2022年非参数统计学讲义相关与回归 .pdf

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1、个人资料整理仅限学习使用非参数统计学讲义主讲：统计系袁靖第五章相关和回归1 引言所谓 相关 ，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率 X 和文盲率Y 之间的关系等等。在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X 和变量 Y 之间的相

2、关性。)var()var(),cov(),(YXYXYXcorr1(0.1对于样本),(11YX，),(22YX，),(nnYX来说， Pearson相关系数为222211)()()()()()(YYXXYYXXYYXXYYXXriiiiiiniin(0.2如果在这个样本中的n 个观察值独立，则r 是的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r 是的 ML 估计。为了检验0:0H，0:1H，可以选取统计量)2(122ntrnrt结论： Pearson相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman秩相关系数sr和 Kendall 相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，

3、或是更广义的单调关系。因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。2 两个样本的相关分析一、 等级相关等级相关 (Rank Correlation 也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景1度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用1基本方法两个样本X、Y，其观察数据可以配对为),(11YX，),(22YX，),(nnYX。将nxxx,21排序后评秩，其秩记作U，与ix相对应的秩为),2, 1(ni

4、Ui；同样，nyyy,21排序后评秩，秩记作V，与iy相对应的秩为), 2, 1(niVi。这样得到的n 对秩),(11VU，),(22VU，),(nnVU可能每一对完全相等，也可能不等。由于每一样本都是n 个数据评秩，因此iU与iV的取值都是从1到 n。X、Y 的秩可能完全一致，即对于所有的i 来说，有iUiV，表 51 是完全一致的评秩结果。X、Y 的秩可能完全相反，表 52 是完全相反的评秩结果。如果X、Y 完全相关，应该对于所有的i 有iUiV，即iUiV0。因此，iU与iV之差可以用来度量X、Y 的相关程度。定义iiiVUD表 5-1 完全一致的评秩X的秩Y的秩1 1 2 2 n 1

5、 n1 n n 表 5-2 完全相反的评秩X的秩Y的秩1 n 2 n1 n 1 2 n 1 则两组秩完全相关时，iD5.3）式的这个秩差值平方和的大小既受到n 的多少的影响，又受到两组秩不一致程度的影响，因此，采用相对的测量指标有利于说明X、Y 的相关程度。因为2iD的最大值反映X、Y 完全不相关的情况，所以，用5.4）式的中括号内最后一项，当n 为奇数时是22；n 为偶数时是12。5.3）式除以 5.5）式的取值从0 到 1。根据表5-1 中的数据计算5.5）式值为0，表 5-2 中的数据计算的5.5）式值为 1，即 X、Y 的秩完全一致时，5.5）式的值为0，X、Y 的秩完全不一致时， 是

6、测定两个样本相关强度的重要指标。其计算公式为)1(6122nnDRi(0.6斯皮尔曼相关系数也写为sr，在有下标注以s 是为表明这个相关系数r 不是积矩相关的简单相关系数，而是等级相关的Spearman相关系数。注：由于 5.6）式与 5.5）式不同，所以，R 的取值从一1 到十 1，1R表明 X、Y 完全相关， R十l 为完全正相关，R一1 为完全负相关。R 越接近于l，表明相关程度越高，反之，R 越接近于零，表明相关程度越低，R0 为完全不相关。R0 为正相关， R0 为负相关。通常认为8.0R为相关程度较高。Spearman秩相关系数检验临界值查表可得，P198。存在打结时，Spearm

7、an统计量要作相应修正。在大样本时，可用正态近似作检验。)1 , 0(1NnnrZs2应用【例 5-1】经济发展水平和卫生水平之间的相关分析对某地区12 个街道进行调查，并对经济发展水平和卫生水平按规定的标准打分，评定结果如表54。表 5-4 某地区经济水平与卫生水平得分街道号经济水平卫生水平街道号经济水平卫生水平182 86 7 84 80 287 78 8 78 77 360 65 9 80 75 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用498 88 10 94 96 575 64 11 85

8、 85 689 90 12 68 70 分析：将表54 中定距尺度测量的分数，按从小到大的顺序排等级，得到表55 的结果。对两个定序尺度测量的样本进行相关分析，可以采用等级相关系数测定。必要的计算过程如表5 5 所列。根据56）式可得8881.01119. 01)112(123261)1(61222nnDRi由于R0 888l 08，所以该地区的经济发展水平和卫生水平存在着正相关关系，相关程度较高，为 88 81。表 5-5 某地区经济水平与卫生水平得分街道号经济水平 U）卫生水平 式中， u 是 X 中同分的观察值数目，v 是 Y 中同分的观察值数目。【例 5-2】经济发展水平和卫生水平之间

9、的相关分析某地区对24 个区县进行调查，并对经济发展水平和卫生水平按规定标准评分，结果如表56。分析：将表56 的评分转换为秩次，从高往低排序，同分的秩取平均值，结果见表57。根据公式5.6 计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用8491.01509.01) 124(2434761)1(61222nnDRi由于经济水平和卫生水平的评分中均有同分，应采用校正因子修正。利用5.7 式计算修正的R 为8490. 012)575(2416)575(24)1216(2/1)347(6)575(2412

10、)1(12)1()(66)1(2222vnnunnvuDnnRi对比两个R 值可知，由于同分的观察值数目占观察值总数目的比例不是很大，因而校正后的R 与校正前的R 变化不大。但是，校正前的只略大于校正后的R，这说明同分对只的影响虽然很小，但同分的影响是夸大R 值。因此。在X、Y 中至少有一个存在大量同分时，应进行校正。表 5-6 经济水平与卫生水平评分区县编号经济水平 X）卫生水平 Y）区县编号经济水平 X）卫生水平 Y）192 56 13 68 55 290 70 14 67 66 390 71 15 65 59 487 76 16 64 58 581 69 17 61 50 680 68

11、18 60 54 779 62 19 59 43 877 70 20 55 45 976 64 21 46 34 1076 63 22 42 32 1174 54 23 39 30 1268 65 24 38 31 表 5-7 经济水平与卫生水平的秩次区县编号X的秩次 U）Y的秩次 V）D=U-V D2 11 14 -13 169 22.5 3.5 -1 1 32.5 2 0.5 0.25 44 1 3 9 55 5 0 0 66 6 0 0 77 11 -4 16 88 3.5 4.5 20.25 99.5 9 0.5 0.25 109.5 10 -0.5 0.25 1111 16.5 -5

12、.5 30.25 1212.5 8 4.5 20.25 1312.5 15 -2.5 6.25 1414 7 7 49 1515 12 3 9 1616 13 3 9 1717 18 -1 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用1818 16.5 1.5 2.25 1919 20 -1 1 2020 19 1 1 2121 21 0 0 2222 22 0 0 2323 24 -1 1 2424 23 1 1 合计347.00 4R 的显著性检验利用相关系数及其修正的公式计算的R 值，是抽自

13、两个总体的样本数据计算的结果，从这一相关系数的大小，可猜测总体的秩相关系数是否与零有显著差异，但是否为真，应进行假设检验。对R 的显著性检验正是为了回答这一问题。检验可以仅研究两个总体是否存在相关，也可以分别研究相关的方向，即是正相关，还是负相关。针对研究问题的不同，可以建立不同的假设组。双侧检验H0：不相关H1：存在相关单侧检验H0：不相关 H0：不相关H+ ：正相关 H：负相关为对假设作出判定，所需数据至少是定序尺度测量的。根据前式计算出R 值。当30n时，在附表中，依据 n 和 R 查找相应的概率P。表 58 是判定指导表。表 5-8 R 显著性检验判定指导表备 择 假 设P-值H+：正

14、相关R的右尾概率H：负相关R的左尾概率H1：存在相关R的较小概率的2 倍若30n，则按 【例 5-3】对例 53 作显著性检验分析：由于例53 中未指明相关的方向，只需检验是否相关，因而建立双侧备择：H0：不相关H1：存在相关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用利用提供的数据计算的R 值为0 8491，每个样本数据n 为 24。在附表中n 24 时；双侧检验608.0R的概率为0 002。显然， R0 849l608.0R。因此，概率P0002，数据拒绝H0，表明经济水平和卫生水平确实存在相关

15、关系。二、 Kendall 相关检验Kendall 秩相关即肯德尔秩相关，与等级相关一样，也是用于两个样本相关程度的测量，要求数据至少是定序尺度的。它也是利用两组秩次测定两个样本问相关程度的一种非参数统计方法。1基本概率协 同 非一致对评分与最大可能总分之比为)1(22nnVCVn(0.10当 Y 的秩对完全按自然顺序排列时，5.9）式的值为1，5.10）式的值为0；而当Y 的秩对全部为非一致对时，5.10）式的值为1，)1(41nnVT(0.12若记 SU 一 V，则 Kendall 秩相关系数为)1(2nnST(0.13这里的Kendall 秩相关系数T 是 Tau 的缩写，也常写作。Tl

16、，表明两组秩次完全正相关；T一1，表明两组秩次间完全负相关。一般8. 0T，可以为相关程度较高。NOTE ：该定义式实质为概率，11T；详见笔记P40 S和 T 等价；S的计算；小样本时，可以查表；大样本时，可以作正态近似：)1 , 0()52)(1(18NnnnkZ。存在打结时，进行同分的处理。3应用【例 5-4】利用例5-2 的数据资料分析经济水平和卫生水平的相关程度分析：根据表55 的评秩结果进行秩次重新排列，将经济水平的秩次按自然顺序排列，得表510的结果。由表可以计算得到2、3、1、5、 4、9、7、8、6、11 的一致对数目精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

17、总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用5613343779910U根据 5 11）式计算有6970.01) 112(125641)1(4nnUT由表可以计算出非一致对的数目V 为V1 十 1 十 1 十 3十 1 十 1 十 1 十 1=10 根据 5 12）式计算有6970. 03030.01)112(121041)1(41nnVT若根据 513）式计算，也可以得到同样的结论。T0 697008，表明经济水平与卫生水平相关程度不够高。Kendall 秩相关系数也可以用于定距尺度测量的数据，数据不必评秩，而直接比较大小得到一致对或非一致对的数目。表 5

18、-10 经济水平和卫生水平秩的排序街道编号经济水平的秩卫生水平的秩街道编号经济水平的秩卫生水平的秩3 1 2 7 7 7 12 2 3 11 8 8 5 3 1 2 9 6 8 4 5 6 10 11 9 5 4 10 11 12 1 6 9 4 12 10 注：也可以按照原始资料进行排序，比较大小，从而进行判定。4同分的处理当两个样本中无论哪一个或者两个均有同分观察值时，仍采用通常的办法，将每一个同分观察值的秩记作其应有秩的平均值。由于同分的影响，也需要对了计算公式中的分母进行校正。在同分情况下，式中，2uCu， u是 X 中同分观察值的数目，2vCv， u 是 X 中同分观察值的数目。u，

19、v 仍分别表示 X、Y 的每一同分组中同分观察值的数目。表 5-11 两个裁判员的秩的评分X的数对Y的数对分数总和1，2.5 2，3.5 1 5 个加1，2.5 2，3.5 1 3 个减1，4.5 2，1 -1 1，4.5 2，5 1 2.5 ，2.5 3.5 ，3.5 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用2.5 ，4.5 3.5 ，1 -1 2.5 ，4.5 3.5 ，5 1 2.5 ，4.5 3.5 ，1 -1 2.5 ，4.5 3.5 ，5 1 4.5 ，4.5 1，5 0 5T 的

20、显著性检验与 Spearman秩相关系数R 一样， Kendall 秩相关系数T 的显著性也应进行检验。这一检验实际上是检验两个总体的相关是否真实存在，是正相关或是负相关，从而说明以T 的大小反映相关程度的高低是可信。如果研究关心的是相关是否确实存在，而不考虑相关的方向，则应建立双侧备择，假设组为H0：不相关H1：存在相关若关心的是相关的方向，则应建立单侧备择，假设组为H0：不相关 H0：不相关H+ ：正相关 H：负相关为对假设作出判定，所需数据至少是定序尺度测量的。通过对数据求出一致对或非一致对数目，可以按照计算公式算出Kendall 秩相关系数T。1）小样本时)30(n，可以查表给出尾概率

21、，T 的抽样分布中附表中给出。表 5-12 T 显著性检验判定指导表备 择 假 设P-值H+：正相关T 的右尾概率H：负相关T 的左尾概率H1：存在相关T 的较小概率的2 倍由于 Z近似正态分布，故可以查标准正态分布表找到相应的尾概率。三、 等级相关系数 R 和 Kendall 秩相关系数 T 的比较1相同点两个相关系数的检验都要求数据至少是在定序尺度上测量；都是计算秩相关系数，用以测度两个相关样本之间的相关程度；它们的取值都是在1 到 1之间；2不同点R 和 T 的数值即使对于同一组数据也是不同的，多数情况下，R 的绝对值大于T 的绝对值；虽然R 和 T 都使用了资料中同量的信息，但由于两者

22、具有不同的基础尺度，R 利用的是秩差，而T 利用的是秩的顺序，即一致对和非一致对，因此，不能将它们的数值加以比较，以说明相关程度的高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用低。T 的解释比起R 来更容易。两个观察的数对),(iiyx，),(jjyx，当jixx时，总有jiyy，称为顺序一致对，若对于每个jixx，都有jiyy，则为不一致对。T 的准确意义是：一致对数目与非一致对数目之差占全部可能数对的比重。四、 偏秩相关详见易丹辉教材3 k 个样本的相关分析前面一章研究的是n 个对象或个体的两组

23、秩之间相关的度量，在实际问题中，往往还涉及n 个对象或个体的几组秩评定之间的相关。对于至少是定序尺度测量的k 个配对样本的数据，或k 次实验得到的数据，其秩评定间的相关，可以采用Kendall 秩评定协同系数度量。本章主要介绍两种Kendall 秩评定协同系数：完全秩评定协同系数和不完全秩评定协同系数。一、 完全秩评定的 Kendall 协同系数完全秩评定的Kendall 协同系数 (KendallCoefficient of Concordancefor ComPlete Rankings用于是组秩评定间相关程度的测定，即多组秩之间关联程度的测定。1基本方法若被分析的数据是定序尺度测量的，那

24、么n 个数据，即n 个对象或个体，可以分别给予某一个秩，在这一组数据内所有的秩次和即等级和为12(1)/ 2nn n如果有 k 组秩，那么这k 组秩的秩次总和就是(1)/2kn n。例如3 个消费者分别给6 种牌号电冰箱的质量评等级，结果如表514。表中最后一行jR是每一种牌号电冰箱的秩和，总的秩和为61(1) / 23(6)(61)/ 263jjkn nR。这也就是最大可能的秩次和。这时，对于每一个观察对象或个体来说，平均的秩次和应为(1)/ 2/kn nn表 5-14 消费者给冰箱质量评定的秩消费者冰箱 A 冰箱 B 冰箱 C 冰箱 D 冰箱 E 冰箱 F 1 1 6 3 2 5 4 2

25、1 5 6 4 2 3 3 6 3 2 5 4 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用秩和2。如果jR(jl，2， n表示每一观察对象或个体的实际秩和，那么，jR与 k(n十 1 2越接近，表明对第j 个观察对象或个体的秩评定越接近平均秩；二者相差越远，远离平均秩。由于jR与 k(22 十 12 的差值可正可负，因此，在分析时应采用差值的平方和。定义差值的平方和为S，即21(1)/ 2)njjSRk n(0.16在 k 组秩评定完全一致时，各个观察对象或个体的秩和与平均秩和的离差平方和，是

26、最大可能的离差平方和。由于k 组秩评定完全一致时，各观察对象或个体的秩和分别为k，2k， nk，如表514，如果3 位消费者对6 种牌号电冰箱的质量看法一致，那么他们会给出相同的秩。这时，被认为质量最好的电冰箱将得到3 个秩 1，它们的秩和Rj1 十 1 十 13k。被认为质量第二的，秩和Rj2 十 2 十 2 62k。最差的电冰箱秩和将是Rj6 十 6 十 618nk。也就是说，当k 组秩评定之间完全一致的时候，Rj应是 k，2k， nk。因此，最大可能的离差平方和为2222211(1)/ 2(1)/ 2)(1)/12nnjjjkk nkjnk n n(0.17实际偏差平方和与最大可能偏差平

27、方和之比，在一定程度上能反映k 组秩评定间的一致性，即协调程度。 5.16）式除以 W 的取值在0 到 1 之间。若W=0，表明k 组秩之间不相关；若W=1，表明 k 组秩之间完全相关，即完全一致。由于k2 时， k 组秩评定不可能完全不一致，也就是说，只有当k2 时，秩评定一致和非一致是对称相反的，而k2，对称性不再存在，因此，W 取值不可能为负。为方便实际计算，NOTE ：在 m 组秩的评定完全一致时，该离差平方和是最大可能的离差平方和，实际上，个体的秩和分别为： k,2k, ,nk。最大可能的离差平方和为：22(1)/12k n n完全评秩的协同系数W，实际表达了实际偏差平方和和最大可能

28、偏差平方和之比，在一定程度上反映了 k 组评秩之间的一致性，即协同程度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用01W。当 W=0 时，表明k 组秩之间不相关；若W=1 ，表明 k 组秩之间完全相关，即完全一致。 在作检验时， W统计量和S统计 量 都有表可 查 ；当大样 本时 ，有212(1)(1)(1)SQk nWnkn n2应用【例 5-8】裁判组整体评分效果的相关分析在某次业余歌手大赛上，6 名裁判员组成的裁判组，对10 名参赛歌手的评分等级如表5 15。表 5-15 裁判员对歌手评定的

29、等级歌手编号裁判员 A 裁判员 B 裁判员 C 裁判员 D 裁判员 E 裁判员 F 11 1 1 1 1 5 22 3 7 5 8 3 35 4 6 2 6 9 49 7 5 4 10 6 54 5 3 6 5 8 66 6 4 7 7 2 73 2 9 10 2 4 87 10 10 3 4 1 910 8 2 9 9 7 108 9 8 8 3 10 分析：裁判组由6 名裁判组成，要评价6 名裁判整体评分效果，实际上是评价裁判组整体评分的一致程度。由于这是6 个配对样本，且每一个观察对象即参赛歌手全部都有秩，所以是6 个样本完全秩评定协调程度的考察，应采用完全秩评定的Kendall 协同系

30、数。表 5-16 裁判员对歌手评定的等级歌手编号jR2jR110 100 228 784 332 1024 441 1681 531 961 632 1024 730 900 835 1225 945 2025 1046 2116 合 计330 11840 表 516 是 Rj计算表。由于k6，n10，按 当样本观察值数目n 较大时，采用Q 统计量。212(1)(1)(1)SQk nWnkn n(0.21小样本时，检验统计量S 在 H0为真时的抽样分布，可以参见附表。大样本时，可以查卡方分布表得到其相应的尾概率的值。【例 5-9】对上例的W 值进行显著性检验分析：因为在这个问题中，n l0，

31、k6，所以应利用W 值计算统计量Q，根据 式中， 是配对样本被比较的次数。例如，3 个消费者对3 种牌号的彩电质量评等级，若3种脾号的彩电仅一次被比较，则1。2，由于有k 行，因此，所有的秩和为km(m 十 12。对于 n 列来说，平均每列的秩和为km(m 十 12n。若每列的实际秩和记作Rj(j1，2， n那么，实际秩和与平均秩和的差值大小也可以用作判定协调性程度。由于实际秩和与平均秩和之差可正可负，因而，仍采用差值平方和。定义S为21(1)2njjkm mSRn(0.23当 k 组秩的评定完全一致时，S 就是22(1)12n n(0.24这也就是实际秩和与平均秩和差值平方和的最大可能值。因

32、此，将5.23）式与 5.24）式相比，可以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用用来度量k 组秩评定之间的协调性或一致性。这就是不完全秩评定的Kendall 协同系数，也记作S。其计算公式如 5.25）式和 2221(1)/ 2 12(1)njjRkm mnWn n(0.26如果 mm 和k，那么 5.25）式和 5.26）式就是 5.18）式。W 值在 0 到 1 之间。 W 为 0，表明k 组秩评定之间不相关；W 为 1，表明k 组秩评定之间完全相关，即完全一致。由于k2 时，秩评定的一

33、致和非一致不是对称的，因而，W 取值不可能负。为实际计算的方便， 5.25）式和 5.26）式可以写成 2应用【例 5-10】消费者对彩电质量评价的一致性分析7 种不同牌号的彩电质量检验，不要求消费者对每一种牌号的彩电都给出秩，只要求不大于3 个。因而， m3，n 7。如果每对彩电仅一次被比较，因而有1。需要的消费者数目，可以从(521式中计算得到(1)1(7)(71)7(1)3(31)n nkm m表 5-18 消费者对彩电质量可能的评秩消费者编号彩电 A 彩电 B 彩电 C 彩电 D 彩电 E 彩电 F 彩电 G 1* * * 2* * * 3* * * 4* * * 5* * * 6*

34、* * 7* * * 表 5-19 消费者对彩电的秩评定结果消费者编号彩电 A 彩电 B 彩电 C 彩电 D 彩电 E 彩电 F 彩电 G 11 2 3 21 3 2 33 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用42 3 1 51 3 2 62 1 3 71 3 2 合计3 5 9 7 8 4 6 即需要有7 名消费者来评定。表518 是一种满足要求的设计表格。表中的* 号表示那种牌号的彩电被消费者评秩。由于m3，n7，k7，所以表中每一行有m 3个秩，表中每一列有kmn7(373 个

35、秩。经过消费者评秩，结果如表519。分析：由于这是不完全的秩评定，设计要求符合(521式的平衡假定，可以采用不完全秩评定的Kendall 协同系数，分析消费者对彩电质量评价的一致性。根据 5.27）式有22222222221212(3597846 )3(7 )(3 )(31) / 712(280)3024336S233617(71)W这是 W 的最大值，表明7 个消费者对彩电质量的看法完全一致。在不完全的秩评定中，同分也是可能出现的，因为数据可以由定距尺度的评分转换为定序尺度的秩。但是，目前没有比较简单的校正公式，因此，计算Kendall 协同系数时，仍旧采用524）式， 525）式或 5.2

36、7）式。3显著性检验对于不完全秩评定的Kendall 协同系数，也可以进行显著性检验。建立的假设组为H0：不相关H1：存在相关为对假设作出判定，需要k 个样本的数据至少是定序尺度测量的，并能够根据前面的公式分别计算出 S、W。利用S、W 按照 5.28）式、 12(1)Sn m(0.29【例 5-11】利用例 5-10 的数据作显著性检验分析：在例5-10 中， 1，m3，n7，W1，将各个数值代入5.28）式得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用22(1)1(71)112131nWQm自

37、由度dfn 一 16，在卡方分布表中，H0为真时， Q 是 12 出现的概率P 略大于 005，因为当概率为 005 时，21259。由于这个P 是近似的值，因而，可以在显著性水平0.05上拒绝H0。况且， W 的值为最大可能值l，拒绝 H0是合乎逻辑的。4多重比较若 P 值很小，以至于H0被拒绝，也就是k 组不完全的秩评定之间存在相关，那么，有必要比较这k 组秩之间是否有重大的不同，可以运用多重比较技术来研究这一问题。第 j 列的秩和Rj除以该列的秩数目kmn，是第 j 个对象的平均秩，比较n个对象的k 个不完全组的秩之间有无明显不同，可以利用各个对象的平均秩比较，也可以利用各列秩和的差值比

38、较。对于任意两个列等级和(,)1ijR Rijn，它们的差值在1 一水平下，满足 5.30）式或 (1)6ijnmRRZ(0.31表明 n 个对象间秩评定没有重大的不同；而若大于5.30）式或 5.31）式的右侧，表明这是有重大不同的数对。5.30）式、 221，查多重比较的临界值Z 表，得到2823，代入 530）式，得到2.823 7(1)(31)/ 66.0984ijRR将表 519 中各列秩和两俩比较差值，可知，最大差值为A 与 C 列，即396。这一差值仍小于60984。因此，可以得出结论：在7 种牌号彩毫的不完全秩评定中，各列之间没有什么重大不同，若取030，由 530）式得到2.

39、457(1)(31)/65.2926ijRR根据表5 19 中提供的各列秩和可知，除了A 与 C 秩和的差值较大外，其它各列秩和之间没有什么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用重大的不同。A 与 C 的差异，说明对于消费者来说，对彩电A 质量的评价大大高于对彩电C 的评价，因为 A 的秩次和低于C 的秩次和较多。三、 Friedman 检验和多重比较详见易丹辉教材4 回归分析一、 Theil 回归和最小中位数二乘回归 。x=S(:,1 。y=S(:,2 。number=0。% B=zeros

40、(300 。for i=1:25 for j=1:25 if x(i=x(j s(i,j=(y(j-y(i/(x(j-x(i。 number=number+1 。 end end end B=reshape(s,1,625。beta=median(B。for j=1:25 A(j=y(j-beta*x(j。end alpha=median(A 。3最小中位数二乘回归%非参数统计学计算最小中位数二乘回归S=load(bbb.txt,-ASCII 。x=S(:,1 。y=S(:,2 。alpha=6。beta=-1。numberi=0。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

41、 - - - - - - -第 19 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用numberj=0。for i=1:300 for j=1:300 for k=1:25 s(i,j,k=(y(k-alpha-x(k*beta2。 end med(i,j=median(s(i,j,: 。 beta=beta+0.001。 end alpha=alpha+0.001。end M=reshape(med,1,90000 。minvalue=min(M 。for i=1:300 for j=1:300 if med(i,j=minvalue numberi=i 。 numberj=j 。 end end

42、 end alpha=6。for i=1:numberi alpha=alpha+0.001。end beta=-1。for j=1:numberj beta=beta+0.001。end 结论：在这三种估计中，OLS 最灵敏，受数据的影响较大，适用于“干净”的数据；Theil 估计能够忍受有限度的数据污染；最小中位数二乘估计最稳健。二、 基于 Theil 回归的检验和置信区间 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页个人资料整理仅限学习使用因此，ijS和0的大小关系取决于jijieeXX的符号，取取决于(,)iiXe与(,)jjXe协同与否。于是，检验0的问题转化为应用统计量cdknn来检验 e和 X 是否相关的问题。结论：在残差有零均值并且和X 独立时，如果对选定的0， e和 X 之间具有较高的相关性，则应拒绝 H0。2回归系数的置信区间【本章思考题】1什么是协同？2Spearman等级秩）相关系数是如何构造的？3Kendall 协同系数如何计算？4OLS 估计， Theil 回归和最小中位数二乘回归有何区别？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页