2022年圆和相似结合 .pdf

《2022年圆和相似结合 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年圆和相似结合 .pdf（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学习必备欢迎下载圆和相似（初三）一解答题（共18 小题）1 （2012?铜仁地区）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，AB CD， O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点F（1）求证： CDBF；（2）若 O 的半径为5，cosBCD=，求线段AD 的长2 （2013?河东区一模）如图，已知CD 是 O 的直径， AC BC，垂足为 C，点 E 为圆上一点，直线BE、CD 相交于点 A，且 A+2AED=90 （）证明：直线AB 是 O 的切线；（）当 BC=1 ，AE=2 ，求 tanOBC 的值3 （2011?湛江）如图，在RtABC 中， C=90 ，点 D 是

2、AC 的中点，过点A，D 作 O，使圆心O 在 AB 上，O 与 AB 交于点 E（1）若 A+ CDB=90 ，求证：直线BD 与 O 相切；（2）若 AD：AE=4 ：5，BC=6 ，求 O 的直径4 （2012?丰润区一模）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相互垂直，垂足为点E，过点 B 作 CD 的平行线与弦AD 的延长线相交于点F，且 AD=3 ，cosBCD=（1）求证： BF 为 O 的切线（2）求 O 的半径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页学习必备欢迎下载5 （2013?塘沽区二模）如图（1

3、） ，AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，若直线CD 与 O 相切于点C，AD CD，垂足为 D（）求证： ADC ACB ；（）如果把直线CD 向下平行移动， 如图（2） ， 直线 CD 交 O 于 C， G 两点，若题目中的其他条件不变，且 AG=4 ，BG=3，求的值6 （2012?德州）如图，点A，E 是半圆周上的三等分点，直径BC=2 ，AD BC，垂足为D，连接 BE 交 AD 于 F，过 A 作 AG BE 交 BC 于 G（1）判断直线AG 与 O 的位置关系，并说明理由（2）求线段AF 的长7 （1997?湖南）已知：如图，AB 是 O 的直径， PB 切 O 于点

4、B，PA 交 O 于点 C， APB 是平分线分别交BC，AB 于点 D、 E，交 O 于点 F， A=60 ，并且线段AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k为常数）（1）求证： PA?BD=PB ?AE；（2）求证： O 的直径长为常数k；（3）求 tanFPA 的值8 （2005?柳州）已知，如图，直线l 与 O 相切于点D，弦 BCl，与直径AD 相交于点 G，弦 AF 与 BC 交于点E，弦 CF 与 AD 交于点 H（1）求证： AB=AC ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页学习必

5、备欢迎下载（2）如果 AE=6 ，EF=2，求 AC9 （2006?黄冈）如图， AB 、AC 分别是 O 的直径和弦，点D 为劣弧 AC 上一点，弦ED 分别交 O 于点 E，交AB 于点 H，交 AC 于点 F，过点 C 的切线交ED 的延长线于点P（1）若 PC=PF，求证： ABED；（2）点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？10已知：如图，在半径为4 的 O 中， AB ，CD 是两条直径，M 为 OB 的中点， CM 的延长线交 O 于点 E，且EMMC连接 DE，DE=（1）求证： AM ?MB=EM ?MC ；（2）求 sinEOB 的值；（3

6、）若 P是直径 AB 延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE 是 O 的切线11 （2012?临沂）如图，点A、B、C 分别是 O 上的点， B=60 ，AC=3 ，CD 是 O 的直径， P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证： AP 是 O 的切线；（2）求 PD 的长12 （2012?陕西）如图，PA、 PB 分别与 O 相切于点A、B，点 M 在 PB 上，且 OM AP，MN AP，垂足为N（1）求证： OM=AN ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页学习必备欢迎下载（2）若 O 的半

7、径 R=3， PA=9，求 OM 的长13 （2012?东营）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切 O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN于点 C，（1）求证： OD BE；（2）如果 OD=6cm ，OC=8cm ，求 CD 的长14 （2013?黄石）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是 O 的两条切线， E 是 O 上一点， D 是 AM 上一点，连接 DE 并延长交BN 于点 C，且 ODBE，OFBN （1）求证： DE 与 O 相切；（2）求证： OF=CD15 （2012?枣庄）如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于点

8、 E，过点 B 作 O 的切线，交AC 的延长线于点F已知 OA=3 ，AE=2，（1）求 CD 的长；（2）求 BF 的长16 （2012?达州）如图， C 是以 AB 为直径的 O 上一点，过O 作 OEAC 于点 E，过点 A 作 O 的切线交OE 的延长线于点F，连接 CF 并延长交BA 的延长线于点P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页学习必备欢迎下载（1）求证： PC 是 O 的切线（2）若 AF=1， OA=，求 PC 的长17 （2012?衢州） 如图， 在 RtABC 中，C=90 ，ABC 的平分

9、线交AC 于点 D，点 O 是 AB 上一点， O 过 B、D 两点，且分别交AB、 BC 于点 E、F（1）求证： AC 是 O 的切线；（2）已知 AB=10 ，BC=6，求 O 的半径 r18 （2012?怀化）如图， 已知 AB 是 O 的弦， OB=4，OBC=30 ，点 C 是弦 AB 上任意一点 （不与点A、B 重合），连接 CO 并延长 CO 交 O 于点 D，连接 AD 、DB（1）当 ADC=18 时，求 DOB 的度数；（2）若 AC=2，求证： ACD OCB（2013?天津）已知直线l 与 O， AB 是 O 的直径， ADl 于点 D（）如图 ，当直线l 与 O 相

10、切于点 C 时，若 DAC=30 ，求 BAC 的大小；（）如图 ，当直线l 与 O 相交于点 E、F 时，若 DAE=18 ，求 BAF 的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页学习必备欢迎下载圆和相似结合（初三）参考答案与试题解析一解答题（共18 小题）1 （2012?铜仁地区）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点E，AB CD， O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点F（1）求证： CDBF；（2）若 O 的半径为5，cosBCD=，求线段AD 的长考点 ： 切线的性质；圆周角定理；解直角

11、三角形专题 ： 压轴题分析：（1）由 BF 是 O 的切线， AB 是 O 的直径，根据切线的性质，即可得BFAB ，又由 ABCD，即可得CDBF；（ 2）又由 AB 是 O 的直径，可得ADB=90 ，由圆周角定理，可得BAD= BCD，然后由 O 的半径为 5， cosBCD=，即可求得线段AD 的长解答：（1）证明： BF 是 O 的切线， AB 是 O 的直径， BFAB ，3 分 CDAB ， CDBF； 6 分（ 2）解： AB 是 O 的直径， ADB=90 ，7 分 O 的半径 5， AB=10 ， 8 分 BAD= BCD，10 分 cosBAD=cos BCD=， AD=

12、cos BAD ?AB= 10=8， AD=8 12 分点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页学习必备欢迎下载2 （2013?河东区一模）如图，已知CD 是 O 的直径， AC BC，垂足为 C，点 E 为圆上一点，直线BE、CD 相交于点 A，且 A+2AED=90 （）证明：直线AB 是 O 的切线；（）当 BC=1 ，AE=2 ，求 tanOBC 的值考点 ： 切线的判定专题 ： 计算题分析：（I）

13、连接 OE，CE，OB，求出 BC=BE ，证出 OEB OCB，推出 OEB=ACB=90 ，根据切线的判定推出即可；（ II）证 AEO ACB ，推出=，求出=，解直角三角形求出即可解答：（）证明：连接OE， CE，OB， DC 为圆 O 的直径， DEC=90 ，即 CEB+ AED=90 ， 2AED+ 2CEB=180 ， ACBC， ACB=90 ， A+ABC=90 ， A+2AED=90 ， ABC=2 AED ， ABC+2 CEB=180 ， ABC+ CEB+ ECB=180 ， CEB= ECB， BC=BE ，在 OEB 和 OCB 中， OEB OCB， OEB=

14、ACB=90 ，即 OE AB， AB 是 O 切线（）解：BE=BC=1 ，AB=2+1=3 ，在 RtACB 中，由勾股定理得：AC=2， A=A， AEO= ACB=90 ， AEO ACB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页学习必备欢迎下载=，=， tanOBC=点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力3 （2011?湛江）如图，在RtABC 中， C=90 ，点 D 是 AC 的中点，过点A，D 作

15、 O，使圆心O 在 AB 上，O 与 AB 交于点 E（1）若 A+ CDB=90 ，求证：直线BD 与 O 相切；（2）若 AD：AE=4 ：5，BC=6 ，求 O 的直径考点 ： 切线的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理专题 ： 几何综合题；压轴题分析：（1）连接 OD，由 A= ADO ，进而证得 ADO+ CDB=90 ，而证得BDOD；（ 2）连接 DE，由 AE 是直径，得到ADE=90 ，然后利用已知条件可以证明DEBC，从而得到 ADE ACB ，接着利用相似三角形的性质得到AD ：AC=DE ：BC，又 D 是 AC 中点，由此可以求出DE 的长度，而AD ：

16、AE=4：5，在直角 ADE 中，设 AD=4x ，AE=5x ，那么 DE=3x ，由此求出x=1 即可解决问题解答：解： （1）连接 OD， OA=OD ， A=ADO ，又 A+CDB=90 ， ADO+ CDB=90 ， ODB=180 （ ADO+ CDB）=90 ， BDOD， BD 是 O 切线；（ 2）连接 DE， （7 分） AE 是直径， ADE=90 ， （8 分）又 C=90 ， ADE= C， A=A， ADE ACB ， （9 分） AD ：AC=DE ：BC 又 D 是 AC 中点， AD=AC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

17、- - - - - -第 8 页，共 26 页学习必备欢迎下载 DE=BC， BC=6， DE=3， （11 分） AD ：AE=4 ：5，在直角 ADE 中，设 AD=4x ，AE=5x ，那么 DE=3x ， x=1 AE=5点评：本题考查了切线的判定和性质、平行线的判定和性质、平行线分线段成比例定理以及推论、勾股定理、相似三角形的判定和性质解题的关键是连接OD、DE，证明 DEBC4 （2012?丰润区一模）如图，已知O 的直径 AB 与弦 CD 相互垂直，垂足为点E，过点 B 作 CD 的平行线与弦AD 的延长线相交于点F，且 AD=3 ，cosBCD=（1）求证： BF 为 O 的切

18、线（2）求 O 的半径考点 ： 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）由 ABCD，BFCD，可得 AB BF，又由 AB 是 O 的直径，即可证得BF 为 O 的切线；（ 2）首先连接BD ，由 AB 是 O 的直径，可得ADB 是直角，又由AD=3 ， cosBCD=，即可得cosBAD=，继而求得答案解答：（1）证明： ABCD，BFCD， ABBF， AB 是 O 的直径， BF 为 O 的切线；（ 2）解：连接BD ， AB 是 O 的直径， ADB=90 ， BCD= BAD ，cosBCD=， cosBAD=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

19、结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页学习必备欢迎下载 AD=3 ， AB=4 ， O 的半径为2点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及锐角三角函数的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用5 （2013?塘沽区二模）如图（1） ，AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，若直线CD 与 O 相切于点C，AD CD，垂足为 D（）求证： ADC ACB ；（）如果把直线CD 向下平行移动， 如图（2） ， 直线 CD 交 O 于 C， G 两点，若题目中的其他条件不变，且 AG=4 ，BG=3，求的值考点 ： 切线的性质；相似三角形的判定与

20、性质分析：（I）连接 OC，求出 ADC= ACB ， DCA= B，根据相似三角形的判定推出即可；（ II）根据勾股定理求出AB，求出 ACG+ B=180 ，求出 DCA= B，求出 ADC= AGB ，证 ADC AGB ，得出比例式，代入求出即可解答：（I）证明：连接OC， OC=OB ， OBC=OCB， AB 是 O 直径， DC 切 O 于 C，AD DC， ADC= DCO=ACB=90 ， DCA+ ACO= ACO+ OCB=90 ， DCA= OCB=OBC， ADC= ACB ， DCA= OBC， ADC ACB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

21、归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页学习必备欢迎下载（ II）解： AB 是 O 直径， AGB=90 ， AG=4 ， BG=3，由勾股定理得：AB=5，四边形ACGB 是 O 的内接四边形， B+ACG=180 ， ACD+ ACG=180 ， B=DCA ， AD DC， ADC= AGB ， ADC AGB ，=，=点评：本题考查了圆内接四边形，切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是推出ADC ACB 或ADC AGB 6 （2012?德州）如图，点A，E 是半圆周上的三等分点，直径BC=2 ，AD BC，垂足为D，连接

22、 BE 交 AD 于 F，过 A 作 AG BE 交 BC 于 G（1）判断直线AG 与 O 的位置关系，并说明理由（2）求线段AF 的长考点 ： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形专题 ： 计算题；证明题分析：（1）求出弧AB= 弧 AE= 弧 EC，推出 OA BE，根据 AG BE，推出 OA AG ，根据切线的判定即可得出答案；（ 2）求出等边三角形AOB ，求出 BD、AD 长，求出 EBC=30 ，在 FBD 中，通过解直角三角形求出DF即可解答：解： （1）直线 AG 与 O 的位置关系是AG 与 O 相切，理由是：连接OA，点 A，E 是半圆周上的三等分

23、点，弧 AB= 弧 AE= 弧 EC，点 A 是弧 BE 的中点， OABE，又 AGBE， OAAG， AG 与 O 相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页学习必备欢迎下载（ 2）点 A，E 是半圆周上的三等分点， AOB= AOE= EOC=60 ，又 OA=OB ， ABO 为正三角形，又 AD OB，OB=1 ， BD=OD=，AD=，又 EBC=EOC=30 （圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），在 RtFBD 中， FD=BD ?tanEBC=BD ?tan30 =， AF=AD

24、 DF=答： AF 的长是点评：本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中7 （1997?湖南）已知：如图，AB 是 O 的直径， PB 切 O 于点 B，PA 交 O 于点 C， APB 是平分线分别交BC，AB 于点 D、 E，交 O 于点 F， A=60 ，并且线段AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k为常数）（1）求证： PA?BD=PB ?AE；（2）求证： O 的直径长为常数k；（3）求 tanFPA 的值考点 ： 圆的综合题专题 ： 压轴题

25、分析：（1） 由 PB 切 O 于点 B， 根据弦切角定理， 可得 PBD=A， 又由 PF平分 APB， 可证得 PBD PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA?BD=PB ?AE；（ 2）易证得 BE=BD ，又由线段AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k 为常数），即可得AE+BD=k ，继而求得AB=k ，即： O 的直径长为常数k；（ 3）由 A=60 ，并且线段AE、BC 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k 为常数），可求得AE与 BD 的长，继而求得tan FPB 的值，则可得tanFPA 的值解答：（1）证明：如图， PB 切 O

26、于点 B， PBD= A， PF 平分 APB， APE= BPD， PBD PAE， PB：PA=BD ：AE， PA?BD=PB ?AE； （2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页学习必备欢迎下载（ 2）证明：如图， BED= A+EPA， BDE= PBD+ BPD又 PBD=A， EPA=BPD， BED= BDE BE=BD 线段 AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k 为常数）， AE+BD=k ， AE+BD=AE+BE=AB=k，即 O 直径为常数k （5 分）（ 3）

27、PB 切 O 于 B 点， AB 为直径 PBA=90 A=60 PB=PA?sin60 =PA，又 PA?BD=PB ?AE， BD=AE ，线段 AE、BD 的长是一元二次方程x2kx+2=0 的两根（ k 为常数） AE?BD=2，即AE2=2，解得： AE=2 ，BD=， AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在 RtPBA 中， PB=AB ?tan60 =（2+）=3+2在 RtPBE 中， tanBPF=2， FPA=BPF， tanFPA=2点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与

28、方程思想的应用8 （2005?柳州）已知，如图，直线l 与 O 相切于点D，弦 BCl，与直径AD 相交于点 G，弦 AF 与 BC 交于点E，弦 CF 与 AD 交于点 H（1）求证： AB=AC ；（2）如果 AE=6 ，EF=2，求 AC考点 ： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理专题 ： 计算题；证明题；压轴题分析：（1）根据切线的性质知道AD L，由 BCl 可得 AD BC，那么可得到AB 和 AC 所对的弧相等，进而得到 AB=AC ；（ 2）根据（ 1）可知 F=B= ACB ，由此即可证明AEC ACF ，然后利用其利用对应线段成比例可精选学习资料 - - - - - - -

29、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页学习必备欢迎下载以解决问题解答：（1）证明：直线l 与 O 相切于点 D， AD l， BCl， AD BC AB=AC （ 2）解： AB=AC ， B=ACB B=F， F=ACB 又 EAC= FAC， AEC ACF =， AE=4点评：本题用到的知识点为： 弧相等，弧所对的弦也相等； 相似三角形中的对应线段成比例来9 （2006?黄冈）如图， AB 、AC 分别是 O 的直径和弦，点D 为劣弧 AC 上一点，弦ED 分别交 O 于点 E，交AB 于点 H，交 AC 于点 F，过点 C 的切线交ED 的延长线于点

30、P（1）若 PC=PF，求证： ABED；（2）点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD2=DE?DF，为什么？考点 ： 切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题分析：（1）作辅助线，连接OC根据切线的性质，OCPC根据 PC=PF，OC=OA ，可得： PCF=PFC， OCF= OAC在 RtFHA 中，可得：FHA=90 ，故 ABED ；（ 2）根据 AD2=DE?DF，可得： FAD AED ， FAD= DEA 从而可知：=，即 D 在劣弧 AC的中点解答：（1）证明：连接OC， PC 为 O 的切线， OCP=FCP+ OCF=90 ， PC=PF

31、， PCF=PFC， OA=OC ， OCA= OAC， CFP= AFH ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页学习必备欢迎下载 AFH+ OAC=90 ， AHF=90 ，即： ABED（ 2）解： D 在劣弧 AC 的中点时，才能使AD2=DE?DF连接 AE若 AD2=DE?DF，可得： FAD AED ， FAD= DEA ，=即 D 为劣弧 AC 的中点时，能使AD2=DE?DF点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形性质的运用10已知：如图，在半径为4 的 O 中， AB ，CD 是两条直径，M 为

32、OB 的中点， CM 的延长线交 O 于点 E，且EMMC连接 DE，DE=（1）求证： AM ?MB=EM ?MC ；（2）求 sinEOB 的值；（3）若 P是直径 AB 延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE 是 O 的切线考点 ： 切线的判定；相似三角形的判定与性质专题 ： 计算题；压轴题分析：（1）连接 AE， BC，由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再根据对顶角相等，利用两对应角相等的两三角形相似，得到三角形AEM 与三角形CBM 相似，由相似得比例，化简后即可得证；（ 2）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE 的长，再由相交弦定理求出EM 的长，根据所求EM 的长与半径相等

33、判断出OEM 为等腰三角形，过E 作 EF OM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sinEOB 的值；（ 3）由 EO=EM ，EF 垂直于 OM ，得到 F 为 OM 的中点，由M 为 OB 中点，求出OM 的长，可得出OF的长，由OB+BP=OP ，得出 OP 的长，利用OPOF 求出 FP 的长，再由EF 的长，利用勾股定理求出EP的长，在三角形OEP 中，再利用勾股定理的逆定理判断出三角形OEP 为直角三角形，可得OEP 为直角，即 EP 垂直于 OE，可得 EP 为圆 O 的切线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

34、 - - -第 15 页，共 26 页学习必备欢迎下载解答：解： （1）连接 AE，BC， AEC 与 MBC 都为所对的圆周角， AEC= MBC ，又 AME= BMC （对顶角相等） ， AME CMB ， AM ：CM=EM ：MB ，即 AM ?MB=EM ?MC ；（ 2）如图， DC 为 O 的直径， DEEC， DC=8， DE=， EC=7，设 EM=x ，由于 M 为 OB 的中点， BM=2 ，AM=6 ， AM ?MB=x ?（7x） ，即 6 2=x（7x） ，整理得： x27x+12=0，解得： x1=3，x2=4， EMMC， EM=4， OE=EM=4 ， OE

35、M 为等腰三角形，过 E 作 EFOM，垂足为 F，则 OF=OM=1 ， EF=， sinEOB=；（ 3）在 RtEFP 中， EF=，PF=FB+BP=3+12=15 ，根据勾股定理得：EP=4，又 OE=4，OP=OB+BP=4+12=16 ， OE2+EP2=16+240=256， OP2=256， OE2+EP2=OP2， OEP=90 ，则 EP 为圆 O 的切线点评：此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，其中证明切线的方法有两种：有点连接此点与圆心证直线与半径垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径1

36、1 （2012?临沂）如图，点A、B、C 分别是 O 上的点， B=60 ，AC=3 ，CD 是 O 的直径， P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证： AP 是 O 的切线；（2）求 PD 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页学习必备欢迎下载考点 ： 切线的判定；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）首先连接 OA ， 由 B=60 ， 利用圆周角定理， 即可求得 AOC 的度数， 又由 OA=OC ， 即可求得 OAC与 OCA 的度数， 利用三角形外角的性质，求得 AOP 的度数， 又由 A

37、P=AC ，利用等边对等角，求得 P，则可求得 PAO=90 ，则可证得AP 是 O 的切线；（ 2）由 CD 是 O 的直径， 即可得 DAC=90 ，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长解答：（1）证明：连接OA B=60 ， AOC=2 B=120 ，又 OA=OC ， ACP= CAO=30 ， AOP=60 ， AP=AC ， P=ACP=30 ， OAP=90 ， OAAP， AP 是 O 的切线，（ 2）解：连接AD CD 是 O 的直径， CAD=90 ， AD=AC ?tan30 =3=， ADC= B=60 ， PAD=ADC P=60 30 =30 ，

38、 P=PAD， PD=AD=点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用12 （2012?陕西）如图，PA、 PB 分别与 O 相切于点A、B，点 M 在 PB 上，且 OM AP，MN AP，垂足为N（1）求证： OM=AN ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页学习必备欢迎下载（2）若 O 的半径 R=3， PA=9，求 OM 的长考点 ： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质专题 ：

39、几何综合题分析：（1）连接 OA，由切线的性质可知OA AP，再由 MN AP 可知四边形ANMO 是矩形，故可得出结论；（ 2）连接 OB，则 OBBP 由 OA=MN ，OA=OB ，OM AP可知 OB=MN ， OMB= NPM 故可得出Rt OBM MNP，OM=MP 设 OM=x ，则 NP=9x，在 RtMNP 利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出结论解答：（1）证明：如图，连接OA，则 OA AP， MN AP， MN OA， OMAP，四边形ANMO是矩形， OM=AN ；（ 2）解：连接OB，则 OBBP OA=MN ，OA=OB ，OM AP OB=MN ， OMB=

40、NPM RtOBM RtNPM， OM=MP 设 OM=x ，则 NP=9x，在 RtMNP 中，有 x2=32+（9x）2 x=5，即 OM=5 点评：本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答13 （2012?东营）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切 O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN于点 C，（1）求证： OD BE；（2）如果 OD=6cm ，OC=8cm ，求 CD 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

41、纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页学习必备欢迎下载考点 ： 切线的性质；勾股定理专题 ： 几何综合题分析：（1）首先连接OE，由 AM 和 BN 是它的两条切线，易得ADO= EDO ， DAO= DEO=90 ，由切线长定理， 可得 AOD= EOD=AOE ，AOD= ABE，根据同位角相等，两直线平行， 即可证得OD BE；（ 2）由（ 1） ，易证得 EOD+ EOC=90 ，然后利用勾股定理，即可求得CD 的长解答：（1）证明：连接OE， AM 、DE 是 O 的切线， OA 、OE 是 O 的半径， ADO= EDO， DAO= DEO=90 ， （2 分

42、） AOD= EOD=AOE， ABE=AOE ， AOD= ABE， ODBE； （5 分）（ 2）由（ 1）得： AOD= EOD=AOE ，同理，有：BOC=EOC=BOE， AOD+ EOD+BOC+EOC=180 ， EOD+EOC=90 ， DOC 是直角三角形， （7 分） CD=10（cm） （9 分）点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用14 （2013?黄石）如图， AB 是 O 的直径， AM 和 BN 是 O 的两条切线， E 是 O 上一点， D 是 AM 上一点，连接 DE 并

43、延长交BN 于点 C，且 ODBE，OFBN 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页学习必备欢迎下载（1）求证： DE 与 O 相切；（2）求证： OF=CD考点 ： 切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析：（1）连接 OE，由 AM 与圆 O 相切，利用切线的性质得到OA 与 AM 垂直，即 OAD=90 ，根据 OD 与BE 平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，一对同位角相等，再由OB=OE ，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OA=OE ，OD 为公共边，利用SAS 得出三角形

44、AOD 与三角形EOD 全等，利用全等三角形的对应角相等得到OED=90 ，即 OE 垂直于 ED，即可得证；（ 2）连接 OC，由 CD 与 CB 为圆的切线，利用切线的性质得到一对直角相等，由OB=OE，OC 为公共边，利用 HL 得出两直角三角形全等，进而得到BOC= EOC，利用等量代换及平角定义得到COD=90 ，即三角形 COD 为直角三角形，由OF 与 BN 平行， AM 与 BN 平行，得到三线平行，由O 为 AB 的中的，利用平行线等分线段定理得到F 为 CD 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证解答：证明：（1）连接 OE， AM 与圆 O 相切， AM

45、 OA，即 OAD=90 ， ODBE， AOD= ABE， EOD=OEB， OB=OE， ABE= OEB， AOD= OEB， AOD= EOD，在 AOD 和 EOD 中， AOD EOD（SAS） ， OED=OAD=90 ，则 DE 为圆 O 的切线；（ 2）在 RtBCO 和 RtECO 中， RtBCORt ECO， BOC=EOC， AOD= EOD， DOC=EOD+EOC= 180 =90 ， AM 、BN 为圆 O 的切线， AM AB，BN AB ， AM BN， OFBN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

46、 20 页，共 26 页学习必备欢迎下载 AM OFBN ，又 O 为 AB 的中点， F 为 CD 的中点，则 OF=CD点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键15 （2012?枣庄）如图， AB 是 O 的直径，弦CD AB 于点 E，过点 B 作 O 的切线，交AC 的延长线于点F已知 OA=3 ，AE=2，（1）求 CD 的长；（2）求 BF 的长考点 ： 切线的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 计算题分析：（1）连接 OC，在 OCE 中用勾股定理计算求出CE 的长，

47、然后得到CD 的长（ 2）根据切线的性质得ABBF，然后用 ACE AFB，可以求出BF 的长解答：解： （1）如图，连接OC， AB 是直径，弦CDAB ， CE=DE 在直角 OCE 中， OC2=OE2+CE232=（32）2+CE2得： CE=2， CD=4（ 2） BF 切 O 于点 B， ABF=90 =AEC 又 CAE= FAB（公共角）， ACE AFB =即：= BF=6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页学习必备欢迎下载点评：本题考查的是切线的性质，（1）利用垂径定理求出CD 的长 （2）根据

48、切线的性质，得到两相似三角形，然后利用三角形的性质计算求出BF 的长16 （2012?达州）如图， C 是以 AB 为直径的 O 上一点，过O 作 OEAC 于点 E，过点 A 作 O 的切线交OE 的延长线于点F，连接 CF 并延长交BA 的延长线于点P（1）求证： PC 是 O 的切线（2）若 AF=1， OA=，求 PC 的长考点 ： 切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析：（1）连接 OC，根据垂径定理， 利用等角代换可证明FAC= FCA ，然后根据切线的性质得出FAO=90 ，然后即可证明结论（ 2）先证明 PAF PCO，利

49、用相似三角形的性质得出PC 与 PA 的关系，在Rt PCO 中，利用勾股定理可得出x 的值，继而也可得出PC 得长解答：（1）证明：连接OC， OEAC ， AE=CE ，FA=FC ， FAC= FCA ， OA=OC （圆的半径相等） ， OAC= OCA， OAC+ FAC=OCA+ FCA ，即 FAO=FCO， FA 与 O 相切，且AB 是 O 的直径， FAAB ， FCO=FAO=90 ， CO 是半径， PC 是 O 的切线；（ 2）解： PC 是 O 的切线， PCO=90 ，又 FPA= OPC， PAF=90 ， PAF PCO， CO=OA=，AF=1， PC=PA

50、，设 PA=x，则 PC=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页学习必备欢迎下载在 RtPCO 中，由勾股定理得：，解得：， PC=2=点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度17 （2012?衢州） 如图， 在 RtABC 中，C=90 ，ABC 的平分线交AC 于点 D，点 O 是 AB 上一点， O 过 B、D 两点，且分别交AB、 BC 于点 E、F（1）求证： AC 是 O 的切线；（2）已知 AB=10