2022年高中数学椭圆题型归纳 2.pdf
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1、Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳一椭圆标准方程及定义1已知椭圆+=1 上一点 P到椭圆一个焦点距离为3,则点 P到另一个焦点距离为()A2 B3 C 5 D7 2、已知椭圆标准方程为,并且焦距为6,则实数 m值为3求满足下列条件椭圆标准方程(1)焦点分别为( 0,2) , (0,2) ,经过点( 4,)(2)经过两点( 2,) , ()4求满足下列条件椭圆方程:(1)长轴在 x 轴上,长轴长等于12,离心率等于;(2)椭圆经过点( 6,0)和(0,8) ;(3)椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为10 和 45设 F1,F2分别是椭圆+=1左,右焦点, P为椭圆上任一点,点 M坐标为( 6,
2、4) ,则|PM|+|PF1| 最大值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页Fpg Fpg 二、离心率1、已知 F1、F2是椭圆两个焦点, P是椭圆上一点, F1PF2=90,则椭圆离心率取值范围是2设 F1、F2是椭圆 E:+=1(ab0)左右焦点, P 是直线x= a 上一点, F2PF1是底角为 30等腰三角形,则椭圆E离心率为()ABC D3已知点 F1、F2是双曲线 C:=1(a0,b0)左、右焦点,O为坐标原点,点 P在双曲线 C右支上,且满足 |F1F2|=2|OP| ,|PF1| 3|PF2| ,则双
3、曲线 C离心率取值范围为()A (1,+)B,+) C (1, D (1, 三、焦点三角形1、已知椭圆+=1左,右焦点分别为F1,F2,点 P是椭圆上一点,且F1PF2=60求 PF1F2周长求 PF1F2面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页Fpg Fpg 2已知点(0,)是中心在原点,长轴在x 轴上椭圆一个顶点,离心率为,椭圆左右焦点分别为F1和 F2(1)求椭圆方程;(2)点 M在椭圆上,求 MF1F2面积最大值;(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使?=0,若存在,请求出点 P坐标;若不存在,请说明理由四、弦
4、长问题1、已知椭圆 4x2+y2=1及直线 y=x+m (1)当直线与椭圆有公共点时,求实数m取值范围(2)求被椭圆截得最长弦长度2、设 F1,F2分别是椭圆左、右焦点,过F1斜率为 1 直线 ? 与 E相交于 A,B两点,且|AF2| ,|AB| ,|BF2| 成等差数列(1)求 E离心率;(2)设点 P(0,1)满足 |PA|=|PB| ,求 E方程五、中点弦问题1、已知椭圆+=1 弦 AB中点 M坐标为( 2,1) ,求直线AB方程,并求 AB长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页Fpg Fpg 六、定值、定点
5、问题1、已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m 0) ,直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴, l 与 C有两个交点 A,B,线段 AB中点为 M (1)证明:直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值;(2)若 l 过点(,m ) ,延长线段 OM 与 C交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 斜率;若不能,说明理由七、对称问题1已知椭圆方程为,试确定 m范围,使得椭圆上有不同两点关于直线 y=4x+m对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析
6、一选择题(共 3 小题)1 (2016 春?马山县期末)已知椭圆+=1 上一点 P到椭圆一个焦点距离为 3,则点 P到另一个焦点距离为()A2 B3 C 5 D7 【分析】 先根据条件求出a=5;再根据椭圆定义得到关于所求距离d等式即可得到结论【解答】 解:设所求距离为d,由题得: a=5根据椭圆定义得: 2a=3+d? d=2a3=7故选 D 【点评】本题主要考查椭圆定义 在解决涉及到圆锥曲线上点与焦点之间关系问题中,圆锥曲线定义往往是解题突破口2 (2015 秋?友谊县校级期末)设F1、F2是椭圆 E:+=1(ab0)左右焦点, P 是直线 x= a 上一点, F2PF1是底角为 30等腰
7、三角形,则椭圆E离心率为()ABC D【分析】利用 F2PF1是底角为 30等腰三角形, 可得|PF2|=|F2F1| ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页Fpg Fpg 根据 P为直线 x= a 上一点,可建立方程,由此可求椭圆离心率【解答】 解: F2PF1是底角为 30等腰三角形,|PF2|=|F2F1| P为直线 x= a 上一点2(ac)=2c e= =故选: B【点评】本题考查椭圆几何性质, 解题关键是确定几何量之间关系,属于基础题3 (2016?衡水模拟)已知点F1、F2是双曲线 C:=1(a0,b0
8、)左、右焦点, O为坐标原点,点P 在双曲线 C 右支上,且满足|F1F2|=2|OP| ,|PF1| 3|PF2| ,则双曲线 C离心率取值范围为()A (1,+)B,+) C (1, D (1, 【分析】 由直角三角形判定定理可得PF1F2为直角三角形,且PF1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页Fpg Fpg PF2,运用双曲线定义,可得|PF1| |PF2|=2a,又|PF1| 3|PF2| ,可得|PF2| a,再由勾股定理, 即可得到 ca,运用离心率公式,即可得到所求范围【解答】 解:由 |F1F2|=
9、2|OP| ,可得 |OP|=c,即有 PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得 |PF1| |PF2|=2a,又|PF1| 3|PF2| ,可得 |PF2| a,即有( |PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为( |PF2|+a )2=2c2a2,即有 2c2a24a2,可得 ca,由 e= 可得1e,故选: C【点评】本题考查双曲线离心率范围,注意运用双曲线定义和直角三角形性质,考查运算能力,属于中档题二填空题(共 3 小题)4已知椭圆标准方程为,并且焦距为6,则实数 m值为4 或【分析】由题设条件, 分椭圆焦点在 x
10、 轴上和椭圆焦点在y 轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页Fpg Fpg 两种情况进行讨论,结合椭圆中a2b2=c2进行求解【解答】 解:椭圆标准方程为,椭圆焦距为 2c=6,c=3,当椭圆焦点在x 轴上时, 25m2=9,解得 m=4 ;当椭圆焦点在 y 轴上时, m225=9,解得 m=综上所述, m取值是 4 或故答案为: 4 或【点评】 本题考查椭圆简单性质,是基础题解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想合理运用5 (2016?漳州一模)设 F1,F2分别是椭圆+=1左,右焦点, P为椭圆上任一点,
11、点M坐标为( 6,4) ,则|PM|+|PF1| 最大值为15 【分析】由椭圆定义可得, |PM|+|PF1|=2a+|PM| |PF2| 2a+|MF2| ,由此可得结论【解答】 解:由题意 F2(3,0) ,|MF2|=5,由椭圆定义可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM| |PF2|=10+|PM| |PF2| 10+|MF2|=15,当且仅当 P,F2,M三点共线时取等号,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页Fpg Fpg 故答案为: 15【点评】本题考查椭圆定义,考查学生分析解决问题能力,属于基础题6已知
12、 F1、F2是椭圆两个焦点, P是椭圆上一点, F1PF2=90,则椭圆离心率取值范围是【分析】 根据题意, 点 P即在已知椭圆上,又在以 F1F2为直径圆上因此以 F1F2为直径圆与椭圆有公式点, 所以该圆半径c 大于或等于短半轴 b 长度,由此建立关于a、c 不等式,即可求得椭圆离心率取值范围【解答】 解P点满足 F1PF2=90,点 P在以 F1F2为直径圆上又P是椭圆上一点,以 F1F2为直径圆与椭圆有公共点,F1、F2是椭圆焦点以 F1F2为直径圆半径r 满足: r=c b,两边平方,得 c2b2即 c2a2c2? 2c2a2两边都除以 a2,得 2e21,e,结合 0e1,e1,即
13、椭圆离心率取值范围是,1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页Fpg Fpg 故答案为: ,1) 【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于90 度情况下,求椭圆离心率,着重考查了椭圆基本概念和解不等式基本知识,属于中档题三解答题(共 9 小题)7 (2013秋?琼海校级月考) 已知椭圆+=1左,右焦点分别为 F1,F2,点 P是椭圆上一点,且 F1PF2=60求 PF1F2周长求 PF1F2面积【分析】 根据椭圆方程求得c,利用 PF1F2周长 L=2a+2c,即可得出结论;设出 |PF1|=t1,|PF2|
14、=t2,利用余弦定理可求得t1t2值,最后利用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页Fpg Fpg 三角形面积公式求解【解答】 解: a=5,b=3,c=4 PF1F2周长 L=2a+2c=18 ;设|PF1|=t1,|PF2|=t2,则由椭圆定义可得: t1+t2=10 在F1PF2中F1PF2=60,t12+t222t1t2?cos60=28,可得 t1t2=12,=3【点评】解决此类问题关键是熟练掌握椭圆标准方程、椭圆定义,熟练利用解三角形一个知识求解问题8 (2015 秋?揭阳月考)已知点( 0,)是中心在原
15、点,长轴在x轴上椭圆一个顶点,离心率为,椭圆左右焦点分别为F1和F2(1)求椭圆方程;(2)点 M在椭圆上,求 MF1F2面积最大值;(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使?=0,若存在,请求出点 P坐标;若不存在,请说明理由【分析】 (1)由题意设出椭圆标准方程,根据顶点坐标和离心率得b=,根据 a2=b2+c2求出 a 值,即求出椭圆标准方程;(2)根据(1)求出椭圆标准方程,求出点M纵坐标范围,即求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页Fpg Fpg 出三角形面积最大值;(3)先假设存在点 P满足条件,根据向量数
16、量积得?,根据椭圆焦距和椭圆定义列出两个方程, 求出 S值, 结合 (2)中三角形面积最大值,判断出是否存在点P【解答】 解: (1)由题意设椭圆标准方程为+=1,由已知得, b= (2 分)则 e2=1= ,解得 a2=6(4 分)所求椭圆方程为+=1(5 分)(2)令 M (x1,y1) ,则 S= |F1F2| ?|y1|=?2?|y1|=|y1| (7 分)点 M在椭圆上,y1,故|y1| 最大值为, (8 分)当 y1=时,S最大值为 (9 分)(3)假设存在一点 P,使?=0, , , (10 分)PF1F2为直角三角形, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 (11分)
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