sin Asin Bsin C 357， 那么这个三角形的最大角是() A135B90C120D1505. 在C中，30 ,3

10、Aa，则C的外接圆半径为( ) A .32B. 3 C.3 3D. 6 6. 在C中，222abcbc，则A等于 ( ) A .60B.45C.120D.307. 在 ABC中, 若aAsin=bBcos, 则 B的值为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.908. ABC中，若Abasin23，则 B 为（）A. 3B. 6C. 3或32D. 6或659. ABC的三边满足abcbacba3)(，则C等于（）A. 15B. 30C. 45D. 6010. ABC中， “BAsinsin”是“ A=B ”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要11. A

11、BC中，CCBBA222sinsinsinsinsin，则 A 等于（）A. 30B. 60C. 120D. 15012. ABC中，30B，350b，150c，则这个三角形是（）A. 等边三角形B. Rt三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形13. 在ABC中，kCcBbAasinsinsin，则k=（）A. 2R B. R C. 4R D. 21R 14、在ABC 中，若 B=300，32AB，AC=2 ，则ABC 的面积为 _。解三角形基础训练2 1己知三角形三边之比为578，则最大角与最小角的和为() A90B120C135D150精选学习资料 - - - - - - - - -

12、 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页2在 ABC 中，下列等式正确的是() Aa b A BBa bsin Asin BCa bsin Bsin ADasin Absin B3若三角形的三个内角之比为123，则它们所对的边长之比为() A1 23 B13 2 C1 49 D12 34在 ABC 中，若BAsinsin，则A与B的大小关系为() A. BAB. BAC. ABD.大小关系不定5. 在ABC 中，2,3,60abC，则ABCS（）. A. 2 3B. 32C. 3D. 326在 ABC 中，若 a2b2c20，则 ABC 是() A锐角三角形B直角三角形

13、C钝角三角形D形状不能确定7在 ABC 中，若 b3 ，c 3， B30 ，则 a()A3B23C3 或 23D2 8 已知 ABC 中， AB6， A30， B120，则 ABC 的面积为A9 B18C93D1839某人朝正东方向走了x km 后，向左转150 ，然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么 x 的值是 () A3B23C3 或 23D3 10有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45 ，在其西南方B 处看塔顶时仰角为 60 ，若 AB120 米，则电视塔的高度为() A603 米B60 米C603 米或 60 米D30 米解三角形基础训练3 1. 在ABC

14、中，一定成立的等式是（）A. BbAasinsinB. BbAacoscosC. AbBasinsinD. AbBacoscos2在 ABC 中，下列式子不正确的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页A2222cosabcbcAB:sin: sin: sina b cABCC1sin2ABCSAB BCAD2sinbRB3. 在ABC中，若abBAcoscos，则ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形4已知ABC中，a4，b43，A30，则B等于 ( ) A30B 30或 1

15、50C60D60或 1205. 在 ABC 中，3 2a，23b，1cos3C，则ABCS_ 6在 ABC 中，015A，则3sincosABC的值为7. 在ABC中，CBAsincos2sin，则三角形为。8. 若)(341222acbS，则 A= 。9在 ABC 中， A60 ，a3，则CBAcbasinsinsin10在 ABC 中，若 a2b2 c2，且 sin C23，则 C11在 ABC 中，若 sin Asin Bsin C234，则最大角的余弦值12、在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、 c，若三角形的面积)(41222cbaS，则C 的度数是 _ 。13、

16、已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且222acbac（）求角B的大小；（）若3ca，求tan A的值解三角形基础训练4 1. 在ABC中，45A,60B,10a, 则b（）A.5 2 B.10 2 C.10 63 D.5 6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页2. 在ABC中,a1,b2,A30 ,则B（）A 45 B 45或135 C 135 D 无解3. 在ABC中，若222abc3bc,则A为（）A 75 B 120 C 150 D 304在ABC中，6a，30B，120C，则ABC的面积是（）A9

17、B 18 C 39D3185在ABC中，若Babsin2，则角A等于（） A3060, 或 B4560, 或 C 12060, 或 D 30150, 或6在 ABC中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_。7在 ABC中，若,12,10,9cba则 ABC的形状是 _。8. 在C中，已知45B，60C,1c,则最长边的长度为.9. 在C中，若ab，则sin Asin B(填不等号 )10某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 . 11在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30

18、米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进10 3 米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是米. 12. 在 ABC中, 已知 tanA=21,tanB=31, 且最长边为1, 求: (1) 角 C的大小 ; (2) ABC最短边的长 . 作业1. 在ABC 中，若coscosAbBa，则ABC 是（）. A等腰三角形B等腰三角形或直角三角形C直角三角形D等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页2. 已知 ABC 中， ABC114，则 ab c等于（）. A114 B1 12C113D2233. 在 ABC 中，若 sins

19、inAB ，则A与B的大小关系为（）. A. ABB. ABC. ABD. A、B的大小关系不能确定4. 已知ABC 中， sin:sin:sin1: 2:3ABC，则:a b c = 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（） . A 60B 75C 120D 1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则 x 的取值范围是（）. A513xB13 x5C 2x5D5 x5 2. 已知在 ABC 中， sinA sinBsinC357，那么这个三角形的最大角是（） . A135B90C120D1504. 在 ABC 中， sinA:sinB:sinC4:5:6，则 cos

20、B5. 已知 ABC 中，coscosbCcB ，试判断 ABC 的形状2. 台风中心从A 地以每小时20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的地区为危险区，城市B 在 A 的正东 40 千米处， B 城市处于危险区内的时间为（）. A0.5 小时B 1 小时C1.5 小时D 2 小时4.在ABC 中，已知4a，6b，120C，则 sin A 的值是5. 一船以每小时15km 的速度向东航行， 船在 A 处看到一个灯塔B 在北偏东 60 ，行驶 h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔的距离为km2. 某船在海面A 处测得灯塔C 与 A 相距 10 3 海里，且在北偏东30 方向；测得灯塔B 与A 相距 15 6 海里， 且在北偏西75 方向 . 船由A向正北方向航行到D 处，测得灯塔 B 在南偏西 60 方向 . 这时灯塔C 与 D 相距多少海里？14. 在C中，已知C2，C3，4cos5求sin的值；求sin26的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页