2022年随机变量及其分布列复习经典讲义 .pdf

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1、随机变量及其分布列一 古典概型和几何概型1、(1)古典概型的概率：P(A)mnA中所含的基本事件数基本事件总数. (2)几何概型的概率：P(A)构成事件 A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 例 1、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示)例 2、如图所示， 在边长为1 的正方形 OABC 中任取一点P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为_ 练习： 1、在长为12 cm 的线段 AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积小于32 c

2、m2的概率为 _ 2、现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项， 3 为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 _2 互斥事件与对立事件的关系;对立是互斥，互斥未必对立；例 1、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率二、随机变量与分布列1、条件概率：在 A 发生的条件下B 发生的概率：P(B|A)P ABP A. 2、相互独立事

3、件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)3、独立重复试验：如果事件A 在一次试验中发生的概率是p，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为Pn(k) Cknpk(1p)nk，k0,1,2， n. 4、离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量 可能取的值为x1，x2， xi， 取每一个值xi的概率为P(xi)pi，则称下表：为离散型随机变量 的分布列(2)离散型随机变量 的分布列性质： pi0，p1p2 pi 1(i1,2,3， )5、常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布：分布列为(其中 0pY，则甲胜；若XY，则乙胜 .分别求出甲和乙获胜的概率。常规试题训练1、某射手有5

4、 发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列2、已知随机变量的分布列为2 1 0 1 2 3 P 121123124121122121分别求出随机变量221,21的分布列3、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列4、盒中装有大小相等的球10 个，编号分别为0，1，2， 9，从中任取1 个，观察号码是“小于 5” “等于 5” “大于 5”三类情况之一规定一个随机变量，并求其概率分布列5、一袋中装有5 只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中

5、同时取3 只，以表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量的分布列6、一批零件中有9 个合格品与3 个不合格品安装机器时，从这批零件中任取一个如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列、袋中有1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，现从中任取一球观察其颜色确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率概率、随机变量及其分布列提高训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页1甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14

6、. 现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_2一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为a，得 2 分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1( 不计其他得分的情况) ，则ab的最大值为 _3将一枚均匀的硬币抛掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_4甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012 年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人

7、文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75. (1) 求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2) 求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率5乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10 平前，一方连续发球2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换每次发球，胜方得1 分，负方得0 分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概率为0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1) 求开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1 比 2 的概率；(2)表示开始第4 次发球时乙的得分，求的期望6某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4 次考核，规定：

8、按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932.(1) 求小李第一次参加考核就合格的概率P1； (2) 求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X) 概率、随机变量及其分布列高考真题演练1、从 如图所示的长方形区域内任取一个点 M（x,y）,则点 M 取自阴影部分的概率为 . 2、甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ，他们约定，各自精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

9、4 页，共 7 页独立地从 1 到 6 号景点中任选4 个进行游览， 每个景点参观1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）（A）136（B）19（C）536（D）163、如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常) 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ( )A14 B12C22 D44、高l为平面上过 (0,1)的直线 , l的斜率等可能地取22,3,25,0,25,3,22,用表示坐标原点到l的距离 , 由随机变量的数学期望E=_ 5、设甲、乙、丙三

10、台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 6、甲、乙、丙3 人投篮 ,投进的概率分别是13, 25, 12. ()现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率; ()用 表示乙投篮3 次的进球数 ,求随机变量 的概率分布及数学期望E.7、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率

11、分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （）求该选手被淘汰的概率；（）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）8、某射击测试规则为：每人最多射击3 次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1 i(1 2 3)i，分，3 次均未击中目标得0 分已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响 （）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望9、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下： ()求 a 的值和的数学期望；（）假设一月份与二月份被消费者

12、投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。10、为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校700 名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm 之间的概率；（）从样本中身高在165180cm 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在170180cm之间的概率 . 11、如图， A 地到火车站共有两条路径1L和2L，据统计，通过两条

13、路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：时间（分钟）10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 1L的频率0.10.20.30.20.22L的频率0 0.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用 X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求 X的分布列和数学期望. 12、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需

14、的时间（分）1 2 3 4 5 频 率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第 一个顾 客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望13、在一场娱乐晚会上，有5 位民间歌手 (1 至 5号 ) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手，其中观众甲是1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选2 名观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页爱，因此在1 至 5 号中随机选3名歌手(1) 求观众甲选中3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率；(2)X表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页