2022年高中数学高考综合复习专题三十四概率与统计 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载高中数学高考综合复习专题三十四概率与统计 ( 一)高中数学高考综合复习专题三十四概率与统计（一）一、知识网络二、高考考点1. 离散型随机变量的分布列、期望与方差以及运用期望与方差的意义解决实际问题；2. 抽样方法的概念与区别；3. 总体分布值所用的计算；正态分布的公式以及正态分布曲线的性质应用；4. 线性相关以及回归方程的意义。1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页学习好资料欢迎下载三、知识要点（一）随机变量凡是对现象的观察或为此而进行的实验都称之为试验，一个试验如果满足下述条件：试验可以在相同情

2、形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但是一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果；那么这个试验称之为一个随机试验。1、定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量。随机变量通常用希腊字母、 等表示。认知：随机变量，用来表示随机试验结果的变量，其中（1）如果随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这一随机变量叫做离散型随机变量；（2）如果随机变量可以取某一区间内的一切值，则这一随机变量叫做连续型随机变量。2、性质（1）若 是随机变量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

3、结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（2）若 是随机变量，量。3、离散型随机变量的分布列（1）概率分布（分布列）设离散型随机变量 的可能取的值为 取每一个值的概率，则表是单调函数或连续函数，则也是随机变量，即随机变量的某些函数也是随机变（a，b 为常数），则 也是随机变量，即随机变量的一次型函数也是随机变量；称为随机变量 的概率分布，简称为 的分布列。离散型随机变量的分布列具有下述性质（）（）； 2 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率，等于它取这个范围内各个值的概率之和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

4、 - - -第 3 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（2）二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，其中 k=0，1，2， n，q=1-p. 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布：记作B（n，p）， 其中n，p 为参数，并记（3）几何分布设在一次试验中某事件发生的概率为p，又设在独立重复实验中，某事件第一次发生时所作试验的次数为，则“ =k”表示在第k 次独立重复实验时事件第一次发生，于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称此时 服从几何分布，并记4、离散型随机变量的期望与方差. 期望（1）定义若

5、离散型随机变量 的概率分布为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页学习好资料欢迎下载，其中 q=1-p，k=1，2，3，.则称一切可能值与对应的概率为 的数学期望或平均数、均值，简称期望，即分布列中随机变量的的乘积的和叫做随机变量 的数学期望；反映了离散型随机变量取值的平均水平，是反映随机变量 集中趋势的指标（相当于质点分布的重心）；3 为常量。（2）数学期望的性质（）如果得特例：当 a=0 时有当 b=0 时有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 2

6、8 页学习好资料欢迎下载当 a=1 时有（）（3）二项分布的期望若 B（n，p），则，即随机变量 与常数之和的期望等于这个常数与随机变量 的期望的和。，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积；，即常数的数学期望为常数本身；（其中 a，b 为常数），则 也是随机变量。并且由，即随机变量 的线性函数的数学期望，等于它的数学期望的同一线性函数。可即若随机变量 服从二项分布，则它的期望等于独立重复试验的次数n 与在一次试验中事件发生的概率p 的乘积。（4）几何分布的期望若随机变量 服从几何分布，且. 方差（1）定义：当随机变量 的分布列为叫做随机变量 的均方差，简称方差；认知：随机

7、变量 的数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页学习好资料欢迎下载的稳定与波动、集中与离散的程度。值的偏差大小。（2）随机变量函数的方差则 时， 的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作，即 = 。 反映离散型随机变量取值的平均水平。与 都反映了随机变量 关于期望则反映随机变量 的取值与期望越小，稳定性越高，波动性越小；标准差越小，则 与其期望值的偏差越小。4 对于随机变量函数特例：（）当 a=0 时有（）当 b=0 时有积。（）当 a=1 时有（3）二项分布的方差精选学习资料 - - - - - - - - -

8、名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页学习好资料欢迎下载若 B（n，p）. 则（4）几何分布的方差（a，b 为常数），即常数的方差等于0。 ，即随机变量与常数乘积的方差，等于这一常数的平方与这个随机变量方差的乘 ，即随机变量与常数之和的方差，等于这个随机变量的方差本身。若随机变量 服从几何分布，且四、经典例题例 1设离散型随机变量 的分布列为则试求（1）（2）分析：（1）注意到的概率；，在由题设得出的所有取值之后，借助计算 取各值的分布列。的分布列；（2）注意到这里，故求的分布列时注意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

9、- -第 8 页，共 28 页学习好资料欢迎下载5 解：（1）注意到这里由已知得的分布列：（2）注意到由已知得的分布列，提醒：我们在这里看到，当 取不同值时，同值的各种情况。例 2一个盒子中有9 个正品和 3 个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品则不再放回，求直到取得正品为会取相同的值，故求时要考虑到 取相止已经取出的次品数 的概率分布，并求解：注意到这里“取出的次品不再放回”，随机变量（次品件数）的可能取值为0，1，2，3，而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页学习好资料欢迎下载k+1 次零件，其中前k 次

10、取得的都是次品，第k+1 次取得正品（ k=0，1，2，3）。 表示：共取又 ，即第一次取到正品，试验结束，此时，；，第一次取到次品，第二次取到正品。此时，；同理可得；故得随机变量 的分布列6 点评：欲求随机变量的分布列，首先须明确随机变量可能取的每一个值，以及 取每一个值时所表示的意义，进而再求随机变量取每一个值时的概率。例 3一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6 个交通岗。假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为（1）设 为这名学生在上学途中遇到的红灯次数，求 的分布列；（2）设 为这名学生首次停车前经过的路口数，求 的分布列；精选学习资料 - - - - - -

11、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（3）求这名学生在上学途中至少遇到一次红灯的概率。解：（1）由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6且将在每个交通岗遇到的信号看作一次试验，遇红灯的概率均为，且每次试验相互独立，故 的分布列为（2）令 表示前 k 个路口没有遇到红灯，但在第k+1 个路口遇上红灯，注意到在各个路口遇到红灯的独立性，故有又 表示一路没有遇上红灯，其概率为，于是可得的分布列为（3）由（ 2）得所求概率为7 点评：本题通过3 个设问，分别考察了n 次独立重复试验中事件A发生k 次的概率，独立事件同时发生的概率以

12、及互斥事件有一个发生的概率。为了今后的解题，应注意品悟本题（1）、（ 2）中概率的区别与联系，以防误将有关概率分布判断为二项分布。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页学习好资料欢迎下载例 4某车间有 10 台各为 7.5kw 的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12 分钟，试求全部机床用电超过48kw的可能性有多大？解：注意到相互独立的每台机床正在工作的概率为，而且每台机床都有“工作”与“不工作”两种情况，故每一时刻正在工作的机床数 服从二项分布，即 根据题意， 48kw可供 6 台

13、机床同时工作，用电超过48kw即意味着有7台或 7 台以上的机床同时工作。这一事件的概率为由此可知这一车间的用电量超过48kw的可能性是极小的，据此，人们便可以适当选择供电设备，做到既保证供电又合理节约用电。点评：用心审题，适时转化为相应的概率模型解决问题。在这里，明确某一时刻正在工作的机床台数 服从二项分布是解题关键。一般地，如果所考察的试验是一个只有两种结果A和发生的次数 服从二项分布。例 5设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求，的试验的 n 次独立重复，则在n 次试验中事件A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页

14、，共 28 页学习好资料欢迎下载解：注意到离散型随机变量的分布列的性质：（1）（2） ；8 由题设得 的分布列为： ，点评：当分布列中的概率值为待定常数时，要首先由离散型随机变量的分布列的性质确定待定常数的值，进而方可计算其期望和方差。本题容易出现的错解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页学习好资料欢迎下载机变量分布列的性质。例 6 ，错解根源在于忽略了随（1）已知随机变量 只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，试求公差d 的取值范围。（2）已知 B（2，P）， B（4，p）且解：（1）设 的分布列

15、为注意到 的分布列的性质（）（）， ，试求之值。， ；由（）得（利用明朗的等量关系）9 由（）、（）得（导出隐蔽的不等关系）当 时，由，得，解得当 d0 时，由，得，解得由、得公差d 的取值范围为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（2）由 B（2，p）得由题设得解得又 B(4，p)即 B 。例 7某射手进行射击练习，每射击5 发子弹算一组，一旦命中便停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5 发子弹后才能进入下一组练习。若该射手在某组练习中命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8 ，求在这

16、一组练习中耗用的子弹数 的分布列，并求出 的期望 E和方差 D（结果保留两位小数）。解：该组练习耗用的子弹数 为随机变量， 的可能取值为1，2，3，4，5；则=1，表示第一发命中，其概率=2，表示第一发未中，第二发命中，其概率=3，表示第一、二发未中，第三发命中，其概率=4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，其概率=5，表示第一、二、三、四发未中，第五发命中，其概率因此， 的分布列为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页学习好资料欢迎下载10 ； ； ； ； ；五、高考真题1（2005北京卷）甲、乙两人各进行3 次

17、射击，甲每次击中目标的概率为（1）记甲击中目标的次数为，求 的概率分布及数学期望E；（2）求乙至多击中目标2 次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率。分析：甲（或乙）进行3 次射击，可视为三次独立试验，乙每次击中目标的概率为，若设事件 M ：“甲击中目标”，则在一次试验中事件M发生的概率为 ， 由此想到由 n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率公式计算所求概率。解：（1） 的可能取值为0，1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页学习好资料欢迎下载2，3 又 ， ， ， 的概率分布为， 11 由此得（

18、2）根据三次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式，乙至多击中目标两次的概率或（3）设“甲恰比乙多击中目标2 次”为事件 A。“甲恰击中目标2 次而乙恰击中目标0 次”为事件 B1，“甲恰击中目标3 次而乙恰击中目标1 次”为事件 B2，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页学习好资料欢迎下载 ，且 B1，B2互斥。（）设：设出目标事件及其相关事件；（）寻：寻出目标事件与相关事件的联系；（）推：利用已知公式推理计算所求概率。点评：对于（ 3），这里运用的是比较复杂的概率问题的通用解题三部曲：2（2005全国卷

19、） 9 粒种子分种在3 个坑内，每坑3 粒，每粒种子发芽的概率为0.5 ，若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种。设定每个坑至多补种一次，每补种1 个坑需要 10 元，用 表示补种费用，写出 的分布列并求 的数学期望。分析：在三个坑的种植认为是三次独立重复试验，故从利用有关公式计算 3 个坑中若干坑需要补种的概率入手。解：由题设得单坑内 3 粒种子都不发芽的概率为，单坑不需要补种的概率为3 个坑都不需要补种的概率为，12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页学

20、习好资料欢迎下载3 个坑恰有一个坑需要补种的概率为，3 个坑恰有 2 个坑需要补种的概率为，3 个坑都需要补种的概率为补种费用 的分布列为 的数学期望，点评：首先断定三个坑的种植可视为三次独立重复试验，近而计算单坑不需要补种的概率，于是三个坑中若干坑需要补种的概率可一一算出。3（2005浙江卷）袋子A和 B装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是个红球的概率为P. （1）从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3 次摸到红球即停止（）求恰好摸5 次停止的概率；（）证 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量 的分布列及数学期望E。，从 B中摸出一（2）若 A、B两个袋

21、子中的球数之比为1：2，将 A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是的值。，求 P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页学习好资料欢迎下载分析：从 A袋中有放回地摸出一个球，视为一次独立试验，并且每次试验中“摸到红球”这一事件发生的概率均为。对于（ 1）（），第五次摸到的是红球，前4 次其中必有两次摸到红球；对于（ 1）（）， =0，1，2，3；对于（2），则是等可能性事件的概率。解：（1）（）由题设知，第五次摸到的是红球，而前四次中有2 次摸到红球；故恰好摸到5 次停止的概率为13 （）随机变量 的取值为

22、 0，1，2，3 由 n 次独立重复试验概率公式得，随机变量 的分布列为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（2）设 A 袋中有 m个球，则 B袋中有 2m个球由题意得由此解得点评：（）对于（ 1），注意到“有3 次摸到红球即停止”的条件，“=3”表示 5 次之内（含 5 次）摸到 3 个红球（同时停止摸球），它包括三种情形：恰好摸到第三次停止（即前三次摸到的都是红球）；恰好摸到第4 次停止；恰好摸到第5 次停止。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

23、 - -第 21 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（）对于（ 2）两袋的球装在一起后共3m个球，其中，摸到原来A袋中的红球有摸到原来 B袋中的红球有2mp种可能， m 种可能，由此得出两袋装在一起后，从中摸出一个球的概率为4. （2005广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s：t ，现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任取一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以 表示取球结束时已取到的球的次数。（1）求 的分布列；（2）求 的数学期望。分析：欲求 的分布列，首先确定 的所有可能取值，进而认知的值，将

24、每一次取球视为一次独立重复试验，则P（=k）的意义易于认知。解：（1）随机变量 的取值为 0，1，2， n，（ =n 表示 n 次取出的都是白球），由题设知“=k“表示共取k+1 次，最后一次取出的是黄球。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页学习好资料欢迎下载设则 表示“第 i 次取出的是白球” 表示“第i 次取出的是黄球”。，的意义，并求P（）由题设得，由于每次取球是相互独立的，故有 的分布列为当且 -得， ，则 p+q=1 点评：注意到n 的特殊性，这里而 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名

25、师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页学习好资料欢迎下载故“ =n”不可纳入“ =k”（ k=0，1，2， n-1）之中，这是解题时需要注意的。5（2005山东卷）袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取2 个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止。每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量 的概率分布；（3）求甲取到白球的概率。分析：设袋中原有n 个白球，则由已知条件易得n=3，=1，2， 5 ，注意到每一

26、取球取出白球（或黑球）的等可能性，故想到利用古典概型公式计算P（=k）解：（1）设袋中原有n 个白球，则由题设得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页学习好资料欢迎下载，由此解得n=3，即袋中原有3 个白球。（2）由题设，随机变量 的取值为 1，2，3，4，5，； 的分布列为：（3）注意到这里甲先取，所以甲只能在第1 次，第 3 次或第 5 次取到白球，并且这三个事件两两互斥，故甲取到白球的概率为：点评：理解、认知“=k”的意义至关重要。在这里，“=k”表示“共取球 k 次，其中第 k 次取出的是白球，前(k-1)

27、次取出的都是黑球”。因此，若 k 为奇数，则甲先取到白球，若k 为偶数，则乙先取到白球。至此，便为解题奠定了明晰而又可靠的基础。6（2005福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为和 ，投中得 1 分，投不中得0 分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分和 的数学期望；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。分析：注意到 为两人得分之和，故从设甲（或乙）投球一次命中的事件切入，从寻求目标事件与所设事件的联系突破。解：

28、（1）设事件 A：甲投球一次命中；事件 B：乙投球一次命中，则 ，甲乙两人得分之和的可能值为0，1，2 的分布列为：即每人在罚球线各投一次，两人得分的和 的数学期望为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页学习好资料欢迎下载（2）设“甲、乙两人各投球两次均不命中”为事件C，则 ，且 ， 相互独立甲、乙两人在罚球线投球两次，至少有一次命中的概率即所求事件的概率为点评：注意到甲、乙两人投球交错进行以及目标事件与两人投球事件的综合关系，故本题不适于应用n 次独立重复试验的概率公式，而适于应用前述通用解题三部曲。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页学习好资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页