2022年高等数学偏导数第七节方向导数题库 .pdf

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1、【090701】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求zxy，在点2222,沿单位圆xy221外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscos22(4 分) zxzy11所以zn22222(10 分) 【090702】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求zxy32在点11 ,沿单位圆xy222外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscos22(4 分 ) zxzy32所以zn3222225 22(10 分) 【090703】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【

2、试题内容】求函数zxyln()1在点11 ,沿曲线2122xy切线指向x增大方向向量的方向导数。【试题答案及评分标准】tan( , )4221 1xycoscos1525(4 分) 所以zyxyln()coscos( , )111 1ln(ln)21512251521(10 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页【090704】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数zeyxln12在01 ,点沿曲线yex切线正向指向x增大方向的方向导数。【试题答案及评分标准】tan

3、coscosyexxx00122(4 分 ) zxzyyy( , )( , )( , )0 10 120 11211所以za1221220()(10 分) 【090705】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxy2lnarctan在11 ,点沿a方向的方向导数，其中a为曲线yx2在11 ,点的切向量，方向为x增大的方向。【试题答案及评分标准】tancoscosyx121525(4 分) zxxzyyy( , )( , )( , )( , )arctan1 1111 121 1221112所以za215225225()(10 分) 【090706

4、】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zyex在1,e点沿曲线yex切线正向x增大方向的方向导数。【试题答案及评分标准】tanyeexxx11coscos11122eee(4 分) zxeezyexee( , )( , )( , )1111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页所以zaeeee1111022(10 分) 【090707】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 设zxycos，l为曲线yx12sin在x0处的切向量 指

5、向x增大方向，求zl( , )0 1。【试题答案及评分标准】tancosyxxx00222coscos1525(4 分) zxyxxzyxxyy( , )( , )( , )( , )(cos )(sin )(cos ) ln(cos )0 110 10 10 100所以zl0(10 分 ) 【090708】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求zxyarctan在点11 ,沿曲线2322xy外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】切线斜率tan( , )( , )yxy1 11 122法线斜率tan12所以cossin2515(4 分) zxyx

6、yzyxxy( , )( , )( , )( , )()()1 121 11 121 1112112所以zl122512153215(10 分) 【090709】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【 试 题 内 容 】 求 函 数zxy22在11 ,点 沿a方 向 的 方 向 导 数 ， 其 中a为 曲 线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页xyx222在1 , 1点的内法线向量。【试题答案及评分标准】切线斜率tan( , )xy101 1内法线向量n001,，coscos01(4 分

7、 ) zxxzyy( , )( , )( , )( , )lnln1 1111 11 1222222所以zn2022122ln()ln(10 分) 【090710】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zyxsin在12,点沿a方向的方向导数，其中a为曲线xtyt22sin ,cos在t6处的切向量指向t增大的方向 。【试题答案及评分标准】tanddsincosyxtttt66222cossin11122(4 分) zxxyxzyyx( ,)( ,)( ,)( ,)cossinsin12121212201212 2所以za01112 2122()(

8、)2 212(10 分) 【090711】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zttxyd1402在点 1， -1处沿a11 ,方向的方向导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页【试题答案及评分标准】zxyx y( ,)( ,)1124811112zyxyx y( ,)( ,)114811211(5 分 ) coscos1212所以za12121123212()()(10 分) 【090712】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内

9、容】求函数urrxyzarctan ,222在点 1,1,1处沿a1 01, ,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscoscos12012(3 分) uxrxruyryr( , , )( , , )( , , )( , , )1 1 121 111 1 121 1 11114 31114 3uzrzr( , , )( , , )1 11211 11114 3(6 分) ua14 3120120(10 分 ) 【090713】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数urrxyzsin ,222在点 1,2,-2处沿a111, ,方向的方向导数。

10、【试题答案及评分标准】coscoscos13(3 分) uxrxruyryr( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)coscoscoscos1 221 221 221 22133233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页uzrzr( , ,)( , ,)coscos1 221 22233(6 分) ua13 33cos(10 分) 【090714】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数rxyz222在点Mxyz0000(,)处沿0M到坐标原点O方向M O0的方向导

11、数。【试题答案及评分标准】M Oxyz0000,coscoscosxryrzr000000(3 分 ) 其中rxyz0020202rxxrryyrrzzrMMM000000000(7 分 ) 所以raxyzr020202021(10 分) 【090715】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz在点 1,2,-1处沿a1 22, ,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscoscos132323(3 分) uxyxuyxx zyzyyzzz( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)ln1 2111 211 2111 21120uzx

12、x yyyzz( , ,)( , ,)lnln1 211 210(7 分) 所以ua121316(10 分 ) 【090716】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uy xz()23在点 2,1,1处沿该点向径方向的方向导数。【试题答案及评分标准】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页r2 11, ,，61cos61cos62cos(3 分) 5)(42)1 ,1 ,2(32)1 , 1,2()1 , 1 ,2()1 , 1,2(zxyuxyxuuzyz( , , )(,

13、 , )2 1122 1 133(6 分) 所以ur426516316166(10 分) 【090717】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uzyx在点 1,2,1处沿a3 3 2, ,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscoscos322322222(3 分 ) uxyzzuyzxx( , , )( , , )( , , )( , , )ln1 2 11 2 11 2 11 2 101uzy x zx( , , )( , , )1 2 111 2 12(6 分 ) 所以ua3222222122()(10 分) 【090718】 【计算

14、题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uzxy22在点 3,4,1处沿a3 21, ,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscoscos314214114(3 分) uxxzxyuyyzxy(, , )/(, , )(, , )/(, , )()()3 4 1223 23 4 13 4 1223 23 4 131254125精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页uzxy(, , )(, , )3 4 1223 4 1115(6 分) 所以ua31253144125214151

15、1426125 14()(10 分) 【090719】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uz exy22在点 0,1,2处沿a0 12, ,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】52cos51cos0cos(3 分 ) uxxzeuyyzeexyxy( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)0 120 120 120 1220242222uzeexy( , ,)( , ,)0 120 1222(6 分 ) 所以uaeee()()4152565(10 分) 【090720】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【

16、试题内容】求函数uxyzxy222在点 1,1,2处沿a11 2, ,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】coscoscos161626(3 分 ) uxxyuyyx( , , )( , , )( , , )( , , )()()1 1 21 1 21 1 21 1 22121uzz( , , )( , , )1 1 21 1 224(6 分 ) 所以ua1616426106(10 分) 【090721】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uexyz在点P0(1，0， 1)处沿10PP方向的方向导数，其中P1的坐标为2，1， 1 。精选学习资料

17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页【试题答案及评分标准】P P0111 012120, ,coscoscos (4 分) uxyzeuyxzePxyzPPxyzP000001uzxyePxyzP000(7 分) 所以ul12(10 分) 【090722】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数2222zyxu在点0P(1，1，1)处沿OP0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。【试题答案及评分标准】P O01 1113,coscoscos(3 分 ) uxxuyyPPPP0000222

18、2uzzPP0044(6 分 ) 所以ul21321341383(10 分) 【090723】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz2在点0P(1， 2， 1)处沿10PP方向的方向导数，其中P1213( , )。【试题答案及评分标准】P P0113 4126326426,cos,cos,cos(3 分) uxyzuyxzPPPP00002221uzxyzPP0024(6 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页所以ul212632644261726()(10

19、分) 【090724】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数ua rr在点P0(1， 2， 2)处沿r0方向的方向导数，其中rx y z, ,，a为常向量，rOP00。【试题答案及评分标准】aaaauaxayazxyzxyzxyz,222r0132323cos ,cos ,cos,(4 分) uxa ya za xya xzxyzaaauya xa za xya yzxyzaaaPxxyzPxyzPyyxzPyxz0000222223 2222223 28222752427()()/uzayxa xza yzxyzaaaPzxyPzxy002222

20、23 252427()()/所以uraaaaaaxyzyxz01818222 524()()2 5240()aaazxy(10 分) 【090725】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyyzzx3在点 1，2，0处沿与直线xyz12213平行方向的方向导数。【试题答案及评分标准】a21 3214114314,cos,cos,cos(4 分) uxyzuyxz( , , )( , , )( , , )( , , )()()1 2 01 2 01 2 01 2 0231uzyx( , , )( , , )()1 2 01 2 035所以ua22

21、1411145314精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页1814(10 分) 【090726】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz23ln()在点 1，2，2处沿平面51xyz法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】n511527127127,cos,cos,cos(4 分) uxxyzuyxyz( , , )( , , )( , , )( , , )ln()ln1 2 21 2 21 2 221 2 22328318uzxyz( , , )( , , )1

22、 2 221 2 23338所以un285271812738127ln12710812(ln)(10 分) 【090727】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxxyxz28在点 0，1，1处沿平面3541xyz法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】n35435 21245 2, ,cos,cos,cos(4 分) uxxyuyx( , , )( , , )( , , )( , , )()0 1 10 1 10 1 10 112870uz( , , )0 111所以25412102537nu175 2(10 分) 【090728】 【计算题

23、】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页【试题内容】求函数uzyxarctan在点 1，1， 2处沿平面323xyz法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】n3 21314214114, ,cos,cos,cos(5) uxyxyuyxxy( , , )( , , )( , , )( , , )1 1 22211 211 2221 1 21212uz( , , )1 1 21所以un12314122141114()12 14(10) 【090729】 【计算题】

24、【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数zxyln()22在点Mxy000(,)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】等值线方程为xyxy220202，外法线向量nxy,00，所以cos,cosxxyyxy0020200202(5 分 ) znxxyyxyxy22200202002020202coscos(10 分) 【090730】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zexy22在点Mxy000(,)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】等值线方程为xyxy2202

25、02coscosxxyyxy0020200202(5 分) znexxxyeyyxyxyxy0202020222000202000202202020202exyxy(10 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页【090731】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求函数zxy2249在点2，3沿曲线xy22492切线方向 指向x增大方向与外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】24290322 3xyyy(, )切向量a2321331311,cossin法向量n3

26、231321322,cossin(5 分) zxxzyy( , )( , )( , )( , )2 32 32 32 3212923所以za213233130zn31323213133 131313(10 分) 【090732】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxy222在点 2，1沿曲线xy2226外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】法向量nxy,( , )22 22 1coscos22(5) znxy244 200coscos(10) 【090733】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求

27、函数uxy z23在点 1，1，1处方向导数的最大值与最小值。【试题答案及评分标准】uly zxyzxy z233221 1 123coscoscos( , , )coscoscos23(4 分 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页设gl12 30, ,cos ,cos ,cos则ulg lg0cos，其中为g与l0的夹角。当3 ,2, 11410l时，ul取最大值g14；当3 ,2, 11410l时，ul取最小值g14。(10 分) 【090734】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数

28、梯度】【试题内容】求函数uxyz在点 1， 2，2处方向导数的最大值与最小值。【试题答案及评分标准】ulyzxzxycoscoscos( , )12 2422coscoscos(4 分) 设gl4 220, ,cos ,cos ,cos则ulg lg0cos，其中为g与l0的夹角。所以当1 , 1,2610l时，ul取最大值，g26；当1 , 1,2610l时，ul取最小值g2 6。(10 分) 【090735】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uzxy222在点 1， 2， 1处沿与直线3452xzxyz平行的向量a方向的方向导数。【试题答案

29、及评分标准】a18 3, ,coscoscos174874374(5 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页18422)1,2, 1()1, 2, 1()1,2, 1()1 , 2, 1()1,2, 1(zuyyuxxuun( , )()()12 12174887413746974(10 分 ) 【090736】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz2232在点 1，0，1处沿与直线xyyz11平行的向量a方向的方向导数。【试题答案及评分标准】a111 ,c

30、oscoscos131313(5 分) 35cos4cos3cos2au(10 分) 【090737】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxy22在点0p ( ,)3 3 3处沿曲线4 1(cos )在点0p处切线方向的的方向导数。【试题答案及评分标准】tanddsin(cos ) cossincos(cos )(sin)( ,)yx3 332341410coscos10(5 分) zxxzyy( ,)( ,)( ,)( ,)3 333 333 333 332626 3zl6(10 分) 【090738】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数

31、与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxy在点( , )11处沿曲线2cos在该点处切线方向的方向导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页【试题答案及评分标准】tandd( , )yx1 10coscos10(5 分) zl1(10 分) 【090739】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 求由xyzxyz333320确定的隐函数在点1，1，1处沿x轴反向的方向导数【试题答案及评分标准】0)1,1 , 1(22)1,1 , 1(xyzyzxxz5 分0)1,1

32、, 1(xzlz10 分【090740】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由xyzaxyz33330确定的隐函数zz x y( , )在点 0， 4处沿a79,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当x=0，y=-4，得z=4 2分1)4.0(22)4,0()4.0(22)4,0(axyzaxzyyzaaxyzayzxxz6 分130971309cos,1307cosaaz10 分【090741】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由exyzez确定的隐函数zz x y( , )在点0，1处沿a35,

33、方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当xy0001,时，z012 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页01)1. 0()1. 0()1.0()1.0(xyexzyzexyeyzxzzz6 分ez343345sin343cos10 分【090742】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由zxyzaa3330()确定的隐函数zz x y( , )在点 0，0处沿a12,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当xy00,时，za002 分00)0 .0(2)0.0(

34、)0.0(2)0. 0(xyzxzyzxyzyzxz8 分0az10 分【090743】 【计算题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数zetytx220d在点 0，0处沿a1 2,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】0)d2(1)0,0(0)0,0()0, 0()0,0(2222xtyxyteyeyzeexz6 分5152sin51coslz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页答：1510 分【090744】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【

35、试题内容】函数zxy2在点 1，2沿a11 ,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】8210 分【090745】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxysin在点 2，3沿a2 1 ,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】31510 分【090746】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxyln()2在点 1，3沿a1 1,方向的方向导数是 。【试题答案及评分标准】15 210 分【090747】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数f x yxyxy

36、( , )22在点 3，4沿a4 3 ,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】1510 分【090748】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxy在点 1，2沿a11 ,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】210 分【090749】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxeyy2在点 2，1沿a12,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】35e10 分【090750】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxyln(ln)在点 e，1沿a21,方向的

37、方向导数是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页【试题答案及评分标准】15e10 分【090751】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxyxyarctan1在点 1，2沿a1 3,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】110 1010 分【090752】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zyxarctan在点 1，1沿a11 ,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】0 10 分【090753】 【填空题】【较易 0

38、.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxy() 12在点 0，1沿a01 ,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】0 10 分【090754】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zexey在点 1，0沿a3 2,方向的方向导数是。【试题答案及评分标准】e1310 分【090755】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxyarcsin在点 1，13沿x轴正向的方向导数是。【试题答案及评分标准】12 210 分【090756】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方

39、向导数梯度】【试题内容】函数zyxln在点 1，1处沿x轴反向的方向导数是。【试题答案及评分标准】0 10 分【090757】 【填空题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数f x yexyx( , )sin()2在点 0，4处沿y轴负向的方向导数是。【试题答案及评分标准】0 10 分【090758】 【选择题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 假设zf x y( , )在(,)xy00处沿x轴反方向的方向导数A，则fx y( , )在该点对x的偏导数(A) 为A(B) 为A(C)不一定存在(D) 一定不存在精选学习资料 -

40、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页答【试题答案及评分标准】C 10 分【090759】 【选择题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxy2在点 1，2沿各方向的方向导数的最大值为：(A) 3 (B) 0 (C) 5(D) 2 答【试题答案及评分标准】C 10 分【090760】 【选择题】【较易 0.3】 【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数zxy22在 1,1点沿l11,方向的方向导数为：(A) 最大(B) 最小(C) 0 (D) 1 答【试题答案及评分标准】B 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页