2022年高三数学二轮复习专题三极坐标 .pdf

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1、专题三：坐标系与参数方程自学成才3-01坐标系与参数方程一.说明内容1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 4.了解参数方程,了解参数的意义. 5.能选择适当的参数写出直线、直线和椭圆的参数方程. 二.考情与观察2007 年高考 : 两圆极坐标方程； 两圆交点直线方程. 2008 年高考 : 圆与直线参数方程; 线圆位置关系; 伸缩变换 . 2009 年高考 : 圆与椭圆方程； 点到线距离（转化为三角求最值）. 2

2、010 年高考 : 圆与直线参数方程; 线圆交点坐标; 轨迹方程 . 2011 年高考 : 直线参数方程 ,向量求曲线方程; 射线与两曲线产生极径长度. 2012 年高考 : 参数方程 ,极坐标系极坐标点旋转产生新的点;(极坐标概念 ) 两点间距离转换为三角参最值.(人教 A 必修 2133PB组 2 题改编 ) 2013 年新课标一卷： 参数方程与极坐标方程互换； 两圆相交交点极坐标.2014 年新课标一卷: 参数方程与标准方程互换； 动态性问题求最值三. 题型训练（一）直线和圆的问题1. 在平面直角坐标系中, 以坐标原点O为几点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l上两点,M N

3、的极坐标分别为2 3(2,0),(,)32, 圆C的参数方程22cos32sinxy(为参数 ). ( ) 设P为线段MN的中点 , 求直线OP的平面直角坐标方程; ( ) 判断直线l与圆C的位置关系 . 2. 已知圆 C 的参数方程为为参数sin23,cos21yx，若 P是圆 C与 x 轴正半轴的交点，以原点O为极点 ,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆 C的切线为l ，求直线l 的极坐标方程（二）两圆问题3. 在直角坐标xOy中，圆221:4Cxy，圆222: (2)4Cxy. ( ) 在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C的极坐标方程，并求出圆1

4、2,C C的交点坐标 ( 用极坐标表示 ) ；( ) 求圆12CC与的公共弦的参数方程. （三）最值问题4. 在极坐标系中, A为曲线22cos30上的动点 , B为直线cossin70上的动点 , 求AB的最小值 . 5. 已知在极坐标系下，圆C：p= 2cos（2）与直线l：sin （4）=2，点 M为圆 C上的动点求点M到直线l距离的最大值6. 已知曲线C1：4cos ,3sin ,xtyt（t 为参数）， C2：8cos,3sin,xy（为参数）。（ 1）化 C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C1上的点 P对应的参数为2t，Q为 C2上的动点，求PQ中

5、点M到直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页332 ,:2xtCyt（t 为参数）距离的最小值. 7. 在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点M的极坐标为42,4，曲线C的参数方程为12 cos,2sin,xy（为参数）（1）求直线OM的直角坐标方程；（2）求点M到曲线C上的点的距离的最小值8. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为2222cos3sin3，直线l的参数方程为3 ,1xtyt(t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到

6、直线l的距离最大9. 在直接坐标系xoy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为3cossinxy(为参数) （I ）已知在极坐标 （与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点， 以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（ 4，2） ，判断点P与直线l的位置关系；（II ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值10. 在平面直角坐标系xOy中， 圆 C 的参数方程为(sin22,cos22ryrx为参数 ,)0r, 以 O 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(若圆 C 上的点到直线l 的最大距离为 3 ，求 r 的值 .

7、 11. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆221164xy的右顶点为A，上顶点为B，点P是第一象限内在椭圆上的一个动点，求PAB面积S的最大值12. 已知直线l的参数方程是)(242222是参数ttytx，圆C的极坐标方程为)4cos(2（ 1）求圆心C的直角坐标； （2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值13. 已知曲线 C1的参数方程是sin3cos2yx (为参数 ) ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=2. 正方形 ABCD 的顶点都在C2上，且 A、B、C、D以逆时针次序排列，点 A的极坐标为 (2，3) ( ) 求点 A、B、C、D

8、的直角坐标；( ) 设 P为 C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页（四）参数方程14. 已知直线tytxl1:（t为参数）与圆C：sin2cos2myx（为参数）相交于A,B两点，m为常数 . (1) 当0m时，求线段AB的长； (2) 当圆C上恰有三点到直线的距离为1 时，求m的值 . （五）直线参数几何意义15. 已知直线l经过点(1 ,1)P, 倾斜角6，设l与曲线2cos2sinxy（为参数）交于两点,A B，求点P到,

9、A B两点的距离之积. 16. 已知直线l是过点)2, 1(P，方向向量为)3, 1(n的直线，圆方程)3cos(2（1）求直线l的参数方程 ; （2）设直线l与圆相交于NM ,两点，求PNPM的值 . 17. 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l：x2tcos，y3tsin(t为参数 ) 与曲线C：x2cos，ysin(为参数 ) 相交于不同两点A，B.(1) 若3，求线段AB中点M的坐标； (2) 若|PA| |PB| |OP|2，其中P(2 ，3) ，求直线l的斜率18. 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 原 点 为 极 点 ,x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 ,

10、已 知 曲 线cos2sin:2aC)0(a，已知过点)4,2(P的直线l的参数方程为tytx224222（t为参数） ，直线l与曲线C分别交于NM,两点。（）写出曲线C和直线l的普通方程； （）若| |,| |,|PNMNPM成等比数列 , 求a的值19. 在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为23,2252xtyt（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位， 且以原点O为极点，以 x 轴正半轴为极轴） 中， 圆 C的方程为2 5sin.（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线l交于点 A、B，若点 P的坐标为(3,5)，求 |PA|+|PB| 。（六）参数与极

11、坐标20. 已知 P为半圆 C：sincosyx（为参数，0）上的点，点A的坐标为（ 1,0 ） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页O为坐标原点，点M在射线 OP上，线段OM 与 C的弧的长度均为3.（I ）以 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II ）求直线 AM的参数方程。21在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（I ）求曲线，的方程；（II ）若点，在曲

12、线上，求的值（七）参数坐标伸缩变化，借助三角求点到直线距离22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:Ccos()sinxy为参数，以平面直角坐标系xOy 的原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin)6lcos（1）将曲线1C上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2 倍后得到曲线2C试写出直线l的直角坐标方程和曲线2C的参数方程；（ 2）在曲线2C上求一点P，使点 P到直线l的距离最大，并求出此最大值3-01坐标系与参数方程参考答案1. 【解析】 () 由题意知2 3(2,0),(0,)3MN, 因为P是线段MN中点 , 则3(1,)

13、3P, 因此PO直角坐标方程为:3.3yx( ) 因为直线l上两点2 3(2,0),(0,)3MNl垂直平分线方程为:332 30 xy, 圆心 (2,3), 半径2r. 2 33 32 33239dr,故直线l和圆C相交 . 2. 【解析】由题设知, 圆心0.2,3, 1PC,CPO=60 , 故过 P点的切线飞倾斜角为30设,M, 是过 P点的圆 C的切线上的任一点，则在PMO 中， MOP=00150,30OPMOMP由正弦定理得0030sin2sin150,sinsinOMPOPOPMOM130sin160cos00或，即为所求切线的极坐标方程. 精选学习资料 - - - - - -

14、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页3. 【解析】4. 【解析】圆的方程可化为2214xy, 所以圆心为1,0, 半径为 2 又直线方程可化为70 xy所以圆心到直线的距离17422d，故min()AB4 225. 【解析】6. 【解析】（）222212: (4)(3)1,:1.649xyCxyC1C为圆心是（4,3)，半径是1 的圆 . 2C为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3 的椭圆 . （）当2t时，3( 4,4).(8cos,3sin),( 24cos,2sin).2PQM故3C为直线35270,|4cos3sin13|.5

15、xyMCd到的距离从而当43cos,sin55时，8 5.5d取得最小值7. 【解析】（）由点M的极坐标为4 2,4，得点M的直角坐标为(4，4) ，所以直线OM的直角坐标方程为xy（）由曲线C的参数方程12 cos,2sinxy(为参数 ) ，化成普通方程为：2) 1(22yx，圆心为A(1 ，0) ，半径为2r由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为25|rMA8. 【解析】曲线C的普通方程是2213xy. 直线l的普通方程是330 xy设点M的直角坐标是(3cos,sin) ，则点M到直线l的距离是3cos3sin32d32sin()142因为22sin()24，所以当si

16、n()14，即2 (42kkZ)，即32 (4kkZ)时，d取得最大值此时623cos,sin22综上，点M的极坐标为7(2,)6时，该点到直线l的距离最大9. 【解析】（I）把极坐标系下的点(4,)2P化为直角坐标，得(0,4)P. 因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程40 xy，所以点P在直线l上. （ II ）设点Q的坐标为( 3cos ,sin)，则点Q到直线l的距离为2cos()4|3 cossin4 |62 cos()2 2622d. 由此得，当cos()16时，d取得最小值，且最小值为2 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

17、- - -第 5 页，共 8 页10. 【解析】因为圆C的参数方程为2cos ,22sin2xryr（为参数，0r） ，消去参数得，22222022xyrr，所以圆心22,22C，半径为r，因为直线l的极坐标方程为sin()14，化为普通方程为2xy，圆心C到直线2xy的距离为2222222d，又因为圆C上的点到直线l的最大距离为3，即3dr，所以321r11. 【解析】.52),2 ,0(),0 ,4(ABBA则直线AB方程为.042 yx设),sin2,cos4(P为锐角 . 则点P到直线AB的距离为5|4)45sin(24|5|4sin4cos4|d为锐角 ,.4244)45sin(24

18、0当45时,d取得最大值为5424,.424PABS12. 【解析】（I ）sin2cos2，sin2cos22，02222yxyxC的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22yx)22,22(圆心直角坐标为（II ）法 1：直线l上的点向圆C引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222ttttt，直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62法 2：024yxl的普通方程为直线，圆心C到l直线距离是52|242222|，直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是62152213. 【解析】 (1),3sin(2),3cos(2(),23sin(2),23cos(2(),3s

19、in2,3cos2(CBA)233sin(2),233cos(2(D即).1,3(),3,1(),1 ,3(),3,1(DCBA(1) 设)sin3,cos2(P, 令,|2222PDPCPBPAS则222sin203216sin36cos16S, 所以S的取值范围是.52,3214. 【解析】（1）直线01:yxl, 曲线4:22yxC, 圆心到直线的距离为21d. 142|22drAB. (2), 12|1|,01,4)(22mdyxmyx.21m15. 【解析】直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt曲线的直角坐标方程为422yx，把直线312112xtyt代

20、入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022tttt ,1 22t t，则点P到,A B两点的距离之积为2.16. 【解析】（1）)3, 1(n直线的倾斜角32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页直线的参数方程为32sin232cos1tytx即tytx232211（2）sin3cos)sin23cos21(2,sin3cos20322yxyx将直线的参数方程代入得0326)323(2tt32621tt17. 【解析】设直线l上的点BA,对应参数分别为21,tt. 将曲线C的参数方程化为普通方程.1422y

21、x(1) 当3时，设点M对应参数为t0. 直线l方程为x212t，y332t(t为参数 ) 代入曲线C的普通方程x24y21，得 13t256t480，则t0t1t222813，所以，点M的坐标为).133,1312(2) 将x2tcos，y3tsin代入曲线C的普通方程x24y21，得 (cos24sin2)t2(83sin4cos)t120，因为 |PA| |PB| |t1t2| 12cos2 4sin2，|OP|27，所以12cos24sin27. 得 tan2516. 由于32cos(23sin cos)0 ，故 tan54. 所以直线l的斜率为54. 18. 【解析】（） C: 02

22、:,22yxlaxy（）将直线的参数表达式代入抛物线得attattatat832,22280416)224(2121212因为|,|,|2121ttMNtPNtPM由题意知，21221212215)(|tttttttt代入得1a19. 【解析】（）由2 5sin得222 50,xyy即22(5)5.xy（）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23 240,tt由于2(32)4420，故可设12,t t是上述方程的两实根，所以121 23 2,(3,5),4ttlPt t又直线 过点故由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t

23、 +t =3 2.20. 解： （）由已知，M点的极角为3，且 M点的极径等于3，故点 M的极坐标为（3，3）. （） M点的直角坐标为（3,66） ，A （0,1 ） ，故直线 AM的参数方程为1(1)636xtyt（t 为参数）21 【解析】（I ）将及对应的参数，代入，得，即, 所以曲线的方程为（为参数），或 . 设圆的半径为 , 由题意 , 圆的方程为 ,( 或). 将点代入 , 得, 即 . ( 或由 , 得, 代入 , 得 ), 所以曲线的方程为, 或. （ II ）因为点，在在曲线上 , 所以 , 所以22. 【解析】（）由题意知，直线l的直角坐标方程为：260 xy，曲线2C的直角坐标方程为：22()()123xy，曲线2C的参数方程为：3cos()2sinxy为参数（）设点 P的坐标( 3 cos ,2sin)，则点 P到直线l的距离为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页0|2 3cos2sin6|4sin(60)6|55d，当 sin （600） =-1 时，点 P（1 ,23） ，此时max|46|2 55d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页