2022年山东大学量子力学复习大纲 .pdf

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1、量子力学复习一、关于状态1. 波函数及其几率诠释1.1. ( , )x t与( , )r t1.1.1 相对几率密度1.1.2 归一化、“归一化”到函数及箱归一化1.2 ( , )p t与( , )p t1.3. Q 表象中状态用列矩阵表达1.4. 右矢1.5 旋量波函数1.5.1 电子自旋状态的描述自旋向上态，12，10自旋向下态，12，011.5.2 旋量波函数11121222( ; )( ,; )( ; )( ; )( ; )zr tr s tr tr tr t1.6 多粒子体系波函数12( ,; )r rt1.6.1 非全同粒子体系波函数-不考虑交换对称性1.6.2 全同玻色子体系波函

2、数-粒子交换对称1.6.3 全同费米子体系波函数-粒子交换反对称1.7 常用的特殊态精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页1.7.1 ( )x1.7.2 /1( )2ipxpxe1.7.3 无线深方势阱中的能量本征函数2( )sin,0nn xxxaaa；( )0,0,nxxxa1.7.4 一维线性谐振子能量本征函数22/2( )()xnnnxN eHx1111 22nnx nnn1?11 22nnp ninn1.7.5 ?zl的本征函数即平面转子能量本征函数1( )2imme1.7.6 2?l的本征函数即空间转子能量本

3、征函数( ,)l mY(cos )emimlmlNP1.7. 7 氢原子能量本征函数( , ,)( )( ,)nlmnll mrRr Y或( , ,)( )( , )ssnlmmznll mmrsRr Y2. 波函数的标准条件连续单值有限3. 束缚态与非束缚态(游离态、电离态) 4. 波函数满足薛定谔方程222( , )( , )( , )( , )2x tx tiV x tx ttmx22( , )( , )( , )( , )2r tir tV r tr ttm5. 定态与非定态精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页

4、6. 薛定谔方程的求解6.1 能量本征方程 (定态薛定谔方程) ?nnnHE6.2 含时薛定谔方程的特解(定态解 ) /( , )( )niE tnnr tr e6.3 含时薛定谔方程的一般解/( , )( )niE tnnnr tcr e6.4 含时薛定谔方程的定解满足(, 0 )(rr的解，*(,)()()nnncxx d x7. 几率密度及几率流密度*2ijm*?Repm8. 态叠加原理8.1 nnnc8.2 测量值及相应概率若n是力学量 A 具有确定值na的状态，则体系处于nnnc时A 的测值：12,naaa相应概率22212,nccc8.3 波函数坍缩 (量子态坍缩 ) 若测得 A

5、的值为na，则体系状态由坍缩至n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页二、关于力学量1. 力学量算符1.1 用线性厄密算符表示1.2 测量值是算符本征值1.3 从经典量向量子力学的力学量过渡：先对称化再量子化2 常用力学量算符2.1 坐标算符x2.2 动量算符?,xpipix2.3 角动量算符2?,zlil2.4 宇称算符?和粒子交换算符2.4.1?( )()rr ，即?( , , )(,)x y zxyz 或?( , ,)( ,)rr2.4.2 11?( ,; )( ,; )i jijjiPrrrtrrrt2.5 电子

6、自旋算符与泡利矩阵2.6 哈密顿算符及能量本征值2.6.1 无限深方势阱，分立谱22222nnEma2.6.2 有限深方势阱，分立谱+连续谱2.6.3 一维线性谐振子222221?22dHmxm dx，分立谱1()2nEn2.6.4 中心力场22222?()( )22lHrV rmrrrmr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页2.6.5 氢原子222222?()22leHrmrrrmrr，分立谱 +连续谱2412222213.622eVnEeeEnn ann . 3. 算符代数3.1 基本对易关系?,xpi3.2 算符

7、恒等式3.3 常用对易关系3.3.1? , ,xlyi z3.3.2? ,xyzlpi p3.3.3? ? ,xyzlli l;? ?lli l3.3.4 1? , ,( ,)?nnFx pni px F x pip3.3.5 1? , ,( ,)nnFp xni xp F x pix4. 力学量平均值4.1 ?( ,)FF或?(,) / (,)FF4.2 若?nnnFuf u，将按?F 的正交归一化的本征函数系nu展开1122a ua u，则平均值2221122nnnFafafaf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页

8、或22nnnnnafFa5. 厄密算符本征函数的性质5.1 正交性*( )( )mnm nux ux dx5.2 完备性( , )( )( )nnnr tct ur5.3 封闭性*( )( )()nnnux uxxx6. ?,0,A BA B有共同的本征函数系? ?,0A B且系统处于? ?,A B的共同本征态，则? ?,A B同时有确定值7. 不确定度及不确定度关系222()AAAAA1? ?,2A BA B，2E t8. 力学量平均值的时间变化率1? ?,dAA Hdti9. 守恒量10. 两个角动量的耦合121212,1 ,jjjjjjj精选学习资料 - - - - - - - - -

9、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页三、表象理论1. Q 表象中态矢量用列矩阵表示2. Q 表象中力学量用厄密方阵表示3. 表象变换矩阵为幺正矩阵S3.1 mnS老 m 新 n3.2 新表象基矢在老表象中的列矩阵按列排起来4. 表象变换4.1 S4.2 FS FS5. 狄拉克符号5.1 状态5.2 内积5.3 算符6. 用狄拉克符号表达的公式6.1 正交归一mnm n6.2 完备性1nnn6.3 薛定谔方程( )?( )tiHtt，?nnnHE6.4 平均值?FF7. ( )xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页四、近似方法1. 定态非简并能级微扰(0)(0)(0)?kkkHE2(0)(0)(0)nkkkkkn kknHEEHEE(0)(0)(0)(0)nkkknn kknHEE2. 定态简并能级微扰(0)(0)(0)?,1,2,kkkHE(1)111121(1)221222(1)120nnnnnnnCHEHHCHHEHCHHHE(0)(0)(0)1122CC3. 含时微扰2201k ktitkkk kWHedt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页