2022年高中数学选修不等式选讲p .pdf

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1、不 等 式 选 讲 1 A 组1若,a b是任意的实数,且ab, 则( ) (A)22ba (B)1ab (C) lg()0ab (D)ba)21()21(2不等式32x的解集是 ( ) (A) )32,( (B) )32,(),0( (C) )0,32(), 0( (D) )0 ,32(3不等式125xx的解集为 ( ) (A) ,22, (B) , 21, (C) , 32, (D) ,23,4若0n, 则232nn的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 5若 A=(3)(7)xx，B=(4)(6)xx，则 A，B的大小关系为 _.6设a，b，c是不全相等的正数

2、，求证：1）()()()8ab bccaabc；2）abcabbcca. 7.已知x，yR，求证222xy2()2xy8如图 1，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？9已知a，b，0c，且不全相等，求证222222()()()6a bcb acc ababc. 10 已知1a，2a，Ran，且121naaa，求证nnaaa2)1 ()1)(1(21. B 组11. 已知x，0y，且2yx. 试证：yx1，xy1中至少有一个小于2. 12. 求函数xxy21015的最大值 . 13

3、. 已知122ba，求证sincosba1. 14. 已知12yx，求22yx的最小值 . 15. 已知10432zyx，求222zyx的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页16. 已知a，b，c是正数，求证2229abbccaabc. 17. 证明：)(53Nnnn能够被 6 整除 . 18.设, ,a b cR,求证：32abcbccaab. 不 等 式 选 讲 答 案1. D. 提示：注意函数1( )2xy的单调性；2. B. 提示：先移项，再通分，再化简；3. D. 提示：当x 2 时，原不等式可以

4、化为(1)(2)xx 5，解得x 3，即不等式组2125xxx的解集是(,3. 当21x时，原不等式可以化为(1)(2)xx5，即 35，矛盾 . 所以不等式组21125xxx，的解集为，当x1 时，原不等式可以化为(1)(2)xx 5，解得x2，即不等式组1125xxx的解集是2 ,). 综上所述，原不等式的解集是(,32 ,);4. C.提示：22323222nnnnn;5. AB. 提示：通过考察它们的差与0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系. 因为(3)(7)(4)(6)xxxx22(1021)(1024)xxxx30所以(3)(7)(4)(6)xxxx; 6提示：2abab，2

5、bcbc，2caca分别将以上三式相乘或相加即可; 7. 提示 :222222222()()2()2442xyxyxyxyxyxy; 8. 提示 : 设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则2(2 )Vaxx3311 (2 )(2 )42(2 )(2 )444327axaxxaaxaxx当且仅当224axaxx，即当6ax时，不等式取等号，此时V取最大值3227a. 即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，盒子容积最大. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页9. 分析：观察欲证不等式的特点，左边3 项

6、每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的 6 倍. 这种结构特点启发我们采用如下方法. 证明：因为22bc2bc，0a，所以22()a bc2abc. 因为22ca2ac，0b，所以22()b ca2abc. 因为22ab2ab，0c，所以22()c ab2abc. 由 于a，b，c不 全 相 等 ， 所 以 上 述 式 中 至 少 有 一 个 不 取 等 号 ， 把 它 们 相 加 得222222()()()6a bcb acc ababc. 10提示：观察要证明的结论，左边是n个因式的乘积，右边是2 的n次方，再结合121naaa，发现如果能将左边转化为1a，2a，na

7、的乘积，问题就能得到解决. 证明：因为Ra1，所以111121aaa，即1121aa. 同理，2221aa，nnaa21.因为1a，2a，Ran，由不等式的性质，得nnnnaaaaaa22)1 ()1)(1 (2121. 因为1ia时，iiaa21取等号，所以原式在121naaa时取等号 . 11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. 另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2 或两个分式都小于2 等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2 是不可能的即可. 于是考虑采用反证法. 证明：假设yx1，xy1都不小于2，即21yx，且21x

8、y. 因为x，0y，所以yx21，且xy21. 把这两个不等式相加，得)(22yxyx，从而2yx. 这与已知条件2yx矛盾 . 因此，yx1，xy1都不小于2 是不可能的，即原命题成立. 12. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为bdac的形式就能利用柯西不等式求其最大值. 解：函数的定义域为5,1，且0y. xxy521522225(2)(1)( 5)xx36427当且仅当xx5512时，等号成立，即27127x时函数取最大值36. 13. 提示 : 2cossin( cossin)abab222

9、222()(cossin)1abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页14. 提示 : 22222221(2 )(12 )()5()xyxyxy2215xy. 15. 提示 : 2222222100(234 )(234 )()xyzxyz222100.29xyz16. 提示 :1112()()abcabbcca2111()()()()(1 1 1)9.2229.abbccaabbccaabbccaabc17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证1n时命题成立；第二步要明确

10、目标，即在假设kk53能够被 6 整除的前提下，证明) 1( 5) 1(3kk也能被6 整除 . 证明： 1）当1n时，653nn显然能够被6 整除，命题成立. 2）假设当)1(kkn时，命题成立，即kk53能够被 6 整除 . 当1kn时，55133)1(5) 1(233kkkkkk633)5(23kkkk6)1(3)5(3kkkk. 由 假 设 知kk53能 够 被6 整 除 ， 而)1(kk是 偶 数 ， 故) 1(3kk能 够 被6 整 除 ， 从 而6) 1(3)5(3kkkk即) 1(5)1(3kk能够被 6 整除 . 因此，当1kn时命题成立 . 由 1）2）知，命题对一切正整数成立，即)(53Nnnn能够被 6 整除 ; 18. 证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：91112abcbccaab即只须证：1112()()9abcbccaab由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。（法二）由对称性，不妨设：0abc,则111bccaab，所以：（顺序和）abcbcabccaabbccaab（乱序和）（顺序和）abccabbccaabbccaab（乱序和）将以上两式相加即得：32abcbccaab.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页