高考人教版数学知识点总结及例题解析.doc

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1、高考所有知识点高中数学专题一 集合一、集合有关概念集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性 互异性 无序性(1) 集合的表示方法：列举法与描述法。u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5)即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如

2、果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集u 高考试题u 3不等式的解集是 （ ）u AB且u CD且u 5设集合，则 （ ）ABCD6设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是（ ）A(A)B=IB(A)(B)=I CA(B)=D(A)(B)= B（2）设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是 ( )（A）（B）（C） （D）、设集合，则 ( )A BC D5设，集合，则 ( ) A1 B

3、C2 D1函数的定义域为（ ）ABCD（1）已知集合，则中所含元素的个数为 ( )（A）3 （B）6 (C) 8 （D）102.已知全信U（1，2，3， 4，5），集合A,则集合CuA等于 ( )（A） （B） (C) (D) 2已知全集，集合，则集合中元素的个数为（ ）A1B2C3D41设不等式的解集为M，函数的定义域为N，则为 ( )（A）0，1） （B）（0，1） （C）0，1 （D）（-1，0 、1.集合A=x，B=，则= （D）（A） (B) (C) x (D) x 1. 集合，则（ ） （A） （B） （C） （D） 1、设全集为R，函数的定义域为M，则为 ( ) A、 B、 C、

4、 D、答案 DBCBC D答案BBADC-高中数学专题二 复 数一基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b = 0时复数a + bi为实数虚数：当时的复数a + bi为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：的共轭记作； （4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；【2】复数的基本运算设，（1） 加法：；（2） 减法：；（3） 乘法： 特别。（4

5、）幂运算：【3】复数的化简（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解二 例题分析【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数，则=A. B. C.1 D.2【例4】已知，（1） 求的值；（2） 求的值；（3） 求.【变式1】已知复数z满足，求z的模.【变式2】若复数是纯虚数，求复数的模.【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）的共轭复数为的虚部为【例6】若复数（i为虚数单位），（1） 若z为实数，求的值（2） 当z为纯虚，求的值.【变式1】设是实数，且是实数，求的值.

6、【变式2】若是实数，则实数的值是 .【例7】复数对应的点位于第 象限【变式1】是虚数单位,等于 ( )Ai B-i C1 D-1【变式2】已知=2+i,则复数z=（）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i【变式3】i是虚数单位，若，则乘积的值是（A）15 （B）3 （C）3 （D）15【例8】（2012年天津）复数= （ ）（A） （） （） （）【变式4】（2007年天津）已知是虚数单位， （ ） 【变式5】.（2011年天津）已知是虚数单位，复数= （ ） ABCD【变式6】（2011年天津） 已知i是虚数单位，复数（ ）(A)1i (B)55i (C)-5-5i (

7、D)-1i高中数学专题三 函数（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）第一章、函数的有关概念1函数的概念： y=f(x)，xA自变量x;定义域A；函数值y，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)2值域 : 先考虑其定义域4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间5映射A、B集合，对

8、应法则f， A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数 补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1

9、，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.（2） 图象的特点增函数上升，减函数下降.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x110a10a0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ;= ；= ;3.函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍

10、，则a= 5.已知，（1）求的定义域（2）求使的的取值范围高中数学专题三 函数（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数（1），方程有

11、两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点高考试题8.（2007）若函数f(x)的反函数为f,则函数f(x-1)与f的图象可能是 （ D ）11（2007）.f(x)是定义在（0，）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若 ab，则必有 （ C ）A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)13（2007）. 1/3 .7（2008）已知函数，

12、是的反函数，若（），则的值为（A ）AB1C4D1010（2008）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ C ）A7B5C4D311 （2008）定义在上的函数满足（），则等于（ B ）A2B3C6D93.（2009）函数的反函数为 （ B ）（A） (B) （C） (D) 5.若,则 的值为 （ A ）（A） （B） （C） (D) 3（2011）设函数（R）满足，则函数的图像是 （ ）【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B6（2011）函数在内

13、 （ ）（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点【解】选B （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；（方法二）在上，所以；在，所以函数是增函数，又因为，所以在上有且只有一个零点12（2011）设，一元二次方程有整数根的充要条件是 12设，一元二次方程有整数根的充要条件是 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算【解】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根【答案】3或4高中

14、数学专题三 函数（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）第四章、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： （3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，它的方程是

15、x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意 平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，； 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相

16、交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。题目练习例2.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（D ）A2BCD 例3.曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）（A） （B） （C） （D） 例4.已知直线为曲线在点（1，0）处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 （）求直线的方程；（）求由直线、和轴所围成的三角形的面积. 高中数学专题三 函数（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、

17、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）第五章 三角函数12、同角三角函数的基本关系： 13、三角函数的诱导公式：，14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变

18、），得到函数的图象函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：；（）；（）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：（，）26、，其中27.正弦定理、余弦定理正弦定理：在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径

19、为R。则有ABC，余弦定理可表示为：同理，也可描述为：高考试题4（2007）.已知sin=，则sin4-cos4的值为 ( A )（A）- (B)- (C) (D) 16、（2012）（本小题满分12分） 已知向量，设函数.（）求的最小正周期；（）求在上的最小值和最大值.17.（2007）（本小题满分12分）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为17（2008）（本小题满分12分）

20、已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由解：（）的最小正周期当时，取得最小值；当时，取得最大值2（）由（）知又函数是偶函数17（2009）（本小题满分12分） 已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.()求的解析式；（）当，求的值域.解（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上的故 又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为-1,217（2010）（本小题满分12分） 如图，A，B是海面上位于东西方向相聚海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北

21、偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？ 解：由题意知海里，在中,由正弦定理得，=（海里）答：救援船到达D点需要1小时.高中数学专题三 函数（定义域、值域、映射、抽象函数、单调性、奇偶性、最值、极值、指数函数、对数函数、幂函数、一次、二次函数、反比例函数 、导数）第六章 导 数第01讲：导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：； ； 法则1： 法则2： 法则3： （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作

22、或，即如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，即。2. 由导数的定义求函数的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量;（2）.求平均变化率; （3）.取极限，得导数。3.导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率。 因此，如果存在，则曲线在点（）处的切线方程为_。 4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：（1）公式的特例：_; _,

23、 _.（2）法则：_; 若，则=_.（二）例题分析：例1. 已知y=，用导数的定义求y.例2.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ）A2BCD 例3.曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ）（A） （B） （C） （D） 例4.已知直线为曲线在点（1，0）处的切线， 为该曲线的另一条切线，且 （）求直线的方程；（）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.第02讲： 导数在研究函数中的应用（一）基础知识回顾：1. 设函数在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内，则在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，则是这个区间内单调递减.2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导

24、数； （2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间。3. 求函数的极值的方法：（1）求导数；（2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧_0，右侧_0，那么是的极大值；如果在根附近的左侧_0，右侧_0，那么是的极小值4在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤：（1）求函数 在内的导数 ； （2）求函数 在内的极值 ；（3）将函数在内的各极值与端点处的函数值作比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值（二）例题分析：例1已知函数在点x=1处有极小值-1试确定a、b的值并求出f（x）的单调区间 例2设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x

25、=1及x=2时取得极值. ()求a、b的值; （）若对于任意的x都有f (x)c2成立，求c的取值范围.1.设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B. C. D. 2如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（ ）3。函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）(2，3)第03讲： 导数的实际应用（一）基础知识回顾：1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点，且是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。2.定积分的几何意义：表示由直线_,_,_和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。

26、3微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且，那么。常常把记作。（二）高考题目：20.（2007）(本小题满分12分)设函数f(x)=其中a为实数.()若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;()当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.解：（）的定义域为，恒成立，即当时的定义域为（），令，得由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为21（2008）（本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围解：（），

27、由题意知，即得，（*），由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（*）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取值范围为20（2009）（本小题满分12分）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；（）若的最小值为1，求a的取值范围。解（）在x=1处取得极值，解得（） 当时，在区间的单调增区间为当时，由（）当时，由（）知，当时，由（）知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是21.（2010）已知函数，g（x）=，（）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切

28、线，求a的值及该切线的方程；（）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（）对（）中的和任意的时，证明：21（2011）（本小题满分14分）设函数定义在上，导函数，（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解】（1），（为常数），又，所以，即，；，令，即，解得

29、，当时，是减函数，故区间在是函数的减区间；当时，是增函数，故区间在是函数的增区间；所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是（2），设，则，当时，即，当时，因此函数在内单调递减，当时，=0，；当时，=0， （3）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在，使对任意成立，即对任意有 但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立证法二 假设存在，使对任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而时，的值域为，当时，的值域为，从而可以取一个值，使，即,，这与假设矛盾不存在，使对任意成立21.（2012）（本小题满分14分） 设函数.（）设，证明：在区间内存在唯

30、一的零点；（）设，若对任意，有，求的取值范围；（）在（）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1B1B2A1xOF1F2PyA2B2B1顶 点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，椭圆越扁）通 径（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭

31、圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长= （2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是 二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通

32、径（3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长= （2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，焦点在轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准方程图 形xOFPyOFPyxOFPyxOFPyx顶 点对称轴轴轴焦 点离心率准 线通 径焦半径焦点弦焦准距四、弦长公式： 其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法（二）：用点差法，设，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形