2022年选修含绝对值不等式 .pdf

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1、选修 4-5 含绝对值不等式【2013年高考会这样考】1考查含绝对值不等式的解法2考查有关不等式的证明3利用不等式的性质求最值【复习指导】本讲复习时， 紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明 该部分的复习以基础知识、 基本方法为主， 不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质. 基础梳理1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f(x)a 或 f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)? af(x)a；(3)对形如 |xa|xb|c，|xa|xb|c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解2含有绝对值的不等式的性质|a|b|a

2、 b|a|b|. 3基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab.当且仅当 ab 时，等号成立定理 2：如果 a、b 为正数，则ab2ab，当且仅当 ab 时，等号成立定理 3：如果 a、b、c 为正数，则abc33abc，当且仅当 abc 时，等号成立定理 4：(一般形式的算术几何平均值不等式)如果 a1、a2、an为 n 个正数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页则a1a2 annna1a2an，当且仅当 a1a2 an时，等号成立5不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、

3、放缩法等双基自测1不等式 1|x1|3 的解集为 _答案(4，2)(0,2) 2不等式 |x8|x4|2 的解集为 _解析令：f(x)|x8|x4|4，x4，2x12，4x8，4，x8，当 x4 时，f(x)42；当 4x8 时，f(x) 2x122，得 x5， 4x5；当 x8 时，f(x)42 不成立故原不等式的解集为： x|x5答案x|x5 3已知关于 x 的不等式 |x1|x|k 无解，则实数 k 的取值范围是 _4 柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 为实数， 则(a2b2) (c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc 时等号成立(2)若 ai， bi(i N

4、*)为实数，则(i1na2i)(i1nb2i)(i1naibi)2，当且仅当bi0(i1,2， n)或存在一个数k，使得ai kbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设 ，为平面上的两个向量，则| | | |，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页解析 |x1|x|x1x|1，当k1 时，不等式 |x1|x|k无解，故 k1. 答案k1 4若不等式 |3xb|4 的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 b 的取值范围为_解析由|3xb|4，得b43xb43，即0

5、b431，3b434，解得 5b7. 答案(5,7) 5(2011 南京模拟 )如果关于 x 的不等式 |xa|x4|1 的解集是全体实数，则实数 a 的取值范围是 _解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a5 或 a3. 答案(， 53， ) 考向一含绝对值不等式的解法【例 1】?设函数 f(x)|2x1|x4|. (1)解不等式 f(x)2；(2)求函数 yf(x)的最小值审题视点 第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f(x)的图象可求 f(x)的最小值解(1)f(x)|2x1|x4|x5x12，3x3 12x4 ，x5 x4 .当 x12时，由 f(x) x52 得

6、，x7.x7；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页当12x4 时，由 f(x)3x32，得 x53，53x4；当 x4 时，由 f(x)x52，得 x3，x4. 故原不等式的解集为x x7或x53. (2)画出 f(x)的图象如图：f(x)min92. (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集， 注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法【训练 1

7、】 设函数 f(x)|x1|xa|. (1)若 a1，解不等式 f(x)3；(2)如果? xR，f(x)2，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，f(x)2x， x1，2， 1x1，2x， x1.作出函数 f(x)|x1|x1|的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页由图象可知，不等式的解集为x|x32或x32. (2)若 a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若 a1，f(x)2xa1， xa，1a， ax1，2x a1 ， x1，f(x)的最小值为 1a. 若 a1，f(x)2xa

8、1，x1，a1，1xa，2x a1 ，xa，f(x)的最小值为 a1. 对于 ? xR，f(x)2 的充要条件是 |a1|2，a 的取值范围是 (， 13， )考向二不等式的证明【例 2】?证明下列不等式：(1)设 ab0，求证： 3a32b33a2b2ab2；(2)a24b29c22ab3ac6bc；(3)a68b6127c62a2b2c2. 审题视点 (1)作差比较； (2)综合法； (3)利用柯西不等式证明(1)3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ab) (ab)(3a22b2) ab0， ab0,3a22b20. (ab)(3a22b2)0. 精选学习资料 - - -

9、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页 3a22b33a2b2ab2. (2) a24b22 a2 4b24ab，a29c22 a2 9c26ac，4b29c22 4b2 9c212bc， 2a28b218c24ab6ac12bc， a24b29c22ab3ac6bc. (3)a68b6127c63 3827a6b6c6323a2b2c22a2b2c2， a68b6127c62a2b2c2. (1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤是：作差；分解因式；与0 比较；结论关键是代数式的变形能力(2)注意观察不等式的结构，利

10、用基本不等式或柯西不等式证明【训练 2】(2010 辽宁)已知 a， b， c均为正数，证明： a2b2c21a1b1c26 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立证明法一因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得，a2b2c23(abc)23，1a1b1c3(abc)13，所以1a1b1c29(abc)23，故 a2b2c21a1b1c23(abc)239(abc)23. 又 3(abc)239(abc)232 276 3，所以原不等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页当且仅当 abc 时，式和式等号成立

11、当且仅当 3(abc)239(abc)23时，式等号成立故当且仅当 abc314时，原不等式等号成立法二因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.所以 a2b2c2abbcac.同理1a21b21c21ab1bc1ac，故 a2b2c21a1b1c2abbcac3ab3bc3ac6 3.所以原不等式成立当且仅当 abc 时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23 时，式等号成立故当且仅当abc314时，原不等式等号成立考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值【例 3】?已知 a，b，cR，且 abc1，求3a13b13c1

12、的最大值审题视点 先将 (3a13b13c1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不等式求解解法一利用基本不等式 (3a1 3b1 3c1 )2 (3a 1) (3b 1) (3c 1) 23a1 3b123b1 3c123a1 3c1(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1) 3(3a1)(3b1)(3c1)18，3a13b13c13 2，(3a13b13c1)max3 2. 法二利用柯西不等式(121212)(3a1)2(3b1)2(3c1)2(1 3a1 1 3b113c1)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

13、- - - - - - -第 7 页，共 10 页(3a13b13c1)233(abc)3又abc1，(3a13b13c1)218，3a13b13c13 2. 当且仅当3a13b13c1时，等号成立(3a13b13c1)max3 2. 利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立【训练 3】 已知 abc1，ma2b2c2，求 m 的最小值解法一abc1，a2b2c22ab2bc2ac1，又a2b22ab，a2c22ac，b2c22bc，2(a2b2c2)2ab2ac2bc，1a2b2c22ab2bc2ac3(

14、a2b2c2)a2b2c213. 当且仅当 abc 时，取等号， mmin13. 法二利用柯西不等式(121212)(a2b2c2)(1 a1 b1 c)abc1. a2b2c213，当且仅当 abc 时，等号成立mmin13如何求解含绝对值不等式的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对不等式选讲 的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参 )或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题【示例】? (本题满分 10 分)(2011 新课标全国 )设函数 f(x)|xa|3x，其中 a0. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x2 的解集；精选学习资料 - -

15、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页(2)若不等式 f(x)0的解集为 x|x1，求 a 的值第(2)问解不等式 |xa|3x0 的解集，结果用a 表示，再由 x|x1求 a. 解答示范 (1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为 |x1|2. 由此可得 x3 或 x1. (3 分) 故不等式 f(x)3x2 的解集为 x|x3 或 x1(5 分) (2)由 f(x)0 得，|xa|3x0. 此不等式化为不等式组xa，xa3x0或xa，ax3x0，即xa，xa4或xa，xa2.(8 分) 因为 a0，所以不等式组的解集为x xa2. 由

16、题设可得a21，故 a2.(10 分) 本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m 为正常数 )，利用实数绝对值的几何意义求解较简便【试一试】(2011辽宁)已知函数 f(x)|x2|x5|. (1)证明： 3f(x)3；(2)求不等式 f(x)x28x15 的解集尝试解答 (1)f(x)|x2|x5|3，x2，2x7，2x5，3，x5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页当 2x5 时，32x73.所以3f(x)3. (2)由(1)可知， 当 x2 时， f(x)x28x15的解集为空集 ； 当 2x5 时， f(x)x28x15 的解集为 x|53x5 ；当 x5 时，f(x)x28x15 的解集为 x|5x6综上，不等式 f(x)x28x15 的解集为 x|53x6.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页