2022年对数函数图象及其性质知识点及例题解析 .pdf

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1、对数函数的图象及性质例题解析题型一 判断对数函数【例 1】 函数 f(x)(a2a1)log(a1)x 是对数函数，则实数a _解析： 由 a2a11，解得 a0,1又 a 10，且 a11，a1【例 1 1】下列函数中是对数函数的为_（1）ylogax(a0，且 a1)；(2)ylog2x2；(3)y8log2(x1)；(4)ylogx6(x0，且 x 1)； (5)y log6x解析：序号是否理由(1)真数是x，不是自变量x(2)对数式后加 2 (3)真数为 x1，不是 x，且系数为8，不是 1 (4)底数是自变量x，不是常数(5)底数是 6，真数是 x题型二底数对图象的影响【例 2】如图

2、所示的曲线是对数函数ylogax 的图象已知a 从3，43，35，110中取值，则相应曲线C1， C2，C3，C4的 a 值依次为 () A3，43，35，110B3，43，110，35C43，3，35，110D43，3，110，35解析： 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数 C3的底数 C2的底数 C1的底数故相应于曲线C1，C2， C3，C4的底数依次是3，43，35，110答案： A 点技巧作直线 y1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小题型三对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0， )(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数

3、大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等， 在解答问题时需要保证各个方面都有意义(3)求函数的定义域应满足以下原则：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于或等于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1；对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页【例 3】求下列函数的定义域(1)y log5(1 x)；(2)ylog(2x1)(5x4)；(3)0.5log(43)yx分析： 利用对数函数ylogax(a0，且 a1)

4、的定义求解解： (1)要使函数有意义，则1 x0，解得 x1，故函数ylog5(1x)的定义域是 x|x1 (2)要使函数有意义，则540,210,211,xxx解得 x45且 x1，故函数 ylog(2x1)(5x4)的定义域是4,15(1， )(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,xx解得34x1，故函数0.5log(43)yx的定义域是30)或向右(b0)或向下 (b0时，两函数图象相同当x0时的图象关于 y轴对称函数yloga|x|(a0，且a1) 函数 ylogax(a0， 且 a1) -保留x轴上方的图象同时将 x轴下方的图象作关于 x轴的对称变换函数 y|log

5、ax|(a0，且 a1)【例 5】若函数 yloga(xb)c(a0，且 a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c 的值分别为 _解析： 函数的图象恒过定点(3,2)，将(3,2)代入 yloga(xb)c(a0，且 a1)，得 2loga(3b)c又当 a0，且 a1 时， loga10 恒成立，c2loga(3b)0b 2答案： 2,2 【例 51】 作出函数y|log2(x1)| 2 的图象解： (第一步 )作函数 y log2x 的图象，如图 ；(第二步 )将函数 ylog2x 的图象沿x 轴向左平移1 个单位长度，得函数ylog2(x 1)的图象，如图 ；(第三步 )将函数 yl

6、og2(x1)在 x轴下方的图象作关于x轴的对称变换， 得函数 y|log2(x1)|的图象，如图；(第四步 )将函数 y|log2(x1)|的图象， 沿 y 轴方向向上平移2 个单位长度， 便得到所求函数的图象，如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页题型六利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同(2)底数不同，真数相同(3)底数不同，真数也不同(4)对于多个对数式的大小比较注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论【例 6】比较下列各

7、组中两个值的大小(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga ，loga3.141分析：(1)构造函数 ylog3x，利用其单调性比较； (2)分别比较与0 的大小； (3)分类讨论底数的取值范围解：(1)因为函数 ylog3x 在(0，)上是增函数，所以f(1.9)f(2)所以 log31.9log32(2)因为 log23log210， log0.32log0.310， 所以 log23log0.32(3)当 a1 时，函数 ylogax 在定义域上是增函数，则有logaloga3.141；当 0a1 时，函数 ylogax 在定义域上是减函数，则有

8、loga loga3.141综上所得，当 a1 时，loga loga3.141；当 0a1 时，loga loga3.141【例 61】若 a2ba1，试比较logaab，logbba，logba，logab的大小分析： 利用对数函数的单调性或图象进行判断解：ba1， 0ab1logaab0， logablogaa1， logb1logbalogbb，即 0logba1由于 1bab，0logbba1由 logbalogbba2logbab，a2b1，2ab12logbab0，即 logbalogbbalogablogbalogbbalogaab精选学习资料 - - - - - - - -

9、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页题型七利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：形如 logaf(x)logag(x)的不等式，借助函数ylogax 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a1 与 0a1 两种情况讨论形如 logaf(x)b 的不等式，应将b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数ylogax 的单调性求解形如 logaf(x)logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集形如 f(logax)0 的不等式，可用换元法

10、 (令 tlogax)， 先解 f(t)0， 得到 t的取值范围 然后再解 x 的范围【例 7】解下列不等式：(1)1177loglog (4)xx；(2)logx(2x1)logx(3x)解： (1)由已知，得0,40,3,210,30,xxxx解得 1x3；当 0 x1 时，有210,30,xxxx解得 0 x23所以原不等式的解集是20 1 3aaa23，结合 0a1，知 0a23a 的取值范围是230 32aaa，或题型八对数型函数单调性的讨论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1 进行讨论；二是运用复合法来

11、判断其单调性；三是注意其定义域(2)关于形如ylogaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数 y logaf(x)的单调性与uf(x)(f(x)0)的单调性，当a1 时相同，当0a 1 时相反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页【例 8】求函数 ylog2(32x)的单调区间分析： 首先确定函数的定义域，函数ylog2(32x)是由对数函数ylog2u和一次函数 u32x 复合而成， 求其单调区间或值域时， 应从函数 u32x 的单调性、值域入手，并结合函数ylog2u 的单调性考虑解：由 32x0，解得函数 yl

12、og2(32x)的定义域是 ，32设 u32x，x，32，u32x 在 ，32上是减函数，且 ylog2u 在(0，)上单调递增，函数 ylog2(32x)在，32上是减函数函数 ylog2(32x)的单调减区间是，32【例 8-1】求函数 yloga(aax)的单调区间解：(1)若 a1，则函数 ylogat 递增，且函数 taax递减又aax0，即 axa，x1函数 yloga(aax)在(，1)上递减(2)若 0a1，则函数 ylogat 递减，且函数 taax递增又aax0，即 axa，x1函数 yloga(aax)在(1，)上递减综上所述，函数 yloga(aax)在其定义域上递减析

13、规律判断函数 ylogaf(x)的单调性的方法函数 ylogaf(x)可看成是 ylogau 与 uf(x)两个简单函数复合而成的， 由复合函数单调性 “同增异减 ”的规律即可判断需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时， 首先要考虑函数的定义域， 即“定义域优先 ”【例 82】 已知 f(x)12log(x2axa)在1,2上是增函数，求a 的取值范围解：1,2是函数 f(x)的递增区间，说明1,2是函数 ux2axa 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0令 u(x)x2axa，f(x)12log( )u x在1,2上是增函数，u(x)在1,2上是减函数，且u(x) 0 在1,2上

14、恒成立1,2210,2au即1,10.42aaa 1a12满足条件的a 的取值范围是112aa题型九对数型函数的奇偶性问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与 f(x)或f(x)是否相等；(2)当 f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当 f(x)f(x)且 f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当 f(

15、x)f(x)且 f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数【例 9】判断函数 f(x)2log (1)axx(xR，a0，且 a1)的奇偶性解： f(x)f(x)2log (1)axx2log (1)axx)loga(x21x2)loga10，f(x)f(x)f(x)为奇函数【例 9-1】已知函数 f(x)1log1axx(a0，且 a1)（1）求函数 f(x)的定义域；（2）判断函数 f(x)的奇偶性；（3）求使 f(x)0 的 x 的取值范围分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可对于第 (3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式解：(1)由11xx0，得1x1，

16、故函数 f(x)的定义域为 (1,1)(2)f(x)1log1axx1log1axxf(x)，又由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，函数 f(x)是奇函数(3)当 a1 时，由1log1axx0loga1，得11xx1，解得 0 x1；当 0a1 时，由1log1axx0loga1，得 011xx1，解得 1x0故当 a1 时，x 的取值范围是 x|0 x1；当 0a1 时，x 的取值范围是 x|1x0题型十反函数【例 10】若函数 y f(x)是函数 yax(a 0，且 a1)的反函数，且f(2)1，则 f(x)() Alog2xB12xC12logxD2x2解析： 因为函数y a

17、x(a 0，且 a1)的反函数是f(x)logax，又 f(2)1，即 loga2 1，所以 a2故 f(x)log2x【例 10-1】函数 f(x)3x(0 x2)的反函数的定义域为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页A(0， ) B(1,9 C(0,1) D9，) 解析： 0 x2，13x9，即函数 f(x)的值域为 (1,9故函数 f(x)的反函数的定义域为 (1,9【例 10-2】若函数 yf(x)的反函数图象过点 (1,5)，则函数 yf(x)的图象必过点 () A(5,1) B(1,5) C(1,1

18、) D(5,5) 解析：由于原函数与反函数的图象关于直线yx 对称，而点(1,5)关于直线yx 的对称点为 (5,1)，所以函数yf(x)的图象必经过点(5,1)【例 10-3】已知 f(ex)x，则 f(5)() Ae5B5eCln 5Dlog5e 解析：(方法一 )令 tex，则 xln t，所以 f(t)ln t，即 f(x)ln x所以 f(5)ln 5(方法二 )令 ex5，则 xln 5，所以 f(5)ln 5【例 10-5】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,29，试求 f(3)的值分析： 设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出解：设 f(x)logax(a0，且 a1)，对数函数 f(x)的图象经过点1,29，11log299afa219a11222111933f(x)13log xf(3)111331log 3log31【例 10-6】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9)，且 f(b)12，试求 b 的值解：设 f(x)logax(a0，且 a1)，则它的反函数为 yax(a0，且 a1)，由条件知 a2932，从而 a3于是 f(x)log3x，则 f(b)log3b12，解得 b1233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页