2022年高考数学备考冲刺之易错系列专题平面解析几何 .pdf

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1、学习必备欢迎下载平面解析几何一、高考预测解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计20XX年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用圆锥

2、曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有12 个选择题或者填空题，一个解答题选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计20XX年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化解析几何

3、的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组) 的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用二、

4、知识导学( 一) 直线的方程1. 点斜式：)(11xxkyy；2. 截距式：bkxy； 3. 两点式：121121xxxxyyyy；4. 截距式：1byax；5. 一般式：0CByAx，其中 A、B不同时为0. ( 二) 两条直线的位置关系两条直线1l，2l有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）. 在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. 设直线1l：y=1kx+1b，直线2l：y=2kx+2b，则1l2l的充要条件是1k=2k，且1b=2b；1l2l的充要条件是1k2k=-1. ( 三) 圆的有关问题1. 圆的标准方程222)()(rbya

5、x（r 0） ，称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b） ，半径为 r. 特别地，当圆心在原点（0，0） ，半径为r 时，圆的方程为222ryx. 2. 圆的一般方程022FEyDxyx（FED4220）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D，2E） ，半径为FEDr42122. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 43 页学习必备欢迎下载当FED422=0 时，方程表示一个点（2D，2E） ；当FED4220 时，方程不表示任何图形. 3. 圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222ryxcossinxryr（

6、为参数）222)()(rbyaxcossinxarybr（为参数）( 四) 椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F| 这个条件不可忽视. 若这个距离之和小于|1F2F| ， 则这样的点不存在； 若距离之和等于|1F2F| ，则动点的轨迹是线段1F2F. 2. 椭圆的标准方程：12222byax（ab0） ，12222bxay（ab0）. 3. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上 . 4. 求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置

7、； 设出标准方程后，运用待定系数法求解 . ( 五) 椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222byax（ab0）. 范围： -a xa，-b x b，所以椭圆位于直线x=a和 y=b所围成的矩形里. 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 . 顶点：有四个1A（-a ，0） 、2A（a，0）1B（0，-b ） 、2B（0，b）. 线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴. 它们的长分别等于2a 和 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 精选学习资料 -

8、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页学习必备欢迎下载 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率. 它的值表示椭圆的扁平程度.0 e1.e 越接近于1 时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0 时，椭圆就越接近于圆. 椭圆的四个主要元素a、b、c、e 中有2a=2b+2c、ace两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件. ( 六) 椭圆的参数方程椭圆12222byax（ab 0）的参数方程为cossinxayb（为参数） . 说明 这里参数 叫做椭圆的离心角. 椭圆上点P的离心角 与直线 OP的倾斜角 不同：tantana

9、b； 椭圆的参数方程可以由方程12222byax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. ( 七) 双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F| ）的动点M的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中，要注意条件2a|1F2F| ，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解 . 若 2a=|1F2F| ， 则动点的轨迹是两条射线；若 2a|1F2F| ，则无轨迹 . 若1MF2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF2MF时，轨迹为双曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的，

10、故在定义中应为“差的绝对值”. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 43 页学习必备欢迎下载2. 双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a0，b 0） . 这里222acb，其中 |1F2F|=2c. 要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 1 的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线. 对于双曲线12222byax，它的焦点坐标是（-c ，0）和（ c，0） ，与它们对应的准线方程分别是cax2和cax2. 在双曲线中， a、b、c、e四个元素间有ace与222bac的关系，与椭圆一样确定

11、双曲线的标准方程只要两个独立的条件 . ( 九) 抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与 l 垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：22ypx、22ypx、22xpy、22xpy. 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或 y 轴的负方向。3抛物线的几

12、何性质，以标准方程y2=2px 为例（ 1）范围： x0；（ 2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（ 3）顶点： O （0，0） ，注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（ 4）离心率： e=1，由于 e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（ 5）准线方程2px；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 43 页学习必备欢迎下载（ 6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1） ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的的点 . 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.

13、注意事项 1 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a（a R ）. 因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑. 直线的截距式是两点式的特例，a、 b分别是直线在x 轴、 y 轴上的截距，因为a0，b0，所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解. 求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式. 当直线1l或2l的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，

14、除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算. 2. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x 轴上还是y 轴上，还是两种都存在 . 注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆 . 求双曲线的标准方程应注意两个问题：正确判断焦点的位置；设出标准方程后，运用待定系数法求解. 双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax. 若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中 k 是一个不为零的常数. 双曲线的标准方程有两个12222by

15、ax和12222bxay（a0，b 0）. 这里222acb，其中 |1F2F|=2c. 要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p 的值 . 同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个. 解题的策略有： 1、注意直线倾斜角范围、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

16、 - - - - - - -第 5 页，共 43 页学习必备欢迎下载包含斜率不存在情况，但不包含斜率为0 情况。注意截距为0 的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射问题）；注意证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为圆心到它们的距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。3、注意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然

17、后考虑坐标化）结合；4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最大值，只有当三点共线时才取得最值；5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法或定义法，注意焦点位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在轴上时为，焦点在轴上时为 ；注意化抛物线方程为标准形式（即2p、p、的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置时，可设椭圆方程为。6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题；熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒在求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。 7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一

18、般有：“ 法” ；离心率的范围；自变量的范围；曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法，注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y) 的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常见方法：直接法；几何法；定义法；相关点法； 9 、注意利用向量方法，注意垂直、 平行、 中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的表达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一

19、般的方法。三、易错点点睛命题角度1 对椭圆相关知识的考查1设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) 12.22.212.22.DCBA 考场错解 A 专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把|21PFPF当作离心率 对症下药 D 设椭圆的方程为2222byax=l (a， b 0) 由题意可设 |PF2|=|F1F2|=k ，|PF1|=2k，则 e=12222kkkac2设双曲线以椭圆92522yx=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A 2 B34 C21

20、 D43 考场错解 D 由题意得 a=5，b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆92522yx=1 长轴的两个端点为焦点，则a=c =4 ，b=3 k=43ab 专家把脉 没有很好理解a、b、c 的实际意义 对症下药 C 设双曲线方程为2222byax=1，则由题意知c=5，ca2=4 则 a2=20 b2=5，而a=25 b=5双曲线渐近线斜率为ab=21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页学习必备欢迎下载3从集合 1 ，2，3， 11 中任选两个元素作为椭圆方程2222nymx=1 中的 m和 n，则能组成落在矩形区

21、域B=(x ，y) x|11 ，且 |y|9内的椭圆个数为 ( ) A 43 B72 C86 D90 考场错解 D 由题意得， m 、n 都有 10 种可能，但m n 故椭圆的个数1010-10=90 专家把脉 没有注意， x、y 的取值不同 对症下药 B 由题意得m有 10 种可能， n 只能从集合11，2，3，4，5，6，7，81 中选取，且m n，故椭圆的个数：108-8=72 4 设直线 l 与椭圆162522yx=1相交于 A、 B两点，l 又与双曲线x2-y2=1相交于 C、 D两点，C、 D三等分线段AB， 求直线 l 的方程 ( ) 考场错解 设直线 l 的方程为y=kx+b

22、如图所示， l 与椭圆， 双曲线的交点为A(x1，y1) 、B (x2，y2) 、C(x3，y3) 、 D(x4，y4) ，依题意有ABDBAC,=3CD由) 1(0)40025(50)2516(1162522222bbkxxkyxbkxy得所以x1+x2=-.2516502kbk由122yxbkxy得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 (2) 若 k= 1，则 l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k 1 所以 x3+x4=212kbk、由BDACx3-x1=x2-x4x1+x2=x3+x4-2212251650kbkkbkbk=0 或 b =0 当 k=0时， 由(1) 得

23、x1、 2=21645b由(2) 得 x3、 4=12b由123xxCDAB=3(x4-x1)即1316161641022bbb故 l 的方程为y=1316当 b=0 时， 由(1) 得 x1、 2=2251620k， 由 (2) 得 x3、 4=211k由123xxCDAB=3(x4-x3)即.2516,25161625164022xylkkk的方程为故综上所述：直线 l 的方程为：y=xy2516,1316 专家把脉 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解 对症下药 解法一：首先讨论l 不与 x 轴垂直时的，情况设直线 l 的方程为y=kx+b，如图所示， l 与

24、椭圆、双曲线的交点为：A(x1，y1) 、B(x2， y2) 、C(x3，y3) 、D(x4，y4) ，依题意有CDABBDAC3,由.11625,22yxbkxy得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0 (1) 所以 x1+x2=-.2516502kbk由.1,22yxbkxy得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0若 k=1，则 l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k 1所以 x3+x4=212kbk由4213xxxxBDACx1+x2=x2+x4001225165022kbkkbkkbk或 b=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

25、纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 43 页学习必备欢迎下载当 k=0 时，由 (1) 得.164522,1bx由(2) 得 x3、 4=12b由3312xxCDAB(x4-x3) 即.131611641022bbb故 l 的方程为 y= 1316当 b=0 时，由 (1) 得 x1、2=2251620k自(2) 得 x3、 4=33,11122xxCDABk由(x4-x3)即.25161625164022kkk故 l 的方程为y=x2516再讨论l 与 x 轴垂直时的情况设直线 l 的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得yl、2=.25542cy3、4=. |3|3|.

26、134122yyyyCDABc由即.24125,2412516255822xlccc的方程为故综上所述，直线l 的方程是： y=2516x、y=1316和 x=24125x3、4=.12b x2-x1=3(x4-x3)4101316161622bbb故 l 的方程为y=1316当 y0=0，x00，由 (2) 得 x4=x30，这时 l 平行 y 轴设 l 的方程为x=c，分别代入椭圆、双曲线方程得：yl 、2=,25542cy3、4=.12cy2-y1=3(y4-y3)2412516255822ccc故 l 的方程为：24125x当 x0=0，y0=0 时，这时 l 通过坐标原点且不与x 轴

27、垂直设l 的方程为y=kx，分别代入椭圆、双曲线方程得： x1、2=.11,25162024, 32kxk.2516)(33412kxxxx故 l 的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 43 页学习必备欢迎下载y=.2516xy综上所述，直线l 的方程是： y=x2516、y=1316和 x=.241255设 A 、 B是椭圆 3x2+y2=上的两点，点N(1，3)是线段 AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点 (1) 确定 A的取值范围，并求直线AB的方程； () 试判断是否存在这样的A，使得 A、B

28、、C、D四点在同一个圆上?并说明理由 ( 此题不要求在答题卡上画图) 考场错解 (1)设 A(x1，y1)B(x2，y2) 则有 :2222212133yxyx(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0 依题意， x1x2kAB-2121)(3xxyy N(1，3) 是 AB的中点， x1+x2=2,yl+y2=6 从而 kAB=-9 又由N(1， 3)在椭圆内， 312+32=12 应用结论时也易混淆 对症下药 (1)解法 1：依题意，可设直线AB的方程为 y=A(x-1)+3 ，代入 3x2+y2=，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0设 A(x

29、1，y1) 、 B(x2、y2)，则 x1，x2是方程的两个不同的根， =4 (k2+3)-3(k-3)20 ， 且 x1+x2=3) 3(22kkk， 由 N(1， 3) 是线段 AB的中点，得1221xx，A(k-3)=k2+3解得 k=-1 ，代入得， 12，即 的取值范围是 (12 ，+) 于是，直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0 解法 2：设 A(x1，y1) 、B(x2，y2) ，则有2222212133yxyx(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 依题意， x1x2， kAB=-2121)(3yyxxN(1， 3)是 AB的中点，x

30、1+x2=2， yl+y2=6， 从而 kAB=-1 又由 N(1，3) 在椭圆内，3 12+32=12， 的取值范围是 (12 ， ) 直线 AB的方程为y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0 ( ) 解法 1：CD垂直平分AB ，直线 CD的方程为y-3 =x-1 ，即 x-y+2=0 ，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4 又设 C(x3，y3) ，D(x4，y4) ，CD的中点为M(x0，y0)，则 x3， x4是方程的两根，x3+x4=-1，且 x0=21(x3+x4)=-21， y0=x0+2=23，即 M(-21，23) 于是由弦长公式可得|CD|=. ) 3(2|)1(14

31、32xxk将直线AB的方程 x+y-4=0 ，代入椭圆方程得4x2-8x+ 16-=0 同理可得 |AB|=. )12(2| .1212xxk 当 12 时，)3(2)12(2, |AB|12，使得 A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心点M到直线AB的距离为d=.2232|42321|2|4|00yx于是，由、式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+.|2|2321229|2|22CDAB故当 12 时， A 、B、C、D四点均在以M为圆心，|2|CD为半径的圆上( 注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A 、B、C、 D共圆ACD为直角三角形，A精选学习资料

32、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 43 页学习必备欢迎下载为直角|AN|2 =|CN| |DN| ，即)2|)(2|()2(2dCDdCDAB. 由式知，式左边=212, 由和知，式右边=,212)29232232)3(2)(2232)3(2(式成立，即A、B、 C、D四点共圆解法2：由 ( ) 解法 1 及12，CD垂直平分AB ，直线CD方程为 y-3=x-1 ，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4- =0将直线 AB的方程 x+y-4=0 ，代入椭圆方程，整理得4x2-8x+16- =0解和式可得 xl ，2=.231,21224

33、,3x不妨设 A(1+)233,231(),233,231(,12213 ,1221DC)21233,23123()21233,23123(CACA计算可得0CACA, A在以 CD为直径的圆上又B为 A关于 CD的对称点，A、B、C、D四点共圆( 注：也可用勾股定理证明AC AD) 专家会诊1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2. 注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：

34、判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等命题角度2 对双曲线相关知识的考查1已知双曲线x2-22y=1 的焦点为F1、F2，点 M在双曲线上且021MFMF，则点 M到 x 轴的距离为 ( ) 3.332.35.34.DCBA 考场错解 B 专家把脉 没有理解M到 x 轴的距离的意义 对症下药 C 由题意得a=1，b=2，c=3可设 M (x0，y0)|MF1|=|ex0+a|=|3x0+1|，|MF2|= |ex0-a|=|3x0-1| 由|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2得 x02=.332| ,3435020yy则即点 M到 x

35、 轴的距离为.3322已知双曲线2222byax=1(a0 ，b0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， OAF的面积为22a(O 为原点 ) ，则两条渐近线的夹角为 ( ) A 30 B45 C60 D 90 考场错解 B 专家把脉 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角 对症下药 D 由题意得 A(cabca,2)sOAF=21cbaaabcab2212，则两条渐近线为了精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 43 页学习必备欢迎下载y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为90解不等式，得.525,01.5452e

36、eee的取值范围是所以由于专家会诊1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e1，必须明确焦点与准线的对应性 2 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3 掌握参数a、b、c、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用命题角度3 对抛物线相关知识的考查。1过抛物线y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( ) A. 有且仅只有一条 B有且仅有两条 C. 有无穷多条 D不存在 考场错解 D 由题意得 |AB|=5 p=4，通径长为 2 4=8 54，则这样的直线有且仅有两

37、条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出 k 有两个值，即直线有且仅有两条2设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) 两点在抛物线y=2x2上，l 是 AB的垂直平分线 (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F?证明你的结论； ( ) 当直线 l 的斜率为2时，求 l在 y 轴上截距的取值范围 考场错解 ( ) ，设 l 在 y 轴上的截距为b，依题意得l 的方程为y=2x+b，过点 A、B的直线方程可写为y=,21mx与 y=2x2联立得 2x2+21x-m=0得 x1+ x2=-41；设 AB的中点 N的坐标为 (x0，y0) 则 x0

38、=21(x1+x2)=-81,y0=-21x0+m=161+m 由 Nl, 得161+m=-41+b，于是 b=165165m即得 l 在 y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页学习必备欢迎下载轴上截距的取值范围为,165. 专家把脉 没有借助 “ 0”来求出 m321，无法进一步求出b 的范围， 只好胡乱地把m当作大于或等于0 对症下药 (1)Fl|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是 x 轴的平行线， y10， y20，依题意 y1、y2不同时为0， 上述条件等价于yl=y2x12=

39、x22 (x1+x2)(x1-x2)=0 ；x1x2，上述条件等价于 x1+x2=0即当且仅当x1+x2=0时， l 经过抛物线的焦点F。 ( )设 l 在 y 轴上的截距为b，依题意得l 的方程为y=2x+b 过点 A、B的直线方程可写为y=-21x+m ，所以 x1、x2满足方程2x2+21x-m=0，得 x1+x2=-41； A 、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式41+8m0 ，即 m321设 AB的中点 N的坐标为 (x0，y0) ，则x0=21(x1+x2)=-81，y0=-21x0+m=161+m 由 Nl ， 得161+m=-41+b， 于是 b=165+m32932

40、1165即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为(329，+) 3如图，过抛物线y2=2px(p0) 上一定点p(x0，y0)(y00) ，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1) ，B(x2，y2) (1) 求该抛物线上纵坐标为2P的点到其焦点F 的距离； ( ) 当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求021yyy的值，并证明直线AB的斜率是非零常数 考场错解 (1)当 y=2p时， x=8p又抛物线的准线方程为x=-P ，由抛物线定义得，所求距离为.89)(8ppp( ) 设直线 PA的斜率为kPA，直线 PB的斜率为 kPB由 y21=2px1,y20=2px0相减得 (yl-y0

41、)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA= 012yyP(x1x0) 同理可得kpB=012yyP(x2x0) 由 kPA=-kPB得 y0=-2 (yl+y2) 故.21021yyy设直线 AB的斜率为kAB。由 y22=2px2,y21=2px1相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1) 故 kAB=).()(221211212xxyypxxyy将 y1+y2=-21y0(y00) 代入得 kAB=-04yp故 kAB是非零常数 专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确 对症下药 (1)当 y=2p时， x=8p，又抛物线y2= 2px 的准线方程为x=2p，

42、由抛物线定义得，所求距离为8p-(-2p)=.85p( ) 设直线 PA的斜率为kPA，直线 PB的斜率为kPB由 y12=2px1，y20=2px0相减得 (y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0) ，故 kPA=0101012yypxxyy(x1x0) 同理可得kPB=012yyp(x2 x0) 由 PA 、 PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即012yyp=-022yyp，所以 yl+y2=-2y0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页学习必备欢迎下载故021yyy=-2. 设直线 AB的斜率为kAB由

43、 y22=2px2，y21=2pxl相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1) ，所以).(221211212xxyypxxyykAB将 yl+y2=-2y0(y00)代入得,2021ypyypkAB所以 kAB是非零常数4 在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线 y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、 B满足 AO BO(如图所示 ) (1) 求 AOB的重心 C(即三角形三条中线的交点) 的轨迹方程； ( ) AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 考场错解 （）设 AOB的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则) 1 (332

44、121yyyxxxOA0OBOAOBx1x2+yly2=0(2) 又点 A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入 (2) 化简得 xlx2=0 或-1 y=31)(313222121xxyy （ x1+x2）2-2x1x2=3x2+32或 3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+32. 专家把脉 没有考虑到x1x2=0 时， AOB不存在 对症下药 （）设 AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2) 则) 1 (332121yyyxxx)2(0, 12121yyxxkkOBOAOBOA即又点 A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入 (2) 化

45、简得 xlx2=-1 y=31)(313222121xxyy （ x1+x2）2-2x1x2=32)3(312x=3x2+32所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+ 32( )SAOB=22211222222122212222212121)(21|21yyyxyxxxyxyxOBOA由(1) 得 SAOB=12212) 1(2212221221662616261xxxx当且仅当x16=x26即 x1=-x2=-1 时，等号成立。所以AOB 的面积存在最小值，最小值为1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 43 页学习必备欢迎

46、下载专家会诊 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。(x1， yl-1)=125(x2，y2-1) 由此得 x1=125x2，由于 x1， x2都是方程的根，且1-a20，所以222222212125,121217aaxaax消去 x2得.1317602891222aaa 专家把脉 (1)没有考虑到1-a20( ) 没有注意到题目本身的条件a0 对症下药 (1)由 C与 l 相交于两个不同的点，故知方程组1,1222yx

47、yax有两个不同的实数解，消去 y 并整理得 (1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0 所以0)1 (84012242aaaa解得 0a26且 e2，即离心率e 的取值范围为 (26) (2) ( ) 设 A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， P(0，1) PBPA125(x1,y1-1)=125(x2,y2-1) 由此得 x1=125x2，由于 x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以1217x2=-22222212125,12aaxaa，消 x2，得-602891222aa，由 a0，所以 a=13172给定抛物线C：y2=4x，F 是 C的焦点，过点F 的直线 l

48、与 C相交于 A、B两点 (1) 设 l 的斜率为 1，求OA与OB夹角的大小； ( ) 设AFFB，若 4 ，9 ，求 l 在 y 轴上截距的变化范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 43 页学习必备欢迎下载 考场错解 (1)设OA与OB夹角为 ；由题意 l 的方程为了y=x-1 ，将 y=x-1 代入 y2=4x得 x2-6x+1=0 设 A(x1，y1)B(x2， y2) 则有 x1+x2=6，x1x2=1易得OAOB=x1x2+y1y2=-3，41|22222121yxyxOBOAcos=41413|OBOAOB

49、OA=-arccos ( ) 由题意知AFFBAFFB，过 A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A 、B |FB|=|BB|，|AF|=|AA| |BB|= |AA| ， 4 ， 9 设 l 的方程为y=k(x-1)由xyxky4) 1(2得 k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 x=222122kkk|AA|=222122kkk+l =22212) 1(2kkk|BB|=22222212) 1(2122kkkkkk43,34)0(912) 1(212) 1(2412) 1(212) 1(2| | |22222222kkkkkkkkkkAABB 专家把脉 () 没有理解反余弦的意义( ) 思路

50、不清晰 对症下药 (1)C的焦点为F(1 ，0)，直线 l 的斜率为1，所以 l 的方程为了y=x-1 将 y=x-1 代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则有 xl+x2=6，x1x2=1OBOA=(x1，y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3 所以OA与OB夹角的大小为 -arc cos41413( ) 由题设AFFB得 (x2-1， y2)= (1-x1，-y1) ，即1212),1(1yyxx由得 y22=2y21 y21=4x1，y22=4x2， x2=2x1联立、解得x2=，依题意有