2022年高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高一数学必修二圆与方程知识点整理一、标准方程222xaybr1.求标准方程的方法关键是求出圆心,a b和半径r待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例 2 利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点2220 xyrr过原点2222220 xaybabab圆心在x轴上2220 xayrr圆心在y轴上2220 xybrr圆心在x轴上且过原点2220 xayaa圆心在y轴上且过原点2220 xybbb与x

2、轴相切2220 xaybbb与y轴相切2220 xaybaa与两坐标轴都相切2220 xaybaab二、一般方程2222040 xyDxEyFDEF1.220AxByCxyDxEyF表示圆方程则222200004040ABABCCDEAFDEFAAA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P例r4 3.2240DEF常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外2.涉及最

3、值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点0dr（2）相切只有一个公共点0dr（3）相交有两个公共点0dr这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点基本图形主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离 恰好等于半径r（2）常见题型求过定点的切

4、线方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点00,P xy，圆：222xaybr，22200 xaybr 第一步：设切线l方程00yyk xx第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意： 以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！如：过点1,1P作圆2246120 xyxy的切线，求切线方程. 答案：3410 xy和1xii）点在圆上1） 若点00 xy，在圆222xyr上，则切线方程为200 x

5、 xy yr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点00 xy，在圆222xaybr上，则切线方程为200 xaxaybybr碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析， 我们知道： 过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式：222121212114lkxxkxxx x（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（

6、一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320 xy的距离为1，则半径r的取值范围是 _. 答案：4, 64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载1.若圆222120 xymxmym，关于直线10 xy，则实数m的值为 _. 答案： 3（注意：1m时，2240DEF，故舍去）变式：已知点A是圆C:22450 xyaxy上任意一点，A点关于直线210 xy的对称

7、点在圆C上，则实数a_. 2.圆22131xy关于直线0 xy对称的曲线方程是_. 变式： 已知圆1C：22421xy与圆2C：22241xy关于直线l对称，则直线l的方程为 _. 3.圆22311xy关于点2, 3对称的曲线方程是_. 4.已知直线l：yxb与圆C：221xy，问：是否存在实数b使自3,3A发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点247,2525B？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由 . 六、最值问题方法主要有三种： （1）数形结合； （2）代换；（3）参数方程1.已知实数x，y满足方程22410 xyx，求：（1）5yx的最大值和最小值；看作斜率（2）yx的最小值； 截

8、距（线性规划）（3）22xy的最大值和最小值.两点间的距离的平方2.已知AOB中，3OB，4OA，5AB， 点P是AOB内切圆上一点， 求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设,P x y为圆2211xy上的任一点，欲使不等式0 xyc恒成立，则c的取值范围是 _. 答案：21c（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程222cos0sinxrxyrryr，为参数222cos0sinxarxaybrrybr，为参数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页

9、学习必备欢迎下载八、相关应用1.若直线240mxny（m，nR） ，始终平分圆224240 xyxy的周长，则m n的取值范围是 _. 2.已知圆C：222440 xyxy，问：是否存在斜率为1 的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由. 提示：12120 x xy y或弦长公式2121dkxx. 答案：10 xy或40 xy3.已知圆C：22341xy，点0,1A，0,1B，设P点是圆C上的动点，22dPAPB，求d的最值及对应的P点坐标 . 4.已知圆C：221225xy， 直线l：211740mxmym（mR）（1）证明：

10、不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程. 5.若直线yxk与曲线21xy恰有一个公共点，则k的取值范围 . 6.已知圆2260 xyxym与直线230 xy交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1）12drr外离（2）12drr外切（3）1212rrdrr相交（4）12drr内切（5）12drr内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110 xyD xE yF，圆2C：222220 xyD xE yF，则1212120DDxEEyFF为

11、两相交圆公共弦方程. 补充说明：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题（1）过两圆1C：221110 xyD xE yF和2C：222220 xyD xE yF交点的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载圆系方程为22221112220 xyD xE yFxyD xE yF（1）说明： 1）上述圆系不包括2C；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（ 2 ） 过 直 线0A xB yC与 圆220 xyDxEyF交 点 的 圆 系 方

12、 程 为220 xyDxEyFAxByC（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义） ：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程. 例：过圆221xy外一点2, 0A作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：222OPAPOA（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例 1.如图，已知定点2,0A，点Q是圆2

13、21xy上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程 . 分析：角平分线定理和定比分点公式. 例 2.已知圆O：229xy，点3,0A，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向排列，且3BAC，求ABC的重心G的轨迹方程 . 法 1：3BAC，BC为定长且等于3 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载设,G x y，则33333ABCBCABCBCxxxxxxyyyyyy取BC的中点为33,24Ex，3 33,42Ey222OECEOC，2294EExy（1）222

14、2BCEBCEBCEBCExxxxxxyyyyyy，3233322323EEEExxxxyyyy故由（ 1）得：2222333933110, 122422xyxyxy法 2： （参数法）设3cos , 3sinB，由223BOCBAC，则223cos, 3sin33C设,G x y，则233cos3cos231coscos133323sin3sin23sinsin2333ABCABCxxxxyyyy4,33，由22112得：2233110, 122xyxy参数法的本质是将动点坐标, x y中的x和y都用第三个变量（即参数） 表示， 通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围 . （4）求轨迹方程常用到得知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载重心,G x y，33ABCABCxxxxyyyy中点,P x y，121222xxxyyy内角平分线定理：BDABCDAC定比分点公式：AMMB，则1ABMxxx，1ABMyyy韦达定理 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页