2022年圆锥曲线知知识总结及典型题型 .pdf

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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线知知识总结及典型题型1. 圆锥曲线的定义 ：椭圆中 ，与两个定点21,FF的距离的和等于常数a2，且此 常数a2一定要大于|21FF，当常数等于|21FF时，轨迹是线段21FF，当常数小于|21FF时，无轨迹；双曲线中 ， 与两定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数a2， 且此常数a2一定要小于|21FF，定义中的 “绝对值”与a2|21FF不可忽视 。若a2|21FF，则轨迹是以21FF为端点的两条射线，若a2|21FF，则轨迹不存在。若a2=0，则轨迹是线段21FF的中垂线；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： 已知定点， 在满足下列条件的平面上动

2、点P的轨迹中是椭圆的是（）A BC D（答： C）；方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）3. （2008 北京，理4）若点P到直线1x的距离比它到点(2 0)，的距离小1，则点P的轨迹为（）A. 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆 ：焦点在轴上时（）（参数方程，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载其中为参数）， 焦点在轴上时 1（）。 方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C

3、同号， A B）。比如：已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：）；若， 且， 则的最大值是 _，的最小值是 _ （答：）（2）双曲线 ：焦点在轴上： =1 ，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_（答：）；设中心在坐标原点，焦点21,FF在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则 C的方程为 _（答：）（3）抛物线 ：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆 ：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知

4、方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是 _ （答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）双曲线 ：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。焦点到原点的距离等于一次项系数的四分之一；4. 圆锥曲线的几何性质 ：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 . （0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(0

5、2a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a点集： M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线l 的距离 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围a x a， b y b |x| a ，yR x 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备

6、欢迎下载双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：或）；双曲线的离心率为，则= （答： 4或）；设双曲线（ a0,b0 ）中，离心率 e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：）；中心原点 O（0，0）原点 O （0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0 ,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直

7、于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（3）抛物线 （以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；5、点和椭圆（）的关系 ：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭

8、圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）联立Cl消元得02cbxax（或02cbyay）当0a，o直线与曲线相交（2 个交点）；o直线与曲线相切（1个交点）；o直线与曲线相离（0 个交点）；当0a，曲线定不是椭圆；若曲线是双曲线，则直线l 与渐近线平行（1 个交点）或重合（0 个交点）；若曲线是抛物线。则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合（1 个交点）；比如：直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1 ，5）（ 5，+）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载对于抛物线C：，我们

9、称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是 _（答：相离）；特别提醒 ：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。1，双曲线过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2 条（ 2 与渐近线平行）过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3 条（ 1 切线 +2 与渐近线平行）过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4 条（ 2 切线 +2与渐近线平行）若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条

10、与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；注意：点在两条渐近线上但非原点，只有两条（1 切线 +2 与另一渐近线平行）；P为原点时不存在这样的直线；2，抛物线过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有1 条（与对称轴平行）过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1 条（ 1 切线 +1 与对称轴平行）过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有3 条（ 2 切线 +1与对称轴平行）比如： 过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2）；过点 (0,2) 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：）；若直线 y=kx+2 与双

11、曲线x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 _ （答：(-,-1) ）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有_条（答： 3）；过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与 FQ的长分别是、，则_（答： 1）；设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为_( 填大于、小于或等于) （答：等于）；求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；直线与双曲线交于、两点。当为何

12、值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时， 以 AB为直径的圆过坐标原点？（答：； ） ；10、弦长公式 ：若直线与圆锥曲线相交于两点A、 B，且分别为 A、B的横坐标，则，若分别为 A、B的纵坐标，则，若弦 AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如： 过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）， B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么 |AB| 等于 _（答： 8）；过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知 |AB|=10 ，O为坐标原点，则ABC重心

13、的横坐标为_（答： 3）；11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或 “点差法” 求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=； 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如：如果椭圆弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：）；已知直线y= x+1 与椭圆相交于 A、B两点， 且线段 AB的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：）；试确定 m的取值范围， 使

14、得椭圆上有不同的两点关于直线对称 （答：）；特别提醒 ：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12你了解下列结论吗 ？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载1. （2014 北京，理11）设双曲线C经过点2,2，且与2214yx具有相同渐近线，则C的方程为 _；渐近线方程为_. 【答案】221312xy；2yx（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆), 0,0(

15、nmnm；双曲线方程可设为（0mn）；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6） 若抛物线的焦点弦为AB ， 则；（7）若 OA 、OB是过抛物线顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点13动点轨迹方程 ：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点 F(1,0) 和直线的距离之和等于4，求 P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根

16、据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载如线段 AB过 x 轴正半轴上一点M （m ，0），端点 A、B到 x 轴距离之积为2m ，以 x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1) 由动点 P向圆作两条切线PA 、PB ，切点分别为A、B ，APB=600，则动点 P的轨迹方程为（答：）；（2）点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线的距离

17、小于1，则点 M的轨迹方程是 _ （答：）；(3)一动圆与两圆 M ：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P是抛物线上任一点，定点为, 点 M分所成的比为2，则 M的轨迹方程为 _（答：）；参数法： 当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（ 1）AB是圆 O的直径，且 |AB|=2a，M为圆上一动点，作MN AB ，垂足为N，在 OM上取点，使，求点的轨迹。

18、（答：）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是 _（答：）；（3）过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点 M的轨迹方程是_（答：）；注意 ：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（ c， 0）、F2（c，0）， Q是椭圆外的动点，满足点 P是线段 F1Q与该椭圆的交点，点T 在线段 F2Q上，并且满足（1）设为点 P的横坐标，证明；（ 2）求点 T的轨迹 C的方程；（ 3）试问：在点T 的轨迹 C上，是否存在点M ，使 F1MF2的面积 S=若存在，求 F1MF2的正切值； 若不存在，请说明理由 . （答： （1）略； （2）； （3）当时不存在；当时存在，此时F1MF22）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页