2022年数学分析 .pdf

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1、S F 01（数）Ch 7 运用导数研究函数性态计划课时：6 时P 6170 20010908精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页Ch 7 运用导数研究函数性态（ 6 时 ） 1 单调性与极值判法（ 4 时 ）一可微函数单调性判别法：1单调性判法：Th 1 设函数)(xf在区间),(ba内可导 . 则在),(ba内)(xf(或 ) 在),(ba内0)(xf( 或0). 证) ) 证0)(xf.Th 2 设函数)(xf在区间),(ba内可导 .则在),(ba内)(xf ( 或 ) 对),(bax有0)(xf( 或)0;

2、 在),(ba内任子区间上.0)(xf2.单调区间的分离:)(xf的升、降区间分别对应)(xf的非负、非正值区间. 例1分离函数xxxf3)(的单调区间 . 更一般的例可参阅4P147148 E13，14. 二.可微极值点判别法 : 极值问题 : 极值点 , 极大值还是极小值, 极值是多少 .1.可微极值点的必要条件: Fermat 定理 ( 表述为 Th3 ). 函数的驻点和(连续但 )不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法 . 2.极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. Th 4 (充分条件 ) 设函数)(xf在点0 x连续 , 在邻域),(00 xx和)

3、,(00 xx内可导 . 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页 在),(00 xx内,0)(xf在),(00 xx内0)(xf时, 0 x为)(xf的一个极小值点; 在),(00 xx内,0)(xf在),(00 xx内0)(xf时,0 x为)(xf的一个极大值点; 若)(xf在上述两个区间内同号, 则0 x不是极值点 . Th 5 (充分条件 “雨水法则” ) 设点0 x为函数)(xf的驻点且)(0 xf存在 . 则当0)(0 xf时 , 0 x为)(xf的一个极大值点; 当0)(0 xf时 , 0 x为)(xf的

4、一个极小值点. 证法一.)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx当0)(0 xf时, 在点0 x的某空心邻域内0)(xxxf)(,0 xf与0 xx异号 , 证法二用 Taylor公式展开到二阶, 带Peano 型余项 . Th 6 (充分条件) 设0)()()(0)1(00 xfxfxfn,而0)(0)(xfn.则n为奇数时 , 0 x不是极值点 ; n为偶数时 , 0 x是极值点 . 且0)(0)(xfn对应极小 ; 0)(0)(xfn对应极大 . 例 2求函数32)52()(xxxf的极值 . 1P190 E3 例 3求函数xxxf432)(2的极值 .

5、 1P190 E4 3.函数的最值 :设函数)(xf在闭区间,ba上连续且仅有有限个可疑点nxxx,21. 则)(max,xfbax=max)(,),(),(),(),(21nxfxfxfbfaf; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页min)(min,xfbax)(,),(),(),(),(21nxfxfxfbfaf. 函数最值的几个特例: 单调函数的最值: 如果函数)(xf在区间,ba上可导且仅有一个驻点, 则当0 x为极大值点时, 0 x亦为最大值点; 当0 x为极小值点时, 0 x亦为最小值点 . 若函数)(

6、xf在R内可导且仅有一个极大( 或小 ) 值点 , 则该点亦为最大( 或小 )值点 . 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大( 或小 ) 值点 . Ex 1P195196 1，3， 4，6，7； 4P175 25 ， 26，27 ， 28. 三. 最值应用问题 : 例4 A、B两村距输电线 （直线） 分别为km1和km5.1（如图），CD长.3km. 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BEAE最小 . 解设x如图，并设输电线总长为)(xL. 则有.30,5. 1)3(1)(222xxxEBAExL015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令xxxxx

7、xxL, C E D 1km 1.5km xA B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页1)3(5 .1)3(222xxxx, .09625.12xx解得2 . 1x和6x ( 捨去 ). 答：四.利用导数证明不等式 :我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实 , 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种( 参阅 3P112142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理. 1. 利用单调性证明不等式:原理 : 若f, 则对, 有不等式)()(ff. 例5证明 : 对任

8、意实数a和b, 成立不等式.1|1|1bbaababa证取, 0)1(1)().0(,1)(2xxfxxxxf在),0内)(xf . 于是 , 由|baba, 就有) | () | (bafbaf, 即|1|1|1|1|1|1|bbaababbaababababa. 2. 不等式原理 : 4P169171. 不等式原理 : 设函数)(xf在区间),a上连续 , 在区间),( a内可导 , 且0)(xf; 又.0)(af则ax时, .0)(xf (不等式原理的其他形式.) 例6 证明 : 21x时, 1)1ln(2arctgxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

9、- - - - - - -第 5 页，共 11 页例7证明 : 0 x时, !3sin3xxx.2.利用极值证明不等式: 例8证明 : 0 x时, xex1. Ex 1P195196 2，5，8，9，10，11，15，17；4P177178 40，42，58，59. 2 凸性拐点Jensen 不等式（ 2 时 ）一凸性的定义及判定：1凸性的定义：由直观引入 . 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义设函数)(xf在区间,ba上连续 . 若对,21baxx, 恒有2)()(22121xfxfxxf, 或2)()(22121xfxfxxf. 则称曲线)(xfy在区间,ba上是凹 (或凸 )的 .

10、 若在上式中, 当21xx时 , 有严格不等号成立 , 则称曲线)(xfy在区间,ba上是严格凹 (或严格凸 )的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸 . 凸性的几何意义: 倘有切线 , 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 设函数)(xf在区间),(ba内存在二阶导数, 则在),(ba内)(,0)(xfxf在),(ba内严格上凸 ; )(,0)(xfxf在),(ba内严格下凸 . 该判别法也俗称为“雨水法则”. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页证法一( 用 Ta

11、ylor 公式) 对),(,21baxx设2210 xxx, 把)(xf在点0 x展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式 , 有,)(2)()()()(201101001xxfxxxfxfxf202202002)(2)()()()(xxfxxxfxfxf. 其中1和2在1x与2x之间 . 注意到)(0201xxxx, 就有20222011021)()(21)(2)()(xxfxxfxfxfxf, 于是若有, 0)(xf上式中)(2)()(,0021xfxfxf, 即)(xf严格上凸 . 若有, 0)(xf上式中)(2)()(,0021xfxfxf, 即)(xf严格下凸 . 证法二

12、( 利用Lagrange中值定理 . ) 若,0)(xf则有)(xf , 不妨设21xx,并设2210 xxx,分别在区间,01xx和,20 xx上应用Lagrange中值定理 , 有)()()(),(10110011xxfxfxfxx,)()()(),(02202202xxfxfxfxx. 有),()(,2122011ffxxx又由00210 xxxx，)(101xxf)(022xxf, )()()()(0210 xfxfxfxf， 即22)(2)()(21021xxfxfxfxf，)(xf严格下凸 . 可类证0)(xf的情况 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

13、结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页3凸区间的分离: )(xf的正、 负值区间分别对应函数)(xf的下凸和上凸区间. 二. 曲线的拐点 : 拐点的定义 . 例 1确定函数2)(xxexf的上凸、下凸区间和拐点. 4P154 E20 解f的定义域为),(),21()(22xexfx2) 32(2)(2xexxxf. 令0)(xf, 解得23,0,23321xxx. 在区间),23(,)23,0(,)0,23(,)23,(内f的符号依次为,，. 拐点为 : .23,23,)0,0(,23,232323ee倘若注意到本题中的)(xf是奇函数 , 可使解答更为简捷. 三.Jensen

14、不等式及其应用 : Jensen 不等式 : 设在区间,ba上恒有0)(xf( 或)0, 则对,ba上的任意n个点)1(nkxk, 有 Jensen 不等式 : nkkxfn1)(1( 或nkkxnf11), 且等号当且仅当nxxx21时成立 . 证令nkkxnx101, 把)(kxf表为点0 x处具二阶 Lagrange 型余项的 Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意nkkxx10,0)(即得所证 . 对具体的函数套用Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，

15、共 11 页不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时 , 往往还用到所选函数的严格单调性 . 例2证明 : 对,Ryx有不等式)(212yxyxeee. 例3证明均值不等式: 对Rnaaa,21, 有均值不等式naaan11121naaaaaannn2121. 证先证不等式naaaaaannn2121. 取xxfln)(. )(xf在),0(内严格上凸 , 由 Jensen 不等式 , 有nknkknkkknkknnkkxnxnfxfnxnx111111ln1)(1ln1ln. 由)(xfnaaaaaannn2121. 对Rnaaa1,1,121用上述已证结果, 即得均值

16、不等式的左半端. 例4证明 : 对Rnxxx,21, 有不等式nxxxnxxxnn2222121. ( 平方根平均值) 例5设6zyx，证明12222zyx. 解取2)(xxf, 应用 Jensen 不等式 . Jensen 不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸 (凹)函数定理在不等式证明中的应用”,数学通讯 1980.4. P39. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页例 6在ABC中, 求证233sinsinsinCBA. 解考虑函数xxxfxxxfsin.0,0sin.0,sin)(在区间),0

17、(内凹 , 由 Jensen不等式 , 有233sin33)()()(3sinCsinBsinACBAfCfBfAf. 233sinCsinBsinA. 例 7 已知1,cbacbaR. 求证6737373333cba. 解考虑函数3)(xxf, )(xf在),0(内严格上凸 . 由 Jensen不等式 , 有3)73()73()73(3737373333cfbfafcba28)8()7(37373733fcbafcbaf. 6737373333cba. 例 8已知.2,0,033求证2. ( 留为作业) 解函数3)(xxf在),0(内严格下凸 . 由 Jensen不等式 , 有2)()(228)(33fff, 1222332,8)(3. Ex 1P204 3， 5，8；P214 1，5，7；4P175176 32，33. 参阅 1P206208，4P156159. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页