2022年集合的概念与运算技巧 .pdf

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1、集合的概念与运算技巧编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅命题趋向：1高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定一般占5-10 分2简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意规律方法指导：1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合2解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|x P,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解

2、决问题. 3注意空集的特殊性，在解题中，假设未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 AB,则有 A=或 A两种可能，此时应分类讨论. 经典例题精析：类型一：正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 1.已知集合M=y|y=x21,xR,N=y|y=x 1,xR ，则 MN=A 0，1 ， 1，2B0，1 ， 1，2 Cy|y=1, 或 y=2 Dy|y1 思路点拨 : 集合 M、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此 M、N 分别表示函数y=x21(xR)，y=x1(x R)的值域，求MN 即求两函数值域的交集解析： M=y|

3、y=x21,xR=y|y 1 ， N=y|y=x 1,xR=y|y R MN=y|y 1 y|y R=y|y 1, 应选 D总结升华：此题求 M N， 经常发生解方程组得或， 从而选 B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而无视了集合的元素是什么事实上M、 N 的元素是数而不是点，因此M、N 是数集而不是点集集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 x|y=x21 、y|y=x21,xR 、 (x,y)|y=x21,xR ，这三个集合是不同的举一反三：【变式 1】假设 P=y|y=x2,xR ，Q=y|y=x21,x R ，则 PQ 等于APB

4、Q CD不知道精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页【答案】事实上，P、Q 中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x21 的值域，由 P=y|y 0,Q=y|y 1 ，知 QP，即 PQ=Q应选B【变式 2】假设 P=y|y=x2,xR ，Q=(x ，y)|y=x2,xR ，则必有AP Q=BPQ CP=Q DPQ 【答案】选AP 表示函数y=x2的值域， Q 表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PQ=【变式 3】假设，则= A3 B1 CD 1 【答案】应选 D类型二：集合元素的互异性2. 已知集合

5、A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0 ，且A B=A ，则的值思路点拨 : 要解决集合的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素确实定性、互异性，无序性建立关系式。由A B=A，从而推出B 有四种可能，进而求出的值。解析： AB=A ， A=1 ，2， B=或 B=1 或 B=2 或 B=1 ，2假设 B=，则令 0 得；假设 B=1 ，则令 =0 得=2，此时 1 是方程的根；假设 B=2 ，则令 =0 得=2，此时 2 不是方程的根，；假设 B=1 ，2，则令 0 得 R 且2，把 x=1 代入方程得R，把 x=2代入方程得=3综上的值为

6、 2 或 3总结升华：此题不能直接写出B=1 ，1，因为1 可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败。解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正举一反三：【变式 1】假设 A=2 ，4, , B=1, , , ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页且 AB=2 ，5 ，则实数的值是 _【答案】：AB=2 ， 5，,由此求

7、得或A=2,4,5 ，集合 B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当时，与元素的互异性相违背，故应舍去当时， B=1,0,5,2,4 ，与 A B=2 ，5相矛盾，故又舍去当时， A=2 ， 4，5,B=1,3,2,5,25，此时 AB=2 ，5，满足题设故为所求【变式 2】已知集合A=,，B=, 假设 A=B ，则的值是_【答案】分两种情况进行讨论1假设=且=，消去 b 得：，时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解2假设b=c2且2b=c，消去 b 得： 2c2c=0，0， 2c2c1=0，即

8、 (c1)(2c1)=0，又 c1，故类型三：证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明判断两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去3. 设集合 A=a|a=3n 2,nZ ，集合 B=b|b=3k 1,kZ ，则集合 A、B 的关系是_思路点拨 : 此题主要考查集合间关系的运算. 解析： 设 aA，则 a=3n2=3(n1)1(nZ)，n Z, n1Z.B,故 又设bB，则b=3k1=3(k 1)2(kZ), 精选学习资料 - - - -

9、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页 kZ,k1 Z, bA，故由、知A=B 总结升华： 这里说明aB 或 bA 的过程中，关键是先要变或凑出形式，然后再推理举一反三：【变式 1】假设 A、 B、C 为三个集合，则一定有A . B .C .D .【答案】选A. 由知，故选 A. 【变式 2】 已知全集， 且， 则等于 A2 B5 C3，4 D2， 3，4，5 【答案】选C. 【变式 3】设集合,则满足的集合 B 的个数是A . 1 B .3 C .4 D . 8 【答案】选C. ，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以

10、满足题目条件的集合B 共有个 . 【变式 4】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为I假设，求；II假设，求正数的取值范围【答案】I由，得II由，得，又，所以，即的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页类型四：空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然， 空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被无视的，从而引发解题失误4. 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,x R ，假设

11、A=，则实数m 的取值范围是 _思路点拨 :从方程观点看， 集合 A 是关于 x 的实系数一元二次方程x2(m2)x1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由A=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围解析： 由 A=,又方程 x2(m2)x1=0 无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，或 =(m2)240解得 m0 或 4m0，即 m 4点评：此题容易发生的错误是由A=只片面地推出方程只有两个负根因为两根之积为 1，因为方程无零根 ，而把 A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言总结升华： 从以上解答应看到：解决有关A=、AB=，

12、 AB 等集合问题易无视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题举一反三：【变式 1】已知 A=x|x23x 2=0,B=x|ax 2=0 且 AB=A ，则实数 a组成的集合C是_【答案】答案:C=0 ，1，2 当 B=时，=0，符合题设，当 B 为非空集合时，由 x23x2=0 得 x=1 或 2当 B=1 时， a=2，当 B=2 时， a =1故正确答案为C=0 ，1，2【变式 2】已知集合，假设，则实数的取值范围是_【答案】故实数的取值范围是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页【变式

13、 3】已知集合A=x|x23x100，集合 B=x|p 1 x2p1 假设 BA，则实数 p 的取值范围是 _【答案】 p 的取值范围是p3 错解：由 x2 3x100 得 2x5 欲使 BA，只须 p 的取值范围是3p3上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设正解：当B时，即 p12p1p2由 BA 得： 2 p3. 当 B=时，即 p 12p 1p2由、得：p3类型五：利用数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解5. 设 A=x| 2x 1

14、或 x1，B=x|x2x b0，已知 AB=x|x 2，AB=x|1 x3，求、b 的值思路点拨 :可在数轴上画出图形，利用图形分析解答解析： 如下图，设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当时，才能使A B=x|x 2 ，且 AB=x|1 x3 根据二次不等式与二次方程的关系，可知 1 与 3 是方程 x2x b=0 的两根，=( 13)=2， b=(1)3= 3点评： 类似此题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果总结升华： 此题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果举一反三：【变式 1】设全集

15、 U=x|0 x10,xN*，假设 A B=3 ，ACUB=1 ，5，7，CUACUB=9 ，则集合 A=_ ；B_【答案】 A=1 ，3， 5，7， B=2 ，3，4，6， 8先画出文氏图，用填图的方法来解【变式 2】集合 A=x|x2 5x60,B=x|x23x0 ，求 AB 和 AB【答案】A=x|x25x60=x| 6x1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页B=x|x23x0=x|x 3 或 x0 如下图， AB=x| 6x1x|x 3 或 x0=R AB=x| 6x1x|x 3 或 x0=x| 6x 3

16、 或 0 x1学习成果测评一. 选择题 :1设 M=x|x2+x+2=0,a=lg(lg10)，则 a 与 M的关系是A、a=M B、 M a C、M a D、Ma 2已知全集=R，A=x|x-|2 ， B=x|x-1|3 ，且AB=，则的取值范围是A、0 ， 2 B、 -2 ，2 C、 0，2 D、 0，23已知集合M=x|x=2-3+2，R，N=x|x=b2-b，bR，则 M ，N的关系是 A、M N B、M N C、M=N D 、不确定4设集合 A=x|x Z且 -10 x-1 ，B=x|x Z且 |x| 5 ，则 AB中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、15 5集合 M=1

17、，2，3，4， 5的子集是A、15 B、16 C 、31 D、32 6、集合 M=x|x=,k Z,N=x|x=,k Z, 则( ) A、M=N B、M N C、 M N D、M N=7、已知集合A=x| 2x 7,B=x|m+1x2m 1 且 B, 假设 A B=A ，则 ( ) A、 3m 4 B、 3m4 C、2m4 D、2m 4 8集合 M=，且，则实数a 的取值范围是 ( ) A. a-1 B. a1 C. a1 9满足，bM= ，b，c，d的所有集合M的个数是A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

18、- -第 7 页，共 10 页10假设命题P ：xAB，则P是A. xAB B. xA 或 xB C. xA且 xB D. xAB 11已知集合M= ,.P=-,2-1 ；假设card(MP)=3，则 M P= ( ) A.-1 B.1 C. 0 D. 312设集合P=3,4,5 .Q=4,5,6,7. 令 P*Q=，则 P*Q 中元素的个数是 ( ) A. 3 B. 7 C. 10 D. 12 二填空题：13已知 M= ，N=x|，则 M N=_. 14非空集合p 满足以下两个条件：1 p1，2，3，4，5 ，2假设元素 p，则 6-p，则集合p 个数是 _. 15设 A= 1，2， B=x

19、xA，假设用列举法表示，则集合B是_. 16 含 有 三 个 实 数 的 集 合 可 表 示 为， 则_三解答题：17 已 知 全 集=R， 且， 求. 18已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1 ，xR，求 M N19设集合 A=(x ，y)|y=x+1 ，B=(x ，y)|y=|x|，假设 AB是单元素集合， 求取值范围 . 20. 设 A=x|x2+px+q=0 ，M=1， 3，5，7， 9，N=1，4，7，10，假设 AM=，AN=A ，求 p、q 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10

20、页21已知集合A=x|x2-3x+2=0 ，B=x|x2-mx+2=0 ，且 AB=B，求实数 m范围22已知集合,且，求,b 的值 . 23已知集合 A=x|x24mx 2m 6=0,x R，假设 AR，求实数 m的取值范围。24命题甲：方程x2mx1=0 有两个相异负根；命题乙：方程4x24(m2)x 1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围。参考答案：一. 选择题 :1C 2.A 3.C 4.C 5.D 6. C 7D 8.C 9.D 10.B 11.B 12.D 二. 填空题 : 13. ； 14. 7 ；15. ；16.-1. 三. 解答题 : 1718解： M=y|

21、y=x2+1，xR=y|y 1 ， N=y|y=x+1 ，xR=y|y R MN=M=y|y1 19. 1 或-1 ；提示：画图 . 20或或21解：化简条件得A=1， 2 ，A B=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论， B=，B=1 或2 ，B=1，2 当 B=时， =m2-82使命题乙成立的条件是：2=16(m2)2160， 1m 3， 集合 B=m|1m2m|m1 或 m 3=m|m3 ；假设为 2，则有： BCRA=m|1m3m|m 2=m|1m2; 综合 1、 2可知所求m的取值范围是 m|1m2 或 m 3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页