2022年挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题 2.pdf

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1、优秀教案欢迎下载教师：学生：时间： 20XX年月日课题内容平行四边形存在性问题专题攻略一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快 . 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3 个点以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3 个交点 . 四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况. 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便. 精选学习资料 - - - - - -

2、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页优秀教案欢迎下载典型例题例 1如图，抛物线： y=x2x与 x 轴交于 A、B（A 在 B 左侧） ，A（1，0） 、B（3，0） ，顶点为 C（1，2）（1）求过 A、B、C 三点的圆的半径（2）在抛物线上找点P，在 y 轴上找点 E，使以 A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P、E 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页优秀教案欢迎下载（1）A（1，0） 、B（3，0） 、C（1，2） ，AB=3（ 1）=4，AC=2，

3、BC=2，AB2=16，AC2+BC2=8+8=16，AB2=AC2+BC2， ABC 是直角三角形， AB 是直径，故半径为2；（2）当 AB 是平行四边形的边时， PE=AB=4，且点 P、E 的纵坐标相等，点 P 的横坐标为 4 或4，y= 424=，或 y= 42+4=，点 P、E 的坐标为 P1（4， ） 、 E1（0， ）或 P2（4，） 、E2（0，） ，如图，当 AB 是平行四边形的对角线时，PE 平分 AB，PE与 x 轴的交点坐标 D（1，0） ，过点 P 作 PFAB，则 OD=FD，点 F 的坐标为（ 2，0） ，点 P的横坐标为 2，y= 222=，点 P的纵坐标为，

4、点 P、E 的坐标为 P3（2，） 、E3（0，） ，综上所述，点 P、E 的坐标为： P1（4，） 、E1（0，）或 P2（4，） 、E2（0，）或 P3（2，） 、E3（0，） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页优秀教案欢迎下载例 2将抛物线沿 c1：y=x2+沿 x 轴翻折，得拋物线c2，如图所示（1）请直接写出拋物线c2的表达式（2）现将拋物线 C1向左平移 m 个单位长度， 平移后得到的新抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A，B；将抛物线 C2向右也平移 m 个单位长度， 平移后得到的新抛

5、物线的顶点为N，与 x 轴交点从左到右依次为D，E当 B，D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页优秀教案欢迎下载方法一 ：（1）根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；（2）求出拋物线c1与 x 轴的两个交点坐标，分当AD=AE 时，当 BD=AE 时两种情况讨论求解；存在理由：连接AN，NE，EM，MA 根据矩形的判定即可得出方法二 ：（1）求出翻折后抛物线

6、顶点坐标，并求出抛物线表达式（2）抛物线 c1 平移 m 个单位长度后，求出点A，B，D，E 的坐标，并分类讨论点B 在点 D左侧和右侧的两种情况，进而求出m 的值以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，则ANEN，利用黄金法则二，可求出m 的值【解答】方法一：解： （1）y=x2（2）令x2+=0，得 x1=1，x2=1则拋物线 c1与 x 轴的两个交点坐标为（ 1，0） ， （1，0） A（1m，0） ，B（1m，0） 同理可得： D（1+m，0） ，E（1+m，0） 当 AD=AE 时， （1+m）（ 1m）=（1+m）（ 1m），m=当 BD=AE 时， （1m）（ 1+m）=（1

7、+m）（ 1m），m=2故当 B，D 是线段 AE 的三等分点时， m=或 2存在理由：连接 AN，NE，EM，MA 依题意可得： M（m，） ，N（m，） 即 M，N 关于原点 O 对称， OM=ONA（1m，0） ，E（1+m，0） ，A，E 关于原点 O 对称， OA=OE四边形 ANEM 为平行四边形AM2=（m1+m）2+（）2=4，ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，若 AM2+ME2=AE2，则 4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，m=1，此时AME 是直角三角形，且 AME=90 当 m=1 时，以点 A，N，

8、E，M 为顶点的四边形是矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页优秀教案欢迎下载方法二：（1）略，（2）抛物线 C1：y=x2+，与 x 轴的两个交点为（ 1，0） ， （1，0） ，顶点为（ 0，） ，抛物线 C2：y=x2，与 x 轴的两个交点也为（ 1，0） ， （1，0） ，顶点为（ 0，） ，抛物线 C1向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为（m，） ，与 x 轴的两个交点为 A（1m，0） 、B（1m，0） ，AB=2，抛物线 C2向右平移 m 个单位长度后，顶点N 的坐标为（ m，） ，与 x

9、轴的两个交点为 D（1+m，0） 、E（1+m，0） ，AE=（1+m）（1m）=2（1+m） ，B、D 是线段 AE 的三等分点，有两种情况1、B 在 D 的左侧， AB=AE=2，AE=6，2（1+m）=6，m=2，2、B 在 D 的右侧， AB=AE=2，AE=3，2（1+m）=3，m=（3）若 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，A（1m，0） ，E（1+m，0） ，N（m，） 、M（m，） ，点 A，E 关于原点对称，点 N，M 关于原点对称，A、N、E、M 为顶点的四边形是平行四边形，则 ANEN，KAN KEN=1，A（1m，0） ，E（1+m，0） ，N（m，） ，=1，m=

10、1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页优秀教案欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页优秀教案欢迎下载强化训练1如图，抛物线y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，1） ，过点 A 的直线与抛物线交于另一点B（3，） ，过点 B 作 BCx 轴，垂足为 C点 P 是 x 轴正半轴上的一动点，过点P作 PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，设 OP 的长度为 m（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在线段 OC 上

11、（不与点 O、C 重合）时，试用含m 的代数式表示线段PM 的长度；（3）连结 CM，BN，当 m 为何值时，以 B、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页优秀教案欢迎下载解： （1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，1）和点 B（3，） ，抛物线的解析式为y=x2+x+1；（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0 ） ，A（0，1） ，B（3，） ，直线 AB 的解析式为 y=x+1，PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，OP=m，P（m，0）

12、 ，M（m，m+1） ，PM=m+1；（3）由题意可得： N（m，m2+m+1） ，MNBC，当 MN=BC 时，四边形 BCMN 为平行四边形，当点 P 在线段 OC 上时， MN=m2+m，又BC=，m2+m=，解得 m1=1，m2=2；当点 P 在线段 OC 的延长线上时， MN=m2m，m2m=，解得 m1=（不合题意，舍去），m2=，综上所述，当 m 的值为 1 或 2 或时，以 B、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页优秀教案欢迎下载2如图，已知二次函数的图象M 经过

13、 A（1，0） ，B（4，0） ，C（2，6）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点 G 是线段 AC 上的动点（点 G 与线段 AC 的端点不重合），若ABG 与ABC 相似，求点 G 的坐标；（3）设图象 M 的对称轴为 l，点 D（m，n） （1m2）是图象 M 上一动点，当 ACD 的面积为时，点 D 关于 l 的对称点为 E，能否在图象 M 和 l 上分别找到点 P、Q，使得以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页优

14、秀教案欢迎下载【解答】 解：（1）二次函数的图象M 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，可设二次函数的解析式为y=a（x+1） （x4） 二次函数的图象M 经过 C（2，6）点，6=a（2+1） （24） ，解得 a=1二次函数的解析式为y=（x+1） （x4） ，即 y=x23x4（2）设直线 AC 的解析式为 y=sx+t，把 A、C 坐标代入可得，解得，线段 AC 的解析式为 y=2x2，设点 G 的坐标为（ k，2k2） G 与 C 点不重合，ABG 与ABC 相似只有 AGBABC 一种情况=AB=5，AC=3，AG=|k+1|，=，|k+1|=k=或 k=（舍去） ，点 G 的

15、坐标为（，） （3）能理由如下：如图，过 D 点作 x 轴的垂线交 AC 于点 H，D（m，n） （1m2） ，H（m，2m2） 点 D（m，n）在图象 M 上，D（m，m23m4） ACD 的面积为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页优秀教案欢迎下载2m2（m23m4） （m+1）+（2m）=，即 4m24m+1=0，解得 m=D（，） y=x23x4=（x）2，图象 M 的对称轴 l 为 x=点 D 关于 l 的对称点为 E，E（，） ，DE=2，若以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况

16、：当 DE 为边时，则有 PQDE 且 PQ=DE=2点 P 的横坐标为+2=或2=，点 P 的纵坐标为（）2=，点 P 的坐标为（，）或（，） ；当 DE 为对角线时，则可知P 点为抛物线的顶点，即P（，） ；综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（，）或（，）或（，） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页优秀教案欢迎下载3已知直线 y=kx+b（k0 ）过点 F（0，1） ，与抛物线 y=x2相交于 B、C 两点（1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点

17、M 是直线 BC 上一动点，过点M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（mn） （m0） ，过点 E（01）的直线 lx 轴，BRl 于 R，CSl 于 S，连接 FR、FS试判断 RFS 的形状，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页优秀教案欢迎下载解： （1）因为点 C 在抛物线上，所以C（1，） ，又直线 BC 过 C、F 两点，故得方程组：解之，得，所以直

18、线 BC 的解析式为： y=x+1；（2）要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图 1 所示，设 M（x，x+1） ，则 D（x，x2） ，MDy 轴，MD=x+1x2，由 MD=OF，可得 |x+1x2|=1，当x+1x2=1 时，解得 x1=0（舍）或 x1=3，所以 M（3，） ，当x+1x2，=1 时，解得， x=，所以 M（，）或 M（，） ，综上所述，存在这样的点M，使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，M 点坐标为（ 3，）或（，）或（，） ；（3）过点 F 作 FTBR 于点 T，如图 2 所示，点 B（m，n）在抛物线上， m2=4n

19、，在 RtBTF 中，BF=，n0，BF=n+1，又 BR=n+1，BF=BRBRF=BFR，又 BRl，EFl，BREF， BRF=RFE， RFE=BFR， 同理可得 EFS=CFS， RFS=BFC=90 ，RFS是直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页优秀教案欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页优秀教案欢迎下载4如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=a（x+1）23 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A

20、在点B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（0，） ，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧（1）求 a 的值及点 A，B 的坐标；（2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点 P 位于第二象限时，设PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形 DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页优秀教案欢迎下载解

21、： （1）抛物线与 y 轴交于点 C（0，） a3=，解得： a= ， y=（x+1）23当 y=0 时，有（x+1）23=0，x1=2，x2=4，A（4，0） ，B（2，0） （2）A（4，0） ，B（2，0） ，C（0，） ，D（1，3）S四边形ABCD=SADH+S梯形OCDH+SBOC= 3 3+（+3） 1+ 2 =10从面积分析知，直线l 只能与边 AD 或 BC 相交，所以有两种情况：当直线 l 边 AD 相交与点 M1时，则 S= 10=3， 3 （y）=3y=2，点 M1（2， 2） ，过点 H（1， 0）和 M1（2，2）的直线 l 的解析式为 y=2x+2当直线 l 边

22、BC 相交与点 M2时，同理可得点 M2（，2） ，过点 H（1，0）和 M2（，2）的直线 l 的解析式为 y=x综上所述：直线 l 的函数表达式为 y=2x+2 或 y=x（3）设 P（x1，y1） 、Q（x2，y2）且过点 H（1，0）的直线 PQ的解析式为 y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由，+（k）xk=0，x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，点 M 是线段 PQ 的中点，由中点坐标公式的点M（k1，k2） 假设存在这样的 N 点如图，直线 DNPQ，设直线 DN 的解析式为 y=kx+k3由，解得： x1=1，x2=3k1，N（3k1，3

23、k23）四边形 DMPN 是菱形， DN=DM ，（ 3k）2+（3k2）2=（）2+（）2，整理得： 3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得 k=，k0，k=，P（31，6） ，M（1，2） ，N（21，1）PM=DN=2，PMDN，四边形 DMPN 是平行四边形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页优秀教案欢迎下载DM=DN ，四边形 DMPN 为菱形，以 DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形，此时点N 的坐标为（ 21，1） 5二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 （1，4） ，且与直

24、线 y=x+1 相交于 A、B 两点（如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0） （1）求二次函数的表达式；（2）点 N 是二次函数图象上一点（点N 在 AB 上方） ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 AB于点 M，求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下，点 N 在何位置时， BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页优秀教案欢迎下载方法一：解： （1）由直线 y=x+1 可知 A（0，1） ，B（3，） ，又

25、点（ 1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设 N（x，x2x+1） ，则 M（x，x+1） ，P（x，0） MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当 x=时，MN 的最大值为；（3）连接 MC、BN、BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，则 MN=BC ，且 BC=MC ，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解 x2+3x+2=0，得： x=1 或 x=2（舍去） 故当 N（1，4）时， BM 和 NC 互相垂直平分方法二：（1）略（2）设 N（t，） ，M（t，t+1） ，MN=NY MY=

26、+t1，MN=，当 t=时，MN 有最大值， MN=（3）若 BM 与 NC 相互垂直平分，则四边形BCMN 为菱形NCBM 且 MN=BC=，即=，t1=1，t2=2，t1=1，N（1，4） ，C（3，0） ，KNC=2，KAB=，KNC KAB=1，NCBM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页优秀教案欢迎下载t2=2，N（2，） ，C（3，0） ，KNC=，KAB=，KNC KAB 1，此时 NC 与 BM 不垂直满足题意的 N 点坐标只有一个， N（1，4） 精选学习资料 - - - - - - - - -

27、名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页优秀教案欢迎下载6已知直角梯形 ABCD 中 ADBC，B=90 ，AB=8，AD=24，BC=26，点 P从 A 点出发，沿AD 边以 1 的速度向点 D 运动，点 Q 从点 C 开始沿 CB 边以 3 的速度向点 B 运动， P，Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（1）当 t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，

28、共 23 页优秀教案欢迎下载解： （1）根据题意得： PA=t，CQ=3t，则 PD=ADPA=24t，ADBC，PDCQ，当 PD=CQ 时，四边形 PQCD 为平行四边形，即 24t=3t，解得： t=6，即当 t=6 时，四边形 PQCD 为平行四边形；（2）过 D 作 DEBC 于 E，则四边形 ABED 为矩形， BE=AD=24cm，EC=BCBE=2cm，当 PQ=CD 时，四边形 PQCD 为等腰梯形，如图所示：过点 P 作 PFBC 于点 F，过点 D 作 DEBC 于点 E，则四边形 PDEF 是矩形， EF=PD，PF=DE，在 RtPQF和 RtCDE 中，RtPQFRtCDE（HL） ，QF=CE，QCPD=QCEF=QF+EC=2CE，即 3t（24t）=4，解得： t=7，即当 t=7 时，四边形 PQCD 为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页优秀教案欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页