2022年高三数学不等式的性质不等式证明的几种常见方法. .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载高三数学- 不等式复习【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1 比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1 进行大小比较。综合法常常用到如下公式：（1）22ba2ab(a,b R) (2)2ba),(Rbaab (3)b

2、aab2(a.b0) (4)222ba),()2(2Rbaba (5)3cba),(3Rcbaabc利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形, 创造条件去运用公式。对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。【知识讲解】例1、 设 12a0, 试比较 A=1+a2与 B=a11的大小。解： A-B=aaaaaa111111322 =1) 1(1223aaaaaaaa01,2aaRa恒成立 . 由

3、条件知021a, a-10, A-B0 即 Ab 时,10ba,a-b0 且 a1,mn0, 求证 :nnmmaaaa11. 分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采用作差与0 比较的方法。证明：nnmmaaaa11 =)(*)11)()(nmnmnmmnnmaaaaaaaaa10当 0an0,am0 20当 a1 时, mn0,aman 011nma, (*) 式0 当 a0 且 a 1 时.(*)式恒正 ,即nnmmaaaa11. 例 4、设 a.b.c R+, 求证 :)2(2abba)3(33abccba分析

4、：初看上去似乎与基本不等式有关，但若直接运用基本不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项 a+b，因此可以考虑用比较法来证明。证明一、)2(2)3(33abbaabccba =333)(32abcababcabcabca.b.c R+, ababc3333abcababc332abcabc0, 即所证不等式成立. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载证明二、)2(2)3(33abbaabccba =,323abcabc令,36ycxab

5、a.b.c R+， x,y R+yxxxyxyxyabcabc23333233332332 =(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2) =(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x) 0 并且仅当x=y 即 c2=ab 时“ =” 成立。)2(2abba)3(33abccba. 说明 : 证法一运用了基本不等式, 关键是对332abcabc进行恒等变形, 创造条件运用基本不等式; 证法二采用了换元法, 关键是如何假设变量才解使差式化简。例 5、当 n2 时，求证： logn(n-1).logn(n+1)2. logn(n-1)0.logn

6、(n+1)0 logn(n-1).log(n+1)2 时,logn-1nlogn(n+1), 此结论应记住 , 它对我们今后的学习也是很有帮助的, 由它可以得到一连串不等式:log2324log2425log2526lup2627。例 6、设 a.b.c R+, 求证 :)111)(accbbacba29. 分析 : 如果把因式a+b+c 乘到括号内 , 则所证不等式左边较复杂, 很难看出用什么方法去证明 , 若我们注意分析该不等式左边的特征, 它与三个变元的均值不等式的左边很类似, 再联想到结论: 当 x.y.z R+时,)111)(zyxzyx 9就不难得到证明了. 证明 : a.b.c

7、R+accbba1113)()(13accbba而 2(a+b+c)= ( a+b)+(b+c)+(c+a)3)()(3accbba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载)111()(2accbbacba9 即)111)(accbbacba29. 说明 : 掌握了此类不等式的证明方法后, 与此类似的不等式,如 10若 a.b.c R+ 且a+b+c=1 求证 :accbba11129 20若 a.b.c R+, 则acbcbabac23等等就不难证明了. 例 7、已知： a12+a22+an2=1,x

8、12+x22+xn2=1,n N求证 :a1x1+a2x2+anxn1 证明 : a12+x122a1x1 , a22+x222a2x2 an2+xn22anxn, 相加得 , (a12+a22+an2)+(x12+x22+ +xn2) 2(a1x1+anxn) 即 a1x1+a2x2+anxn1. 例 8、若 a3, 求证：321aaaa证法一：若证原不等式成立，只要证213aaaa成立，要证此不等式成立， 只要证 a2-3aa2-3a+2, 即证 0b0, 求证：bbaabbaaba8)(28)(22证明：若证原不等式成立，只要证：bbaabbaaba4)(24)(22，只要证明222)2

9、()()2(bbabaaba，只要证bbabaaba220，只要证abaaba212，只要证bbaaba2只要证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载121baab即证baab1即证baab1成立，ab0 的此式显然成立 , 又以上各步均可逆, 原不等式成立. 例 10、若)(1)(2baxxf，则baffba)()(。证法一、要证baba2211只要证bababa222211，只要证11122baba即证：baba2211bbbaaa22221,1, baba2211ba(*) 式成立 , 原不等式

10、成立证法二、如图，设 A （1,a ） ,B(1,b),则baABbOBaOA,1,122，由于三角形两边之差的绝对值小于第三边，即BAOBOA，babfafbaba)()(1122即说明 : 证法一是运用分析法证明的, 在对2211ba变形时采用了分子有理化的手段 , 这种变形方法有着较广泛的运用, 证法二是构造了一个三角形, 其三边恰好分别是21a、bab 和21，然后借助于三角形本身的关系来证明，这种通过构造图形的方法，往往可以化难为易，化繁为简，体现了数学中的数形结合的思想，要引起我们高三复习时注意。【每周一练】（一）选择题： 1 、如果 0a1 B、 （1-a ）nf(1-a) D、

11、 cos(1+a) -1bc, 则下列不等式成立的是（）Y A(1,a) O 1 X B(1,b) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载A、 abac B、bcab C、cba111 D、a-bcb(1-c) 3 、已知 x,a,b R,则下列不等式: x2+32x, a5+b5a3b2+a2b3, a2+b22(a-b-1), abba 2 中恒成立的是 ( ) A、仅和 B、仅和 C、仅和 D、全部 4 、若 0a1,0b1, 则 a+b,2ab,a2+b2，2ab 中最大的是（）A、 a2+b

12、2 B、a+b C、ab2 D、2ab 5 、设 x,x+2,x+4是一个钝角三角形的三条边，则x 的取值范围是（）A、 3x6 B、2x2 D、0 x6 6 、xR，则112xx是的（）A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 7 、设 0 2a1,M=1-a2,N=1+a2,P=aQa11,11那么（）A、 QPMN B、 MNQP C、 QMNP D 、 MQP1,12,1aanaam, 那么 m与 n 的关系是 10 、abba11的充要条件是 11 、用不等号把34log,)87( ,)76(323232连接起来为 12 、设bababa则, 1, 1与 2

13、 的大小关系是 13 、1112且是且的条件。 14 、当 0 xxxy21,21时的取值范围是 15 、若 p,q R+且 a=p3+q3,b=p2q+pq2则 a,b 的大小关系是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载三、证明题 16 、求证： 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2. 17 、设 a0 且 a 1,t0,试比较21loglog21ttaa与的大小，并证明你的结论。 18 、若 a1,b 1 求证： a2+b2ab+a+b-1 19 、已知 x,y,z R求证 :x2y2+y2z

14、2+z2x22cyz(x+y+z) 20 、设 ab0, 求证：bbaa)(13. 21、若 a+b=1, 求证：2121ba2 22、 a,b,c R求证：3222cba3cba 23、已知 a,b,c为不相等的正数，且abc=1 求证：cbacba111 24、若 a+b+c=1，且 a,b,c均为非负实数，求证：cba3 25、设1,13)(2axxxxf求证：) 1( 2)()(aafxf【每周一练答案】（一）选择题： 1 、C 2、 D 3、C 4、B 5、B 6、A 7、 C 8、D （二）填空题： 9 、mn 10、a.b0 11、323232)76()87(34log 12 、

15、2baba 13、必要不充分条件 14、1 ,21 15 、 ab （三）证明题 16、比较法（略） 17、taalog211 时21logta,taalog2110时21logta 18、略 19、略 20、略 21、22121ba12)21()21(ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载 22、略。 23、cbabaaccbabacbccba111)11(21)11(21)11(21111 24 、分析法 25 、1)1)()()(axaxaxafxf =12aax) 1(212112aaaax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页