2022年小学六年级奥数系列讲座：比的应用 .pdf

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1、比的应用（一）一? 、知识要点我们已经 ? 学过比的知识， 都知道 ? 比和分数、除法其实是 ? 一回事，所有比与分数? 能互相转化。运用这种 ? 方法解决一些实际问题 ? 可以化难为易，化繁为 ? 简。二、精讲精练? 【例题 1】甲数是乙数 ? 的 2/3 ，乙数是丙数 ? 的 4/5 ，甲、乙、丙 ? 三数的比是（ ） ： （?） ： （ ） 。【思? 路导航】甲、乙两数 ? 的比? 2：3 乙、丙两数的 ? 比 4? ：5 甲、乙、丙三数 ? 的比 8 ：12：15?答：甲、乙、丙三数 ? 的比是 8 ：12：1? 5。练习 1：1? 甲数是乙数的 4/5 ，? 乙数是丙数的 5/8 ，

2、? 甲、乙、丙三数的比是 ?（ ） ： （ ） ：（ ? ） 。2甲数是乙数 ? 的 4/5 ，甲数是丙数 ? 的 4/9 ，甲、乙、丙? 三数的比是（ ） ： （?） ：（ ） 。3? 甲数是丙数的 3/7 ，? 乙数是丙数的 2 又 1/ ? 2，甲、乙、丙三数的 ? 比是（ ） ：（ ） ：? （ ） 。【例题 2】? 光明小学将五年级的 1? 40 名学生，分成三个 ? 小组进行植树活动，已? 知第一小组和第二小组 ? 人数的比是 2：3，第? 二小组和第三小组人数 ? 的比是 4：5。这三个 ? 小组各有多少人？【? 思路导航】 先求出三个 ? 小组人数的连比，再按 ? 求出的连比进

3、行分配。 ?一、二两组人数的 ? 比 2：3?二、三两 ? 组人数的比? 4 ：5 一、二、 ? 三组人数的比 8 ：1? 2：15 总份数： ? 8+12+1535?第一组： 140? 8/35 32（人） ?第二组： 140? 12/35 48（人? ）第三组： 140? 15/3560（? 人）答：第一小组有 ? 32 人，第二小组有 4? 8 人，第三小组有 60? 人。练习 2：1? 某农场把 61600 公? 亩耕地划归为粮田与棉 ? 田，它们之间的比是7? ：2，棉精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页田与

4、其他作物 ? 面积的比 6：1。每种 ? 作物各是多少公亩？? 2黄山小学六年级的 ? 同学分三组参加植树。 ? 第一组与第二组的人数 ? 的比是5：4，第二组 ? 与第三组人数的比是 3? ：2。已知第一组的人 ? 数比二、三组人数的总? 和少 15 人。六年级参 ? 加植树的共有多少人？ ?3科技组与作文组 ? 人数的比是 9：10，? 作文组与数学组人数的 ? 比是 5：7。已知数学 ? 组与科技组共有 69 人? 。数学组比作文组多多 ? 少人？【例题 3】甲? 、乙两校原有图书本数 ? 的比是 7：5，如果甲 ? 校给乙校 650 本，甲? 、乙两校图书本数的比 ? 就是 3：4。原

5、来甲校 ? 有图书多少本？【思? 路导航】 由甲、乙两校 ? 原有图书本数的比是7? ：5 可知，原来甲校图 ? 书的本数是两校图书总 ? 数的 7/ （7+5） ，? 由于甲校给了乙校 65? 0 本，这时甲校的图书? 占两校图书总数的 3/ ? （3+4） ，甲校给乙 ? 校的 650本图书，相 ? 当于两校图书总数的 7? / （7+5）3/ （? 3+4）13/84? 。650（7/ （? 7+5）3/ （3+? 4） ）7/ （7+5? ）2450（本）? 答：原来甲校有图书2? 450 本。练习 3：?1小明读一本书， ? 已读的和未读的页数比 ? 是 1：5。如果再读 3? 0

6、页，则已读和未读的 ? 页数之比为 3：5。这? 本书共有多少页？2? 甲、乙两包糖的重量 ? 比是 4：1。从甲包取 ? 出 130 克放入乙包后 ? ，甲、乙两包糖的重量 ? 比为 7：5。原来甲包 ? 有多少克糖？3五? 年级三个班举行数学竞 ? 赛。一班参加比赛的占 ? 全年级参赛总人数的1? / 3，二班与三班参加 ? 比赛人数的比是 11：? 13，二班比三班少8? 人。一班有多少人参加 ? 了数学竞赛？【例题 ? 4】从前有个农民，临 ? 死前留下遗言，要把 1? 7 头牛分给三个儿子， ? 其中大儿子分得 1/2 ? ，二儿子分得 1/3 ，? 小儿子分得 1/9 ，但? 不能

7、把牛卖掉或杀掉。 ?三个儿子按照老人的要 ? 求怎么也不好分。 后来? 一位邻居顺利地把 17? 头牛分完了，你知道这 ? 到底是怎么回事吗？? 【思路导航】 因为 1/? 2+1/3+1/9 ? 17/18 ，17/1? 81，就是说三兄弟 ? 并未将全部牛分完，所 ? 以我们求出三个儿子分 ? 牛头数的连比，最后再 ? 按比例分配。 三? 个儿子分牛头数的连比 ? ：1/2 ：1/3 ：1? / 99：6：2 ?总份数： 9+6+2? 17 三个儿子 ? 各分得牛的头数： 17? 9/17 9（头） ? 176/17 6（? 头）172/17 ? 2（头）精选学习资料 - - - - -

8、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页答：大儿子 ? 分得 9 头，二儿子分得 ? 6 头，小儿子分得 2 头? 。练习 4：1图? 书室取出一批书，按照 ? 一年级得 1/2 ，二年 ? 级得 1/3 ，三年级得 ? 1/7 ，正好是 41 本? ，各年级各得多少本？ ?2古罗马富豪约翰 ? 逊再临终前，对怀孕的 ? 妻子写下这样一份遗嘱 ? ：如果生下来是个男孩 ? ，就把遗产的三分之二 ? 给儿子，母亲拿三分之 ? 一；如果生下来的是女? 孩就把遗产的三分之一 ? 给女儿，三分之二给母 ? 亲。结果他的妻子生了 ? 双胞胎，一男一女， 这? 是他没

9、有预料到的。 求? 出接近于遗嘱条件， 把? 遗产分给三个继承人的? 比。（1）从儿子、? 母亲、女儿所得的比例 ? 来看，他们三人所得的 ? 遗产的比是（） ：（ ? ） ： （ ） 。（2） ? 从母亲至少得遗产的1? / 3 来看，儿子、母亲? 、 女儿所得遗产的比是 ?（ ） ：（ ） ： （ ? ） 。3甲、乙、丙 ? 三人共做零件 900 个? 。甲做总数的 30，? 乙比丙多做 1/3 。三? 人各做多少个？【例? 题 5】两个相同的瓶子 ? 装满酒精溶液。一个瓶 ? 中酒精与水的体积之比 ? 是3：1，另一个瓶中 ? 酒精与水的体积之比是 ? 4：1。若把两瓶酒精 ? 溶液混合

10、，混合液中酒? 精与水的体积之比是多 ? 少？【思路导航】 抓? 住两个瓶子相同的关系 ? ，分别求出每个瓶中的 ? 酒精占瓶子容积的几分 ? 之几再解答。 一? 个瓶中酒精占瓶子容积 ? 的比 3/（1+? 3） 3/4 ? 另一个瓶中酒精占瓶子 ? 容积的比 4/（? 1+4） 4/5 ? 两瓶子里的酒精占 ? 一个瓶子容积的比? 3/4+4/5 ? 31/20 水占? 一个瓶子容积的比? 2 31/20 ? 9/20 混? 合液中酒精与水的比?31/20 ：9/2 ? 031：9 答：混 ? 合液中酒精与水的比是 ? 31：9。练习 5：?1两块一样重的合 ? 金，一块合金中铜与锌 ?

11、的比是 2：5，另一块 ? 合金中铜与锌的比是 1? ：3。现将两块合金合 ? 成一块，求出锌合金中 ? 铜与锌的比。2 将? 一条公路平均分给甲、 ? 乙两个工程队修筑。 甲? 队已修的与剩下的比是 ? 2：1，乙队已修的与 ? 剩下的比是 5：2。这? 条公路已修了全长的几 ? 分之几？3光华电 ? 视机厂上半年生产的电 ? 视机产量占全年的 5/ ? 8，照这样的速度计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页算? ，全年可超产 1000? 台。这个工厂上半年生 ? 产电视机多少台？精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页?比的应用（二）一、? 知识要点比是反映数 ? 量关系的一种常见形式 ? ， 也是解数学题的一种 ? 重要工具， 有了它，我? 们处理倍数关系、 解答? 分数应用题就方便灵活 ? 得多。在这一讲， 我们? 讲探讨稍复杂的比是应 ? 用题。二、精讲精练 ?【例题 1】甲、乙两 ? 个学生放学回家，甲要 ? 比乙多走 1/5 的路， ? 而乙走的时间比甲少 1? / 11，求甲、乙两人 ? 速度的比。【思路导 ? 航】因为 速度路程 ? 时间，所以，甲、乙 ? 速度的比甲路程 /甲? 时间：乙路程 / 乙时间 ?（1）甲、

13、乙路程的 ? 比： （1+1/5） ：? 16：5 （2）甲? 、乙时间的比： 1： （? 11/11 ）11? ：10 （3）甲、乙 ? 速度的比： 6/11：? 5/10=12：11?答：甲、乙速度的比 ? 是 12：11。练习? 1：1小明和小芳 ? 各走一段路。小明走的 ? 路程比小芳多 1/5 ，? 小芳用的时间比小明多 ? 1/8 。求小明和小芳 ? 速度的比。2甲走 ? 的路程比乙多 1/3 ，? 乙用的时间比甲多1/ ? 4。求甲、乙的速度比 ? 。3一个人步行每 ? 小时走 5 千米，如果骑 ? 自行车每 1 千米比步行 ? 少用 8 分钟。这个人骑 ? 自行车的速度和步行速

14、 ? 度的比是多少？【例? 题 2】制造一个零件， ? 甲需 6 分钟，乙需 5 分? 钟，丙需 4.5 分钟。 ? 现在有 1590 个零件 ? 的制造任务分配给他们 ? 三个人，要求在相同的 ? 时间内完成，每人应该? 分配到多少个零件？? 【思路导航】 先求出工 ? 作效率的比，然后根据 ? 同一时间内，工作总量 ? 的比等于工作效率的比 ? 进行解答。甲、乙、 ? 丙工作效率的比： 1 ? / 6：1/5 ：1/1 ? . 515：18：2? 0总份数： 15+1? 8+2053 甲 ?：15901? 5/53 450（个? ）乙：15? 9018/535? 40（个）丙?：15902

15、0/ ? 53600（个）? 答：甲、乙、丙分配到 ? 的零件分别是 450 个? 、540个、600 个? 。练习 2：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页1加? 工一个零件，甲需 3 分? 钟，乙需 3.5 分钟，? 丙需 4 分钟。现在有 1? 825个零件需要甲、 ? 乙、丙三人加工。如果 ? 规定用同样的时间完成 ? 任务，那么各应加工多? 少个？2甲、乙、 ? 丙三人在同一时间里共 ? 制造 940 个零件。甲 ? 制造一个零件需 5分钟? ，比乙制造一个零件所 ? 用的时间多 25，丙 ? 制造一个零件所

16、用的时 ? 间比甲少 2/5 。甲、 ? 乙、丙各制造了多少个 ? 零件？3加工某种 ? 零件要三道工序，专做 ? 第一、二、三道工序的 ? 工人每小时分别能完成 ? 零件 48 个，32 个，? 28 个，现有 118名? 工人，要使每天三道工 ? 序完成的零件个数相同 ? ，每道工序应安排多少 ? 工人？【例题 3】两? 个服装厂一个月内生产 ? 服装的数量是 6：5，? 两厂西服价格的比是 1? 1：10。已知两厂这 ? 个月内总产值为 696? 0 万元。两厂的产值各 ? 是多少万元？【思路 ? 导航】因为产值价格 ? 产量，所以甲产值 ? ：乙产值（甲价格 ? 甲产量） ： （乙价格

17、 ? 乙产量）两厂的产值 ? 比为： （116） ：? （105）66：? 50 甲厂产值为： 6? 96066/ （66? +50）3960（? 元）乙厂产值为： 6? 96050（66+? 50）3000（元? ）答：两厂的产值分 ? 别是 3960 万元和 3? 000 万元。练习 3? ：1甲、乙两个长 ? 方形长的比是 4：5，? 宽的比是 3：2，面积? 的和是 242 平方厘米? 。求甲、乙两个长方形 ? 的面积分别是多少平方 ? 厘米？2苹果和梨 ? 的单价的比是 6：5，? 王大妈买的苹果和梨的 ? 重量的比是 2：3，共? 花去 18 元。王大妈买 ? 苹果和梨各花了多少元

18、 ? ？3大、小两种苹 ? 果，其单价比是 5：4? ，重量比是 2：3。把? 两种苹果混合，成为 1? 00 千克的混合苹果， ? 单价为每千克 4.40 ? 元。大、小两种苹果原 ? 来每千克各是多少元？ ?【例题 4】A、B两? 种商品的价格比是7：? 3。如果它们的价格分 ? 别上涨 70 元，它们的 ? 价格比就是 7：4，这? 两种商品原来的价格各 ? 是多少元？【思路导 ? 航】解法一：因为 A? 、B两种商品涨价的数 ? 值相同，所以涨价后两 ? 种商品价格差不变。由 ? 于价格差不变，所以价 ? 格差对应的份数也应该 ? 相同。原价格比 7? ：321：9 ? 现价格比 7：

19、4? 28：16 【这样 ? 前后项的差都是 12，? 价格涨了（ 2821? ）7 份，是 70 元】?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页70（2821? ）10 元? A：102121? 0（元） B：10? 990（元）解法? 二：由于两种商品的价 ? 格不变，选两种商品的 ? 价格差做单位“ 1“进? 行解答。（1）原来 ? A商品的几个是价格差 ? 的几倍? 7 （73）? 7/4 （2）后来 A? 商品的价格是价格差的 ? 几倍?7（74）7? / 3 （3）A、B两? 种商品的价格差是? 70? （7/

20、3 7/4 ）? 120（元）（4? ）原来 A商品的价格是 ? 120（73）? 7210（元）（? 5） 原来 B商品的价 ? 格是? 120（73）? 390（元）答：? A、B两种商品原来的 ? 价格分别是 210元和? 90 元。练习 4：? 用两种思路解答下列应 ? 用题：1甲、乙两 ? 个建筑队原有水泥重量 ? 的比是 4：3。甲队给 ? 乙队 54 吨水泥后，甲? 、乙两队水泥重量的比 ? 是 3：4。原来甲队有 ? 水泥多少吨？2甲? 书架上的书是乙书架上 ? 的 4/7 ，两书架上各 ? 增加 154本后，甲书 ? 架上的书是乙书架上的 ? ，甲、乙两书架上原来 ? 各有多

21、少本书？3? 兄弟两人，每年收入的 ? 比是 4：3，每年支出 ? 的比是 18：13。从? 年初到年底，他们都结 ? 余 720 元。他们每年 ? 的收入各是多少元？? 【例题 5】如图是甲、 ? 乙、丙三地的线路图， ? 已知甲地到丙地的路程 ? 与乙地到丙地的路程比 ? 是 1：2。王刚以每小 ? 时 4 千米的速度从甲地 ? 步行到丙地，李华同时? 以每小时 10 千米的速 ? 度从乙地骑自行车去丙 ? 地，他比王刚早 1 小时? 到达丙地。甲、乙两地 ? 相距多少千米？【思? 路导航】解法一：根? 据路程的比和速度的比 ? 求出时间的比，从而求 ? 出王刚和李华所用的时? 间，再求出

22、各自所走的 ? 路程。王刚和李华所 ? 用时间的比 1/? 4：2/105：4?王刚所用的时间? 1（54）5? 5（小时）甲地到丙 ? 地的路程 4? 520（千米）甲? 、乙两地的路程?20（1+2）? 60（千米）解法二 ? ：如果李华每小时行4? 28 千米，他将与 ? 王刚同时到达丙地。 现? 在他每小时多行 10? 82 千米。在王刚从 ? 甲地到丙地的这段时间 ? 内，李华比应行的路程 ? 多行了 10110? 千米。据此，可求出王 ? 刚从甲地到丙地的时间 ? 。王刚从甲地到丙地 ? 的时间 10 1（? 1042）5（? 小时）精选学习资料 - - - - - - - - -

23、 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页甲、乙两地的 ? 路程 45（1+2? ）60（千米）解? 法三：如果王刚每小时 ? 行 1035 千米， ? 就能和李华同时到达。 ? 由此可见，王刚走完甲 ? 地到丙地的路程， 用每? 小时 4 千米的速度和每 ? 小时 5 千米的速度相比? ，所用的时间相差1 小? 时。再根据 1 千米的路 ? 程，两种速度所用的时 ? 间相差1/4 1/ ? 5 1/20 小时。 ? 最后求出甲地到丙地的 ? 路程。甲地到丙地的 ? 路程 1（1/4 1? / （102）2? 0（千米）甲、乙两 ? 地的路程 20（1+? 2）60（千米

24、）? 答：甲、乙两地相距6? 0 千米。练习 5：? 1一辆汽车在甲、乙 ? 两站间行驶，往返一次 ? 共用去 4 小时（停车时 ? 间不算在内） 。汽车去 ? 时每小时行 45 千米， ? 返回时每小时行 30 千? 米。甲、乙两地相距多? 少千米？2甲做 3? 000 个零件比乙做 2? 400 个零件多用 1 小? 时，甲、乙工作效率的 ? 比是 6：5。甲、乙每 ? 小时各做多少个？3? 下图是甲、乙、丙三 ? 地的路线图。已知甲地 ? 到丙地的路程与乙地到 ? 丙地的路程的比是 2：? 3。一辆货车以每小时 ? 40 千米的速度从甲地 ? 开往丙地，一辆客车同? 时以每小时 50 千米的 ? 速度从乙地开往丙地， ? 客车比火车迟 1 小时到 ? 达丙地。求甲、乙两地 ? 的路程？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页