2022年高中数学圆与直线知识点与各类提高习题 2.pdf

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1、圆与直线知识点圆的方程：1标准方程：圆心为A(a,b),半径为 r 2圆的一般方程：圆心 -，-半径点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离与在大小关系判断直线与圆的位置关系判断方法1几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。d=r 为相切， dr 为相交， d0 为相交， 0 为相交， 0 为相离或内含。假设两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系选择题1圆1)3()1(22yx的切线方程中有一个是Ax y0Bxy0C x0Dy0 2假设直线210axy与直线20 xy互相垂直，那么a的值等于A1 B1

2、3C23D23设直线过点(0,),a其斜率为 1，且与圆222xy相切，则a的值为222()()xaybr022FEyDxyx0422FED2D2EFED42122drl21rrl1C2C21rrl1C2C|21rr21rrl1C2C|21rrl1C2C|21rrl1C2C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页42 2224平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是A一条直线B一个圆C一个椭圆D双曲线的一支5参数方程2tancotxy为参数所表示的曲线是A圆B直线C两条射线D线段

3、6如果直线12,ll的斜率分别为二次方程2410 xx的两个根，那么1l与2l的夹角为A3B4C6D87已知2( , )|9,0Mx yyxy，( , ) |Nx yyxb，假设MN，则bA 3 2,32B( 3 2,32)C( 3,32D 3,3 28一束光线从点( 1,1)A出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1Cxy上的最短路径是A4 B5 C3 21D2 69假设直线220( ,0)axbya b始终平分圆224280 xyxy的周长，则12ab的最小值为A1 B5 C4 2D32 210已知平面区域D由以3 , 1A、2, 5B、1 , 3C为顶点的三角形内部和边界组成.假设在区

4、域D上有无穷多个点yx,可使目标函数myxz取得最小值，则mA2B1C1D4 11、设2000200120012002101101,101101MN，2000200120012002109109,1010010100PQ，则 M 与 N、P与Q的大小关系为( ) A.,MN PQB.,MN PQC.,MN PQD.,MN PQ12、已知两圆相交于点(1,3)( , 1)AB m和点，两圆圆心都在直线:0lxyc上，则cm的值等于 A -1 B2 C3 D0 13、三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

5、- - - -第 2 页，共 11 页A.15 B.30 C.36 D.以上都不对14、设0m，则直线2()10 xym与圆22xym的位置关系为A.相切 B.相交 C. 相切或相离 D.相交或相切15、已知向量(2cos,2sin),(3cos,3sin),mn假设m与n的夹角为60， 则直线1:cossin02lxy与圆221: (cos)(sin)2Cxy的位置关系是 A相交但不过圆心 B相交过圆心 C 相切 D相离16、已知圆22:(3)(5)36Oxy和点(2,2),( 1, 2)AB, 假设点C在圆上且ABC的面积为25, 则满足条件的点C的个数是A.1 B.2 C.3 D.4 1

6、7、假设圆2221:()()1Cxaybb始终平分圆222:(1)(1)4Cxy的周长 , 则实数ba,应满足的关系是 ( ) A 03222baa B05222baa C 0122222baba D01222322baba18、在平面内 , 与点)2, 1(A距离为 1, 与点)1 ,3(B距离为 2 的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条填空题1、直线 2xy4=0 上有一点P，它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是 _ 2、设不等式221(1)xm x对一切满足2m的值均成立，则x的范围为。3、已知直线:40lxy与圆22:112Cx

7、y，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为。4、直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为 _。5、已知圆22:(cos )(sin)1Mxy，直线:lykx，以下命题成立的有_。对任意实数k与，直线l和圆M相切；对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；对任意实数，必存在实数k，使得直线l和圆M相切对任意实数k，必存在实数，使得直线l和圆M相切6、点 A(3，3)发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射，反射光线与圆22:4470C xyxy相切，则光线 l 所在直线方程为_ _。7、 直线xmy2与圆0422nymxyx交于M、N两点，且M、N关于直线0yx对称，则弦

8、MN的长为。8、过圆224xy内一点)1 ,1 (A作一弦交圆于CB、两点 , 过点CB、分别作圆的切线PCPB、，两切线交于点P，则点P的轨迹方程为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页解答题1、设数列na的前n项和(1)nSnan nb，(1,2,)n，a、b 是常数且0b。1证明：na是等差数列；2证明：以,1nnSan为坐标的点nP，(1,2,)n落在同一直线上，并求直线方程。3设11,2ab，C是以( , )r r为圆心，r为半径的圆(0)r，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时， r 的取值范围。2、求

9、与圆522yx外切于点)2 ,1(P，且半径为52的圆的方程3、如图，已知圆心坐标为) 1 ,3(M的圆M与x轴及直线xy3均相切，切点分别为A、B，另一圆N与圆M、x轴及直线xy3均相切，切点分别为C、D。1求圆M和圆N的方程；2过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度；4、如果实数x、y满足22(2)3xy，求yx的最大值、2yx的最小值。5、已知圆22:(1)(2)25Cxy，直线:(21)(1)740lmxmym，()mR。1证明：不管m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；2求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程 . O A C B D N x y M 精选学习资料 - - -

10、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页6、已知O为原点， 定点(4,0)Q，点P是圆224xy上一动点。1求线段PQ中点的轨迹方程；2设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程。7、如下图，过圆22:4Oxy与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。8、已知圆22:(2)1Mxy，Q是x轴上的动点，QA ，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点，求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。1C圆心为 1，3 ，半径为1，故此圆必与y 轴 x=0相切，选

11、C. 2D由12120A AB B可解得3C直线和圆相切的条件应用，2,22,0aaayx,选 C; 4A过点 A 且垂直于直线AB 的平面与平面的交线就是点C 的轨迹，故是一条直线. 5C原方程2| 2xyQ P R O M y x Q O A B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6A由夹角公式和韦达定理求得7C数形结合法，注意29,0yxy等价于229(0)xyy8A 先作出已知圆C 关于x 轴对称的圆C，问题转化为求点A 到圆C上的点的最短路径，即| 14AC9D已知直线过已知圆的圆心2，1 ，即1ab

12、所以12122()()332 2baabababab10C由3, 1A、2, 5B、1 , 3C的坐标位置知，ABC所在的区域在第一象限，故0,0 xy.由myxz得1zyxmm，它表示斜率为1m. 1假设0m，则要使myxz取得最小值， 必须使zm最小，此时需11331ACkm，即m1；2假设0m，则要使myxz取得最小值， 必须使zm最小，此时需11235BCkm，即m2，与0m矛盾 .综上可知，m1. 11 解：设点( 1, 1)A、点20012000(10,10)B、点20022001(10,10)C，则 M、N 分别表示直线AB、AC 的斜率， BC 的方程为110yx，点 A 在直

13、线的下方，ABACKK，即 MN；同理，得PQ。答案选 B。仔细体会题中4 个代数式的特点和“数形结合”的好处12 解：由题设得：点BA,关于直线0cyx对称 ,41151ABlkmmk；线段AB的中点(3,1)在直线0cyx上，23cmc，答案选C。13 解：设三角形的另外两边长为x,y,则01101111xyxy；注意“ =”号，等于11 的边可以多于一条。点( ,)x y应在如右图所示区域内：当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11；当 x=3 时， y=9,10,11；当x=4 时， y=8,9,10,11；当 x=5 时， y=7,8,9,10,11。以上共有15

14、 个， x,y 对调又有 15 个。再加 (6，6 ，(7，7 ，(8，8 ，(9，9 ，(10，10 、(11， 11 ，共 36 个，答案选C。14 解：圆心(0,0)到直线的距离为12md，圆半径rm。211(1)022mdrmm，直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。15 解：06(coscossinsin)1cos()cos602 32| |m nmn，圆心(cos,sin)C到直线l的距离rd221|21)cos(|，直线与圆相离，答案选D。复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

15、6 页，共 11 页16 解: 由题设得：5AB，52ABCS，点C到直线AB的距离1d, 直线AB的方程为0234yx, 与直线AB平行且距离为1 的直线为12:4330:4370lxylxy得：圆心(3,5)O到直线1l的的距离16dr, 到直线2l的距离为24dr, 圆O与直线1l相切；与直线2l相交 , 满足条件的点C的个数是3，答案选C 17 解：公共弦所在的直线l方程为：22222(1)(1) -4 - ()() -1 =0 xyxaybb，即：01)1 (2)1(22aybxa，圆1C始终平分圆2C的周长，圆2C的圆心1, 1在直线l上, 01)1(2)1(22aba，即0522

16、2baa，答案选 B。18 解：直线l与点)2, 1 (A距离为 1，所以直线l是以 A为圆心 1 为半径的圆的切线，同理直线l也是以 B为圆心 2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线，53AB，两圆相交，公切线有2 条，答案选B。想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？填空题 1 解： A 关于 l 的对称点A， AB 与直线 l 的交点即为所求的P 点。得 P(5，6 。想一想，为什么，AB与直线l的交点即为所求的P点？如果A、B两点在直线的同一边，情况又如何？2 解：原不等式变换为2(1)(12 )0 xmx，设：2()(1)(12 )f mxmx，( 22)m，按题意得：( 2)0,

17、(2)0ff。即：2222307131222210 xxxxx。3 解：圆心1,1C到直线的距离=1 142 221 1r，直线与圆相离，C上各点到l的距离的最大值与最小值之差=r2=22。4 解：直线方程消去参数t得：10 xy，圆心到直线的距离1222d，弦长的一半为222142()22，得弦长为14。5 解：圆心坐标为cos ,sinM222cossin1sinsin()111kkdrkk（ ），所以命题成立。仔细体会命题的区别。6 解：光线l 所在的直线与圆C关于 x 轴对称的圆C相切。圆心C坐标为2, 2，半径1r，直线过点A(3，3)，设l的方程为：3(3)yk x，即：330kx

18、yk圆心C到直线l的距离2223311kkdk，21225120kK解得：43k或34k，得直线l的方程：4330 xy或3430 xy。7 解：由直线2myx与直线0yx垂直2m，由圆心在直线0 xy上2n，B ABP A PC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页圆方程为22(1)(1)6xy，圆心为1,1，圆心到直线的距离1 1021 1d，弦MN的长 =2222 624rd8 解：设00(,)P xy, 根据题设条件，线段BC为点P对应圆上的切点弦，直线BC的方程为400yyxx,A点在BC上，400yx,

19、即P的轨迹方程为：4yx。注意掌握切点弦的证明方法。1、设数列na的前n项和(1)nSnan nb，(1,2,)n，a、b 是常数且0b。1证明：na是等差数列；2证明：以,1nnSan为坐标的点nP，(1,2,)n落在同一直线上，并求直线方程。3设11,2ab，C是以( , )r r为圆心，r为半径的圆(0)r，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时， r 的取值范围。1 解： 1证明：由题设得11aSa；当 n 2 时，1(1)(1)(1)(2)2(1)nnnaSSnan nbnannbanb，12(1)2(2)2nnaaanbanbb。所以na是以a为首项，2b为公差的等差数列。证毕；2

20、证明：0b，对于 n2，111(1)11(1)112(1)2(1)2nnP PnSSnan nbanbnakaaanbanb以,1nnSan为坐标的点nP，(1,2,)n落在过点1( ,1)P a a，斜率为21的同一直线上，此直线方程为：1(1)()2yaxa，即220 xya。3解：当11,2ab时，得12311,02,3,12PPP、，都落在圆C 外的条件是222222222(1)1(1)()2(3)(1)rrrrrrrrr222(1)0175048100rrrrr由不等式，得r1 由不等式，得r522或 r52+2由不等式，得r46或 r4+6再注意到r0，125246=25+24+6

21、使 P1、P2、P3都落在圆C 外时， r 的取值范围是 (0，1)(1,252)(4+6,+ )。2、求与圆522yx外切于点)2 ,1(P，且半径为52的圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页2 解一：设所求圆的圆心为),(baC，则222(1)(2)(2 5)211abba（ ）63ba，所求圆的方程为20)6()3(22yx。注：因为两圆心及切点共线得1式解二：设所求圆的圆心为),(baC，由条件知11( 1,2)( , )33OPOCa b63ba，所求圆的方程为20)6()3(22yx。仔细体会解法

22、2， 利用向量表示两个圆心的位置关系，同时表达了共线关系和长度关系， 显得更简洁明快，值得借鉴。3、如图，已知圆心坐标为) 1 ,3(M的圆M与x轴及直线xy3均相切，切点分别为A、B，另一圆N与圆M、x轴及直线xy3均相切，切点分别为C、D。1求圆M和圆N的方程；2过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度；3 解： 1由于圆M与BOA的两边相切，故M到OA及OB的距离均为圆M的半径，则M在BOA的角平分线上，同理，N也在BOA的角平分线上，即NMO、三点共线，且OMN为BOA的角平分线，M的坐标为) 1 ,3(M，M到x轴的距离为1，即：圆M的半径为1，圆M的方程为1)1()3(

23、22yx；设圆N的半径为r，由OCNRtOAMRt，得：NCMAONOM:, 即3132rrr，33OC，圆N的方程为：9)3()33(22yx；2由对称性可知，所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线方程为)3(33xy，即033yx，圆心N到该直线的距离233133333d，则弦长 =33222dr注：也可求得B点坐标23,23，得过B点MN的平行线l的方程033yx，再根据圆心N到直线l的距离等于23，求得答案33；还可以直接求A点或B点到直线的距离，进而求得弦长4、如果实数x、y满足22(2)3xy，求yx的最大值、2yx的最小值。4 解： 1问题可转化为求圆22

24、(2)3xy上点到原点的连线的斜率ykx的最大值。设过原点的直线方程为ykx，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。得：22031kk，3k，max3xy2, x y满足22(2)3xy，23 cos3sinxy242 3 cos3 sin415sin()xyO A C B D N x y M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页min2415xy。注意学习掌握解2中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数，从而方便求解的技巧。5、已知圆22:(1)(2)25Cxy，直线:(21)(1)7

25、40lmxmym，()mR。1证明：不管m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；2求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程 . 5 解： 1解法 1：l的方程(4)(27)0 xymxy，()mR270,3,40,1,xyxxyy即l恒过定点(3,1)A圆心坐标为(1,2)C，半径5r，5ACr，点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点。解法 2：圆心到直线l的距离2|31|562mdmm，0265)34(5222mmmdrd55，所以直线l恒与圆C相交于两点。2弦长最小时，lAC，121312ACk，2lk，213214mmm代入(21)(1)740mxmym，得l的方程为250 xy。注意掌握以

26、下几点： 1动直线斜率不定，可能经过某定点；2直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内， 此结论可推广到圆锥曲线；3过圆内一点， 最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。6、已知O为原点，定点(4,0)Q，点P是圆224xy上一动点。1求线段PQ中点的轨迹方程；2设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程。6 解： 1设PQ中点( , )M x y，则(24,2)Pxy，代入圆的方程得22(2)1xy。2设( , )R x y，其中0y，(, )P m n，由2142PROPRQOQ，34232xmyn，代入圆方程224xy并化简得：2241639xy(0)y。当 y=0 时，即P在x轴上时

27、，POQ的平分线无意义。1此题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系； 2处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等。7、如下图，过圆22:4Oxy与y轴正半轴的交点A作圆的切线l，M为l上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线l上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。7 解：设11(,)Q x yAM，边上的高为QBMQ，边上的高为AC，连接OQMQOQ，当0OQk时，11111(0,2),MQACOQxykAkkyx，Q P R O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

28、归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11111:22:ACQBylyxxxxyylxx( ,2)Q x y在224xy上，22(2)4xy, 当0OQk时，垂心为点B，也满足方程，而点M与点N重合时，不能使A，M ，Q构成三角形。MAQ的垂心的轨迹方程为：22(2)4(0)xyx。8、已知圆22:(2)1Mxy，Q是x轴上的动点， QA， QB 分别切圆M 于 A，B 两点，求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。8 解：连接MB， MQ，设( , )( ,0)P x yQ a，点 M，P，Q 在一直线上，得22yax由射影定理得2| |MBMPMQ，即：222(2)41xya式代入式，消去a，得2271416xy，从几何图形可分析出2y，又由式得271324162yy(2)y，动弦 AB 的中点 P的轨迹方程是：2271-(2)416xyy，。M y x Q O A B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页